アルミホイルとかトイレットペーパは真中が空洞になっており尚且つ紙の上に巻いてますよね。
しかし各製品の袋等に何メートルと表示されていますが
これは計算で出すことが出来るのでしょうか?
もし計算で出せるのであればどなたか判りやすく
説明してもらえないでしょうか?
自分でも考えてみたのですが全く理解出来ません。

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A 回答 (8件)

計算式自体は難しくないですね。


L=π(R^2-r^2)/4÷d
L‥総長さ
R‥トイレットペーパーの外径
r‥芯の外径
d‥1枚あたりの厚さ

kazutangさんは厚みのところで引っかかっているようですね。
これに関しては”製品の半径1ミリあたり何枚巻かれているか”を数えてみるのが簡単だと思います。鉄のコイルなどと違って半分くらいは空気でしょうし紙自体も圧縮されますから紙1枚の厚さを直接測るのはうまくありません。巻いてある状態で計ればいいでしょう。
たとえばこんな方法で。

(1)トイレットペーパーの側面の適当なところにマジックで”チョン”と直径1mmくらいのちいさな印をつける(芯の近くやあまり外側は避ける。なるべく均一に重なっているあたり)
(2)印の直径をできるだけ正確に計る(ノギスがあるといいですね)
(3)印をつけたあたりを解いて、紙の何箇所にインクの印がついているかを数える。
(4)(印の直径÷ペーパーについた印の数)で、紙1枚が占める平均の厚さが見積もれます。
当たらずとも遠からずの値が出るはずです。

工場で作るときは製紙装置の巨大なロールから機械で芯に巻き取っていくはずなので、ロールのモータの回転数から簡単に長さはでるはずです。
多分実際には製品に書いてある長さより少し長めに取ってあると思います。なぜなら紙は伸び縮みするし正確な計測にはコストがかかるし、”毎回105cmずつ使っているのに93回目に紙切れで尻がふけなかった!”なんて電波系のクレームをつけられるとイヤだからです(笑)。
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この回答へのお礼

詳しい説明ありがとうございます。
なんとなく理解できました。

お礼日時:2001/12/10 09:35

こんなに盛り上がっているとは思いませんでした。



「巻き取りロール」のまえに「紙送りローラー」があるので、その回転数(=送り速度)で60mなり、130mなり、30m(2枚重ねのやつは、2枚かさなったものを30m送っているはず)なり、送ったところでカットすればいいだけのことでしょう。実際には余分をいれて。「芯なし」のやつは、最後のほうがくっついて使えなくなることが多いので、余分にまいています、と断りがかいてありました。)

厚みは関係ない。厚い紙(紙そのものの厚さでなく、凹凸加工などでスキマもある)ならが、直径が大きくなるし、薄ければ直径が小さくなる。(高速道路のSAのロールは30cmほどあるらしい。交換の手間を省くため)
「直径」で機械を止めてカットしているはずがない。(シワがはいったりしたら、直径はすぐ変わっちゃう)

自動車の走行距離を計るのに、エンジンの回転数・トルク・・・などと、ややこしい計算を誰もしないで、タイヤの回転数で計るでしょう。

ご質問の意図は、メーカーの測定方法ですよね。最初のコメントから見ると。
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計算法というか実測法というか.


まず1Mをある程度性格に計ります。計り取った紙の重さを量ります。
芯を抜いた残りの部分全体の重さを量ります。

あとは比例配分で大体の長さが見当つきます。
私の場合は.同様な方法でもっぱら植物の葉の大きさを計っていました。
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ぐは、あべし。

補足します。
「トイレットペーパーを、3次元時空に住んでいる我々が2次元時空に存在するものと考えるのがそもそもの間違い。あれは縦が10数センチ、横をxメートル、高さ数マイクロの直方体と考えるのが常識。」
は、
トイレットペーパーを引き出して考えているんですよ。そうすると一反木綿みたいに長ーーーーーーーーーーーーーーーーい直方体の紙が出来るよね。そのsideの面積と トイレットペーパーの横から見た面積をが等しいとやっているんだよ。
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みなさん発想の転換が甘いですな。

いやー復活(新生)第一号の回答がこんな簡単でいいのかね。
トイレットペーパーを、3次元時空に住んでいる我々が2次元時空に存在するものと考えるのがそもそもの間違い。あれは縦が10数センチ、横をxメートル、高さ数マイクロの直方体と考えるのが常識。
さて、トイレットペーパーの横(空洞が見える方向)の面積をまず求める。これは「大円の面積-小円の面積」から簡単に求められる。
次に、さっきの「横×高さ」を求める。(x×数マイクロだね)

よって、
横×高さ=大円の面積-小円の面積 (∵~の値を求める→等式(方程式)を立てる→基本)

簡単でしょ。
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こういうものは、そもそも、製造の段階で、実測してからまいてあるのであって、巻いてから長さを測るものではないでしょう。

アルミホイルを作る段階で、毎秒何センチ、とかいうふうに出てきたものを巻き取っていると思うのですが。

それでは「数学」の問題にならないから、「長さ」と「径」から巻き数を求める問題、というのがあります。

参考URL:http://web2.incl.ne.jp/yaoki/paper.htm
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単純に、平均の長さと重さの比から求めているのでないでしょうか?



つまり最初にこの比を求めておいて、検品は重さだけで行っている…
あくまで素人の想像です。
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30mとか50mの記載が信用できないということでしょうか?


それとも途中まで使った残りを知りたいのでしょうか?

断面を考えたときの面積は残りに比例しますので
新品時の直径
芯の外径
現在の直径 がわかれば計算で
残りの長さはわかるでしょう。

新品時に記載の長さがあるかどうかは
平均の厚みがわからないのでわかりません。
引き出して計ったほうがはやいでしょう。

新品時の断面積と実測長さがわかれば
平均の厚みは求まりますね

この回答への補足

信用出来ないということではなくて
計算で実測せずにわかるのかなぁと
疑問に思い投稿しました。
しかし、厚みは多分必要になってきますよね?

補足日時:2001/12/08 15:42
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厚さをdと置けば、

新品の直径が113、芯の直径が83 なので、

新品の断面積 = π(113/2)^2 - π(83/2)^2

これをdで割れば、25000になります。

{π(113/2)^2 - π(83/2)^2}/d = 25000

π(113/2)^2 - π(83/2)^2 = 25000d

d = π/4・(113^2 - 83^2)/25000

これで、厚さが求まりました。


次に、
ある程度使用した後の
直径をr、
残量をx、
と置くと、
x = {π(r/2)^2 - π(83/2)^2}/d

これに、先程の
d = π/4・(113^2 - 83^2)/25000
を代入すると、

x = 25000{π(r/2)^2 - π(83/2)^2}/{π/4・(113^2 - 83^2)}
 = 25000(r^2 - 83^2)/(113^2 - 83^2)


Excelに反映させるには、

セルB2 に「新品の直径」と文字入力
セルB3 に「芯の直径」と文字入力
セルB4 に「新品の長さ」と文字入力
セルB5 に「現在の直径」と文字入力

セルC2 に 113 と数字入力
セルC3 に 83 と数字入力
セルC4 に 25000 と数字入力
セルC5 に、好きな数字(現在の直径)を入力

セルE2 に、「現在の残量」と文字入力
そして、
セルF2 に
=C4*(C5^2-C3^2)/(C2^2-C3^2)
という式を入力すれば、完成です。


以上、ご参考になりましたら。


追伸
半年ほど前に、ちょっと似ている質問に回答したことがあります。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3792165.html

こんにちは。

厚さをdと置けば、

新品の直径が113、芯の直径が83 なので、

新品の断面積 = π(113/2)^2 - π(83/2)^2

これをdで割れば、25000になります。

{π(113/2)^2 - π(83/2)^2}/d = 25000

π(113/2)^2 - π(83/2)^2 = 25000d

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再びお邪魔します。

まず、訂正させてください。
π(8^2 - 2^2) ÷ 0.01 = 1884.95559 cm
は書き間違いで、
π(8^2 - 2^2) ÷ 0.01 = 18849.5559 cm
が正しかったです。


さて、
(1)について、x=1~600 と x=0.5~599.5 を比較しますね。

S1 = Σ[x=1→600]0.01x = 0.01 + 0.02 + 0.03 + ・・・ + 5.98 + 5.99 + 6.00
S2 = Σ[x=0.5→599.5 step=1]0.01x = 0.005 + 0.015 + 0.025 + ・・・ + 5.975 + 5.985 + 5.995
と置くと、

S1 - S2 = 0.005 + 0.005 + 0.005 + ・・・ + 0.005 + 0.005 + 0.005
 = 0.005×600
 = 3

よって、
Σ[x=1→600]2π(2+.01x) - Σ[x=0.5→599.5 step=1]2π(2+.01x)
 = 2π×3
 = 18.8495559 cm

これを質問者様の計算結果から差し引けば
18868.40548 - 18.8495559 = 18849.5559 cm
というわけで、見事に一致しましたよね。


積分のほうもやってみましょうか。
ピタリと一致するはずです。

∫2π(2+0.01x)dx = 4π∫dx + 2π∫0.01x dx
 = 4πx + 0.01π・x^2 + Const
∫[0→600]2π(2+0.01x)dx = 4π[600-0] + 0.01π[600^2 - 0^2]
 = 2400π + 3600π
 = 6000π = 18849.5559

ね?

なお、上述のΣの式で「 step=1 」というのは、公差が1ということを表すために私が創作した書き方なので、真似しないでください。(笑)

再びお邪魔します。

まず、訂正させてください。
π(8^2 - 2^2) ÷ 0.01 = 1884.95559 cm
は書き間違いで、
π(8^2 - 2^2) ÷ 0.01 = 18849.5559 cm
が正しかったです。


さて、
(1)について、x=1~600 と x=0.5~599.5 を比較しますね。

S1 = Σ[x=1→600]0.01x = 0.01 + 0.02 + 0.03 + ・・・ + 5.98 + 5.99 + 6.00
S2 = Σ[x=0.5→599.5 step=1]0.01x = 0.005 + 0.015 + 0.025 + ・・・ + 5.975 + 5.985 + 5.995
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