「単振動の強制振動における変位は、LCR直列共振回路に電圧源を接続したときのCの両端に現れる電圧に対応する」
というのは本当ですか?
どのように証明したらいいのでしょうか。

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A 回答 (1件)

本当です.


ただし,単振動の方にちょっと注意が要ります(後述).

LCR直列共振回路に交流電圧源 V_0 sin ωt を接続したときの回路の微分方程式は
(1)  L d^2 Q/dt^2 + R dQ/dt + Q/C = V_0 sin ωt
です.
コンデンサーの両端の電圧を V_c としますと V_c = Q/C ですから,
(2)  LC d^2 V_c/dt^2 + RC d V_c/dt + V_c = V_0 sin ωt
が V_c を支配する微分方程式です.

一方,単振動する物体(質量 m,ばね定数 k,変位 x)に,
速度に比例する抵抗 γv = γ dx/dtがあって,
それに外部から力 F_0 sin ωt をかけた場合の運動方程式は
(3)  m d^2 x/dt^2 + γ dx/dt + kx = F_0 sin ωt
です.

(2)(3)は全く同型の微分方程式ですから,
解の振る舞いも全く同一です
(もちろん,初期条件を対応関係で同じように取って).
両者の間で,何と何とが対応するかは(2)(3)を比べれば明らかでしょう.

いずれも,大学理工系1年次程度の内容で,
共振回路の方は電磁気関係のテキスト,
単振動の方は力学関係にテキストに,
たいてい載っています.
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この回答へのお礼

丁寧な説明有難う御座いました!

お礼日時:2001/12/10 17:06

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Q中学3の理科(ばねの問題)

中学3の理科(ばねの問題)

ばねを両側から1Nの力で引張ったときの説明です。
(実際は,ばねを横に寝せて100gの物体を、左右からぶら下げるという問題の説明の一部です。)

参考書による説明だとばねを両側から1Nの力で引張ると、『バネを引っ張る力は1Nであって,1+1=2Nではない。』また、『バネの弾性力も,1Nであって,1+1=2Nではない。』となっています。
力のつり合いによる静止は理解できても1Nが頭に入ってきません。

説明お願いします。

Aベストアンサー

私の説明が分かりやすいかはわかりませんが、参考までに。

まず、引っ張るとはなんでしょ?

バネの弾性力を考えるときに、バネの重さや机との摩擦力は考えられていませんよね。

現実であるケースだと、重さのないバネはあり得ないし、重さのあるバネを摩擦のある机の上に置くわけですから、バネの片方を引っ張ってバネを動かそうとすると、摩擦力が働きます。

バネを人間(あなた)に置き換えてみると、重さもあれば、地面と足の裏で摩擦があります。

両腕を一直線に広げたところをイメージしてください。片方の手を引っ張られたらあたなは引っ張られたとわかりますね。
力が強ければあなたは倒れたり動いたりします。
そこで、あなたの重さがなかったり、地面との摩擦がない時にあなたの片手を引っ張られたとしたら、引っ張られた力は感じないと思いませんか?

バネの弾性力だけの話をしているので、問題はこの状態なんです。

あなたの両腕を反対方向に引っ張られたとしたら、引っ張られたとわかりますね。

バネが弾性力を持つには両端に反対方向の力が加わる事が前提なんです。

だから、バネの片方を固定すれば固定した側にも引っ張る力が働くわけです。

どちらも固定されていなければ、両方に同じ力で引っ張るとバネが伸びます。

どちらも引っ張って、片方の力が強ければバネは移動します。

と言うところで、イメージ出来ると良いですね。

大体、前提となる条件についての説明がないから分かりづらいんですよね。
内容を簡単にするために、現実とはかけ離れた理想的な状態の話をしているんだなと、現実と何が違うのかを考えるとわかると思います。

私の説明が分かりやすいかはわかりませんが、参考までに。

まず、引っ張るとはなんでしょ?

バネの弾性力を考えるときに、バネの重さや机との摩擦力は考えられていませんよね。

現実であるケースだと、重さのないバネはあり得ないし、重さのあるバネを摩擦のある机の上に置くわけですから、バネの片方を引っ張ってバネを動かそうとすると、摩擦力が働きます。

バネを人間(あなた)に置き換えてみると、重さもあれば、地面と足の裏で摩擦があります。

両腕を一直線に広げたところをイメージしてくだ...続きを読む

Q直列共振回路 各電圧の最大値が同一周波数になる

直列共振回路でVROとVLとVCの最大値が同じ周波数で現れるのはどうしてなのかわからないのですが教えてくれませんか?

Aベストアンサー

ヒントを出しますので後は自分で考えてください。
抵抗R0、コイルのリアクタンスXL、コンデンサのリアクタンスをXC
電源電圧をEとすれば
VR0=E・R/{R^2+(XL-XC)^2}^0.5
VL=E・XL/{R^2+(XL-XC)^2}^0.5
VC=E・XC/{R^2+(XL-XC)^2}^0.5
となります。
それぞれの電圧をR,XL,XCで微分して0と置いてやると各電圧の最大時の条件が求められます。それがXC=XLとなるかどうかです。

Q中学受験理科ばねの問題です。

中学受験理科ばねの問題です。

次の問題の回答を読んでもどんな状態なのか想像できません。理解できません。教えてください。
なぜ〔2〕の問題でAとBの重さの比が置く位置の比になるのでしょうか?中学受験の理科ですのでモーメントなどを使わずに説明してください。〔3〕も同様です。

4種類の強さの違うA、B、C、Dのばねがあって、AとD、BとCはそれぞれ力を加えないときの長さが同じです。これらの一方をゆかに固定して、それらの上に板を置き、つねに板がゆかと平行になるように適当な位置に分銅をのせました。ただし、ばねの重さと板の重さは考えないものとします。ばねは板に対して垂直にちぢむものとします。図1のようにA,B,C,Dの4本のばねを等しい間隔に固定して実験をすると、板にのせた分銅の重さとBのばねがちぢんだ長さとの関係は、図2のようになりました。また、図3のようにA・Bだけで同様に実験すると、図4のような結果が得られました。次の問いに答えなさい。


〔1〕の問題文は画像にあります。

回答
A=3g B=4g C=2g D=5g


〔2〕図のようにAとBのばねを使った実験で、Aのばね2cmちぢめるには、AB間の何対何の比に分ける点に分銅をのせればよいですか。もっとも簡単な整数で答えなさい。Aは1cm伸ばすのに3g Bは1cm伸ばすのに4g必要。

回答
AとBの自然長の長さは10cm。これより、Aを2cmちぢめるときBは12cmちぢむ。したがって、Aに6g、Bに48gかかる位置に
分銅を置けばよい。よって8対1。


〔3〕図1のように、A,B、C,Dの4本のばねを使った実験で、Bのばねが20cmちぢんでいるとき、分銅は、AD間を何対何の比に分ける点にのっていますか。もっとも簡単な整数比で答えなさい。


回答
31対29

中学受験理科ばねの問題です。

次の問題の回答を読んでもどんな状態なのか想像できません。理解できません。教えてください。
なぜ〔2〕の問題でAとBの重さの比が置く位置の比になるのでしょうか?中学受験の理科ですのでモーメントなどを使わずに説明してください。〔3〕も同様です。

4種類の強さの違うA、B、C、Dのばねがあって、AとD、BとCはそれぞれ力を加えないときの長さが同じです。これらの一方をゆかに固定して、それらの上に板を置き、つねに板がゆかと平行になるように適当な位置に分銅...続きを読む

Aベストアンサー

こんにちわ。

全体像が見えて、わかりやすくなりました。^^
結構、複雑な問題ですね。
〔1〕だけでもちょっと難しい感じだなと思いました。

さて、〔2〕ですがやはり#1さんが言われているように、「てこ」の考え方を使います。
分銅を置くところが、てこの支点に置き換わります。

ばねはちぢんだ分だけ、押し返そうとする力もはたらきます。
AとBでは押し返す力の大きさがちがうので、その力の大きさに合わせて上から「押さえて」あげないといけません。
(板がななめになってしまいます。)

たとえば、左手をAの真上、右手をBの真上に置いて押してみたと考えてみてください。
Bの方からの押し返す力が大きいと、右手の方を強く押さえないといけませんよね。
この例では左手と右手がかれているので、別々の力をかけて押さえればいいです。

では、これをどこか 1点だけを押して支えるとしたらどうしますか?
ABの真ん中だと、ななめになってしまいそうですね。
こんな想像をしてもらえば、もうちょっとわかりやすいかなあと思います。

Q直列共振回路の実験にて共振周波数の概略値を調べる際の電圧計の動きについて

まず、タイトルが長くて申し訳ありません。

質問なのですが、タイトル通りで、直列共振回路の実験にて共振周波数の概略値を調べる際、10kHz~50kHzの間で調べました。
その時の電圧計の動きは、徐々に電圧が下がっていき、ある点からまた電圧が上がっていく。という動きでした。
このメーターは何故このような動きをしたのでしょうか?

この動きをグラフに描くと谷ができます。

しかし通常共振曲線というのは共振周波数を頂点とした山のグラフができるのではないのでしょうか?それが谷になるというのがよくわからなくてこうやって質問させて頂きました。

駄文申し訳ございません。

Aベストアンサー

1.LC直列共振回路にある周波数ω、振幅Iの電流を流すことを考える。
2.そのとき、LやCにはどんな電圧が現われるか、位相も含めて考える。
3.LC共振回路の両端電圧はどうなっているかを考える。
4.ωが変化したときに、Lの電圧,Cの電圧,全体の電圧がどう変化するか考える。
と、共振回路の挙動がつかめるかと思います。
(最初に直列共振回路のインピーダンスZを計算して、これがωとともにどう変化するか、電流Iを流したときに電圧が周波数によってどう変化するか、を見てもよいかと思います。)

Q理科(ばね)の問題

こんばんは。アルバイトで小学生に理科を教えています。
以下の問題を、一般的な中学受験の知識の範囲内で解いていただけませんか。


自然長20cmのばねAと自然長22cmのばねBがある。Aは20gのおもりをつるすと2cmのび、Bは20gのおもりをつるすと3cmのびる。重さの無視できる長さ30cmの棒の両端にそれぞれA、Bを取り付けて、Aをとりつけた端からXcmのところに60gのおもりをつけると、A、Bは同じ長さになった。Xを求めよ。

問題文説明不足のところもあるかもわかりませんが、回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

No1です。着地失敗。訂正願います。


>力点の位置は30cmの棒の中の 44:16のところにあれば良いから

>30cm*44/(44+16)=22cm  答えAから22cmの場所



訂正

力点の位置は30cmの棒の中の 44:16の「逆比の位置」にあれば良いから

30cm*16/(44+16)=8cm  答えAから8cmの場所


Aバネに多く力を掛けたいのにAから遠くっちゃいけませんね。

QLCR直列共振回路

http://media.dj.kit.ac.jp/kairoensyu04/LCRkairo.html
のような実験をしまして、

回路図
+---コイル---コンデンサ---抵抗----+
1                 1
+----------(+電源-)--------------+

コイルの内部抵抗をr、コイルのインダクタンスをL
コンデンサの容量をC、抵抗値をR
電源電圧をV、各電圧を順にVL,VC,VRとしたとき
http://www.kdcnet.ac.jp/buturi/kougi/buturiji/lcr/lcr.htm
の最終結果の共鳴の鋭さQ=f_0/(f_2 - f_1) ---式(a) の式から
Q=(√(L/C))*(1/R+r)はどのようにして導かれるのでしょう?



また、このことのついて
参考書を見たところ、V=I*√[{wL-(1/wC)}^2+R^2]の
ルートの中の式の{wL-(1/wC)}^2 = R^2  ---式(b)の
式をwについて解き、符号について考えた後
大きいほうから小さいほうをひけば
(a)式の分母が出て
その分子はf_0=(2*3.14*√(LC))^(-1)から導かれるのが
わかったのですが、
なぜ(b)式のようにしていいのでしょうか?

http://media.dj.kit.ac.jp/kairoensyu04/LCRkairo.html
のような実験をしまして、

回路図
+---コイル---コンデンサ---抵抗----+
1                 1
+----------(+電源-)--------------+

コイルの内部抵抗をr、コイルのインダクタンスをL
コンデンサの容量をC、抵抗値をR
電源電圧をV、各電圧を順にVL,VC,VRとしたとき
http://www.kdcnet.ac.jp/buturi/kougi/buturiji/lcr/lcr.htm
の最終結果の共鳴の鋭さQ=f_0/(f_2 - f_1) ---式(a) の式から
Q=(√(L/C))*(1/R+r)はどのよう...続きを読む

Aベストアンサー

教科書も捨てて、だいぶ経つので申し訳ありませんが、下記のサイトの話のようだったと記憶しています。
こちらの方が分かり易いと思います。
すなわち、共振時の電流I0と一般の電流Iの比
I/I0=R/√{ R^2+(ωL- 1/(ωC)^2 }
から、これが1/√2になる条件(電力の1/2を電流に換算して)を計算すると
R^2/{ R^2+(ωL- 1/(ωC)^2 }=1/2
2R^2={ R^2+(ωL- 1/(ωC)^2 }
故に、(b)の R^2=(ωL- 1/(ωC)^2 となる。

>Q=(√(L/C))*(1/R+r)はどのようにして導かれるのでしょう?
Q=w0・L/R と w0=1/√(LC)から求められますが(1/R+r)は何のことか不明です。rはLの抵抗分ですかね?

参考URL:http://www.f-kmr.com/resonace.htm

Q中学理科のばねの問題です

以下の問題(3)と(4)の考え方がわかりません。
中学1年生でもわかるような回答でお願いいたします。


軽いばね①と②がある。図1は、ばねの伸び(または縮み)と、ばねがもどろうとして生じる弾性の力との関係を示している。 
図2のようにばね①、②とおもりA、Bをつないで、床の上の置いたところ、ばね②はもとの長さから3.0cm縮んで、おもりAにはたらく重力とばね②の弾性の力がつり合って静止した。このときのばね①の一端Pの位置を、Pの最初の位置とする。 
以下の問いに答えなさい。 

(1)おもりAの重さは何Nか。→答え 0.6 N 
(2)Pをゆっくりと6.0cm持ち上げると、おもりAは2.0cm持ち上がった。ばね②がおもりAにおよぼす力の大きさは何Nか。→答え 0.2 N 

(3)さらにPをゆっくりと持ち上げると、おもりBは床から1.0cm持ち上がった。このとき、Pを持ち上げている力の大きさは0.8 Nであった。おもりBの重さは何Nか。 
(4)(3)のとき、Pは最初の位置から何cm持ち上げられたか。

Aベストアンサー

(3)P を持ち上げている力が 0.8 N で、おもりAの押し下げる力が(1)で求めた 0.6 N なので、おもりBの押し下げる力は残りの
  0.8 - 0.6 = 0.2 (N)
ということになりますね。

(4)これはよく考えましょうね。
 まず、ばね②はおもりBしかぶら下げていません。つまり、0.2 (N) の力しか働いていないということです。これは、仮におもりAを手で持ったとしても、ばね②の長さは変わらないことからもわかります。
 ということで、ばね②の「伸び」はグラフより 1.0 cm。

 次にばね①です。ばね①には、P を上向きに持ち上げている力 0.8 N が働いています。ばね②がおもりBの力で伸びているのに? そんなのです。ばね②が伸びていようが、伸びないロープでぶらさげようが、おもりBの重さもばね①にかかります。
 ということで、ばね①の「伸び」はグラフより 8.0 cm。

 従って、P の高さは、ばね①と②の自然長を基準にして
  おもりBの高さ:1cm + ばね②の伸び:1cm + ばね①の伸び:8cm = 10 cm

 最初のP の高さは、ばね①と②の自然長を基準にして
  おもりBの高さ:0cm - ばね②の縮み:3cm + ばね①の伸び:0cm = -3 cm

 従って、最初の位置から P を持ち上げた距離は
  10 - (-3) = 13 (cm)

(3)P を持ち上げている力が 0.8 N で、おもりAの押し下げる力が(1)で求めた 0.6 N なので、おもりBの押し下げる力は残りの
  0.8 - 0.6 = 0.2 (N)
ということになりますね。

(4)これはよく考えましょうね。
 まず、ばね②はおもりBしかぶら下げていません。つまり、0.2 (N) の力しか働いていないということです。これは、仮におもりAを手で持ったとしても、ばね②の長さは変わらないことからもわかります。
 ということで、ばね②の「伸び」はグラフより 1.0 cm。

 次にばね①です。ばね①には、P を上向...続きを読む

Q交流RLC回路のベクトル図の書き方で直列回路は「電流が等しいので電流を基準に書く」、並列回路は「電圧

交流RLC回路のベクトル図の書き方で直列回路は「電流が等しいので電流を基準に書く」、並列回路は「電圧が等しいので電圧を基準に書く」という説明をよく見るのですが

例えば画像の回路ですと電源に流れる電流は2Aです。抵抗に流れる電流はベクトル図より1.2Aでコンデンサに流れる電流は1.2Aでベクトル合成して2Aとなりますので
各素子に流れる電流は向きも大きさも違うのではと思ったのです

「電流が等しいので」「電圧が等しいので」とは一体何が等しいのでしょうか。

また、全てのベクトルを1つにまとめると訳のわからない図になってしまいます。
どこが間違っているのでしょうか
抵抗の電流→IR
抵抗の電圧→VR
コンデンサの電流→IC
コンデンサの電圧→VC
です。

ICとVRは同相なのではないでしょうか
VCとICは90度ずれるはずなのに違ってしまいます

Aベストアンサー

No. 2 です。 
2/12 の並列回路の図の数値がはっきりしませんが、一応、コイルの側の枝について3Ωの抵抗と4Ωのコイル、コンデンサ側の枝について1Ωの抵抗と1Ωのコンデンサとしておきます(コンデンサが√3Ωのようにみえるが、回路の右のベクトル図から見ると、1Ωのように見える)。惜しいところで、計算を間違えているようです。
ということで、計算してみると次のようになります。

この回路について、I1, I2 を求めると、

  I1 = 10/(3 + j4) = 2(3 - j4)/5
  I2 = 10/(1 -j1) = 5(1 + j1) (普通は、j1 とは書かないと思いますがここでは、jの係数をはっきりさせる意味で書いておきます。)
  I = I1 + I2 (計算してください。)
となります。この電流をもとに、各素子の電圧を求めると、

  VR = 3 x I1 = 6(3 - j4)/5, VL = j4 x I1 = 8(4 + j3)/5
  VR' = 1 x I2 = 5(1 + j1), VC = -j1 x I2 = 5(1 - j1)

となります。
あなたの疑問を解決するためには、少し回り道ですが、これらの値でいくつかのベクトル図を描いてみてください。

まず、I1 を複素平面に描く。それから、VR, VL を同じ複素平面に描く。すると、I1 と VR とが同じ向きになっていることが分かると思います。VL は、VR(I1) から、+90度回った方向に描かれていることもわかると思います。そして、2つの電圧を合成した結果は、10 + j0 となっているでしょう。
同じことを、I2, VR', VC でもします。すると、VC は、VR'(I2) から、- 90度回った方向に描かれていることが分かると思います。

今描いたベクトル図を、電流基準で見直します。ということは、ベクトル図の電流方向に実軸を合わせて、ベクトル図を見るということです。すると、電流、電圧の関係は同じでも、なんとなく見え方が違っていることが分かると思います。

これで、どうでしょうか。

並列回路の場合、各枝の電流が違っていますから、そのうちのどれかを基準にして、ベクトル図を描くのは良い方法ではないことが分かります。各枝の電圧は同じですから、それを基準にベクトル図を考えるのが良いということも分かると思います(ただし、慣れていないうちは、混乱するから、ベクトル図を描くときには、電流を基準にして描くことにしておいた方が安全だと思います)。

No. 2 です。 
2/12 の並列回路の図の数値がはっきりしませんが、一応、コイルの側の枝について3Ωの抵抗と4Ωのコイル、コンデンサ側の枝について1Ωの抵抗と1Ωのコンデンサとしておきます(コンデンサが√3Ωのようにみえるが、回路の右のベクトル図から見ると、1Ωのように見える)。惜しいところで、計算を間違えているようです。
ということで、計算してみると次のようになります。

この回路について、I1, I2 を求めると、

  I1 = 10/(3 + j4) = 2(3 - j4)/5
  I2 = 10/(1 -j1) = 5(1 + j1) (普通は...続きを読む

Q中学理科 「ばね」の問題です

「あるばねに30Nのおもりをつりさげたら11.5cmになり、50Nのおもりを下げたら12.5cmになった。80Nのおもりを下げたら何cmになると考えられるか。80Nのおもりを下げた後もばねが伸びきることはないこととする。」この問題の解答と解説をお願いします。僕は中学生で、全く解き方が分からないので、詳しい解説をよろしくお願いします。

Aベストアンサー

ばねには何もおもりをつり下げないときにも長さがあります。
おもりをつり下げた際には、おもりの重さに比例して伸びます
今回最初の長さはわかっていませんので、差を使って長さを求めます

50Nのおもりだと12.5cm、30Nのおもりだと11.5cmであるので、
50N-30N=12.5-11.5
20N=1
N=0.05
1N辺り0.05cmの伸びとなります

80Nは50Nより30N重いので、30N分だけ50N(12.5cm)から伸びます
80N=12.5+30N
80N=12.5+30*0.05
80N=12.5+1.5
80N=14(cm) //

QRLC直列回路のC両端電圧の減衰波形

RLC直列回路の過渡現象についての質問です。
先日、実験でRLC直列回路の測定を行ったのですが、R^2/-4L/C<0の場合のCの両端の電圧Ecが、どうしても実験値と理論値が上手く合いません。
5V、500Hzの方形波で実験を行ったのですが、実験値と理論値とでは誤差がかなりでてきます。
実際の計算としては、

測定値 15[μs]の時、8.26[V]
理論値 15[μs]の時、1.59[V]

となってしまいます。
求める電圧の式は

Ec=E(1-exp(-αt)(α/β*sin(βt)+cos(βt)))

であってるはずです。

α=R/(2L),β=1/(2L)*√(4L/C-R^2)として、各素子の値は
R=50[Ω],L=2[mH],C=10[nF],E=5[V]で、信号発生器の内部インピーダンスが50[Ω]、Lの内部インピーダンスが3.5[Ω]です。

上記の理論値には、内部インピーダンスも全て含めて計算しています。
けれども、中々計算が合いません。
もし、ここが間違っているなどありましたら、ご教授願います。

RLC直列回路の過渡現象についての質問です。
先日、実験でRLC直列回路の測定を行ったのですが、R^2/-4L/C<0の場合のCの両端の電圧Ecが、どうしても実験値と理論値が上手く合いません。
5V、500Hzの方形波で実験を行ったのですが、実験値と理論値とでは誤差がかなりでてきます。
実際の計算としては、

測定値 15[μs]の時、8.26[V]
理論値 15[μs]の時、1.59[V]

となってしまいます。
求める電圧の式は

Ec=E(1-exp(-αt)(α/β*sin(βt)+cos(βt)))

であってるはずです。

α=R/(2L),β=1/(2L)*√(4L/C-...続きを読む

Aベストアンサー

#3お礼欄に関して
(計算は数式処理ソフトでやったので、個別の数値は出していないんですが)αもβもそれくらいの数値になるかと思います。
で、t=14μ秒くらいで、βt=πになるので、sin(βt)=0,cos(βt)=-1,
αt=0.36なので、
Ec=E*(1+exp(-0.36))≒1.7E
くらいの数値になるかと思います。


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