「教えて!ピックアップ」リリース!

(1)放物線y^2+2y+4x-1=0を点(2,1)に関して対象に移動した曲線を求めよ。
(2)だ円2x^2+3y^2-1=0を
直線x+y=1に関して対称に移動した曲線を求めよ。


まず(1)は題意の式の上にある点をP(x、y)として、点A(2.1)と対称なところQ(X,Y)として中点の座標の定理を使って、もとめたものを、再度題意の長い式に戻してあげて、曲線の式が求まりました。

で、(2)がよくわかりません>_<
2x^2+3y^2-1=0上の点をP(x,y)とし、これと直線x+y=1に対して対称な点、つまり知りたい部分を大文字のX,Yで表してQ(X,Y)としました。

PQの中点は(1)と同じで、R(x+X/2,y+Y/2)となり
これはx+y=1の式をみたら、=1を式の後ろに付けれるので、(x+X/2,y+Y/2)=1とまでできました>_<

でもこの後が出来ませんでした。

あと、念のため図を描いたのですけど、Pの楕円を一つ、あと、Qの楕円を(楕円かわからないですけど今は>_<)書いてみて、その二つの楕円の間に、距離が対称となるように、直線x+y=1を書きました。

でココの部分で質問なのですけど、
私の図は楕円同士を結ぶ
直線PQと、直線x+y=1の二つの直線が
垂直ではないのですけど合ってますか>_<???

一応中点の座標Rの位置は点Pに対してと点Qに対して同じ距離、たとえば、ノートの図の上では1cm取っているので、これでOKだと思ったのですけど。。
もしPQと直線x+y=1の線が
垂直とかだったら、垂直の公式mm’=-1が使えると考えたのですけど>_<
でも、垂直にしないといけない理由が思い浮かばないので解りませんでした>_<

誰かこの問題教えてください>_<!!!
宜しくお願いします!!

A 回答 (2件)

>PQの中点は(1)と同じで、R(x+X/2,y+Y/2)となり


これはx+y=1の式をみたら、=1を式の後ろに付けれるので、(x+X/2,y+Y/2)=1とまでできました>_<

??? (x+X/2)+(y+Y/2)=1
のこと?


>直線PQと、直線x+y=1の二つの直線が
垂直ではないのですけど

必ず垂直になります。

簡単な例として、
「点P(1,0)の直線y=xに対称な点Q」
といわれたら
答えは、Q(0.1) になります。

このとき直線PQとy=xは垂直ですよね?

ただ単に、P,Qの中点に直線y=xがあるとすれば、無限に答えが出てきます。

「対称」という言葉の、詳しい意味はわかりませんが(辞書で調べてみてください)、数学での解き方としては、上述のように解きます。

では、質問の問題に適用すると、

どんな直線、曲線も、所詮は点の集まりです。
各点の直線x+y=1に対称な点を結べば、直線に対称な図ができます。

だから、nanaさんが言うように公式mm’=-1の条件と、(x+X/2)+(y+Y/2)=1 の二つの式よりX,Yについての式を導けるはずです。
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この回答へのお礼

(x+X/2)+(y+Y/2)=1の部分はチョット間違えてました>_<!! あと、対称の意味について辞書で後で調べてみました♪数学の問題って、ときたま意味がわからない書き方するんで、困ってます。。>_<!!
返事書いて頂いて、本当にどうもありがとうございました!!!

お礼日時:2005/12/01 23:11

QはPをx+y=1に対して対称にとった点だから、線分PQと直線


x+y=1は垂直になるはずです。

図をかくときに、もとのだ円→直線x+y=1→対称移動しただ円→
もとのだ円上にPをとる→Pから直線x+y=1に垂直に直線を引き、
それが移動しただ円と交わる点をQ,直線x+y=1と交わる点をR
とする  というような順でかいてみてください。

お考えのように、PQと直線x+y=1との垂直条件を使用します。
この問題のめざすところは条件をうまく使って、もとのだ円の式のx、y
を、すべてX,Yで表すことにあるのですが、最初にあげている条件
だけではx、yを消去できません。
 ※最初にあげている条件 (x+X/2、y+Y/2)=1という表現は
  誤りで、正しくは座標を式x+y=1に代入して
   (x+X)/2+(y+Y)/2=1 です。
 ※この式を後で使うために整理して、x+y=2-X-Y ・・(1)
  としておきます。

PQと直線x+y=1との垂直条件
 ・PQの傾き・・・y座標の差/x座標の差から (Y-y)/(X-x)
 ・x+y=1の傾き・・-1
 よって、垂直条件から (Y-y)/(X-x)=1 で
 両辺にX-xをかけて Y-y=X-x 
 整理して x-y=X-Y ・・(2)

以上の(1)(2)の式を辺々加えれば x=・・・
            辺々引けば  y=・・・ とどちらもX,Y
で表すことができて、これらをもとの式に代入すれば答えがみつかる
でしょう。

ちょっと長くなってしまいました。
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この回答へのお礼

いつもありがとうございます!! 対称移動した楕円なのに、ノートに間違って書いてました>_<
もっと数学の世界について学びたいと思います!本当に返事書いていただいてありがとうございました!!!

お礼日時:2005/12/01 23:06

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