「単振動の強制振動における変位は、LCR直列共振回路に電圧源を接続したときのCの両端に現れる電圧に対応する」
というのは本当ですか?
どのように証明したらいいのでしょうか。

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A 回答 (1件)

本当です.


ただし,単振動の方にちょっと注意が要ります(後述).

LCR直列共振回路に交流電圧源 V_0 sin ωt を接続したときの回路の微分方程式は
(1)  L d^2 Q/dt^2 + R dQ/dt + Q/C = V_0 sin ωt
です.
コンデンサーの両端の電圧を V_c としますと V_c = Q/C ですから,
(2)  LC d^2 V_c/dt^2 + RC d V_c/dt + V_c = V_0 sin ωt
が V_c を支配する微分方程式です.

一方,単振動する物体(質量 m,ばね定数 k,変位 x)に,
速度に比例する抵抗 γv = γ dx/dtがあって,
それに外部から力 F_0 sin ωt をかけた場合の運動方程式は
(3)  m d^2 x/dt^2 + γ dx/dt + kx = F_0 sin ωt
です.

(2)(3)は全く同型の微分方程式ですから,
解の振る舞いも全く同一です
(もちろん,初期条件を対応関係で同じように取って).
両者の間で,何と何とが対応するかは(2)(3)を比べれば明らかでしょう.

いずれも,大学理工系1年次程度の内容で,
共振回路の方は電磁気関係のテキスト,
単振動の方は力学関係にテキストに,
たいてい載っています.
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この回答へのお礼

丁寧な説明有難う御座いました!

お礼日時:2001/12/10 17:06

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抵抗R0、コイルのリアクタンスXL、コンデンサのリアクタンスをXC
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VR0=E・R/{R^2+(XL-XC)^2}^0.5
VL=E・XL/{R^2+(XL-XC)^2}^0.5
VC=E・XC/{R^2+(XL-XC)^2}^0.5
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しかし通常共振曲線というのは共振周波数を頂点とした山のグラフができるのではないのでしょうか?それが谷になるというのがよくわからなくてこうやって質問させて頂きました。

駄文申し訳ございません。

Aベストアンサー

1.LC直列共振回路にある周波数ω、振幅Iの電流を流すことを考える。
2.そのとき、LやCにはどんな電圧が現われるか、位相も含めて考える。
3.LC共振回路の両端電圧はどうなっているかを考える。
4.ωが変化したときに、Lの電圧,Cの電圧,全体の電圧がどう変化するか考える。
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(最初に直列共振回路のインピーダンスZを計算して、これがωとともにどう変化するか、電流Iを流したときに電圧が周波数によってどう変化するか、を見てもよいかと思います。)

QLCR直列共振回路

http://media.dj.kit.ac.jp/kairoensyu04/LCRkairo.html
のような実験をしまして、

回路図
+---コイル---コンデンサ---抵抗----+
1                 1
+----------(+電源-)--------------+

コイルの内部抵抗をr、コイルのインダクタンスをL
コンデンサの容量をC、抵抗値をR
電源電圧をV、各電圧を順にVL,VC,VRとしたとき
http://www.kdcnet.ac.jp/buturi/kougi/buturiji/lcr/lcr.htm
の最終結果の共鳴の鋭さQ=f_0/(f_2 - f_1) ---式(a) の式から
Q=(√(L/C))*(1/R+r)はどのようにして導かれるのでしょう?



また、このことのついて
参考書を見たところ、V=I*√[{wL-(1/wC)}^2+R^2]の
ルートの中の式の{wL-(1/wC)}^2 = R^2  ---式(b)の
式をwについて解き、符号について考えた後
大きいほうから小さいほうをひけば
(a)式の分母が出て
その分子はf_0=(2*3.14*√(LC))^(-1)から導かれるのが
わかったのですが、
なぜ(b)式のようにしていいのでしょうか?

http://media.dj.kit.ac.jp/kairoensyu04/LCRkairo.html
のような実験をしまして、

回路図
+---コイル---コンデンサ---抵抗----+
1                 1
+----------(+電源-)--------------+

コイルの内部抵抗をr、コイルのインダクタンスをL
コンデンサの容量をC、抵抗値をR
電源電圧をV、各電圧を順にVL,VC,VRとしたとき
http://www.kdcnet.ac.jp/buturi/kougi/buturiji/lcr/lcr.htm
の最終結果の共鳴の鋭さQ=f_0/(f_2 - f_1) ---式(a) の式から
Q=(√(L/C))*(1/R+r)はどのよう...続きを読む

Aベストアンサー

教科書も捨てて、だいぶ経つので申し訳ありませんが、下記のサイトの話のようだったと記憶しています。
こちらの方が分かり易いと思います。
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I/I0=R/√{ R^2+(ωL- 1/(ωC)^2 }
から、これが1/√2になる条件(電力の1/2を電流に換算して)を計算すると
R^2/{ R^2+(ωL- 1/(ωC)^2 }=1/2
2R^2={ R^2+(ωL- 1/(ωC)^2 }
故に、(b)の R^2=(ωL- 1/(ωC)^2 となる。

>Q=(√(L/C))*(1/R+r)はどのようにして導かれるのでしょう?
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「電流が等しいので」「電圧が等しいので」とは一体何が等しいのでしょうか。

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どこが間違っているのでしょうか
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抵抗の電圧→VR
コンデンサの電流→IC
コンデンサの電圧→VC
です。

ICとVRは同相なのではないでしょうか
VCとICは90度ずれるはずなのに違ってしまいます

Aベストアンサー

No. 2 です。 
2/12 の並列回路の図の数値がはっきりしませんが、一応、コイルの側の枝について3Ωの抵抗と4Ωのコイル、コンデンサ側の枝について1Ωの抵抗と1Ωのコンデンサとしておきます(コンデンサが√3Ωのようにみえるが、回路の右のベクトル図から見ると、1Ωのように見える)。惜しいところで、計算を間違えているようです。
ということで、計算してみると次のようになります。

この回路について、I1, I2 を求めると、

  I1 = 10/(3 + j4) = 2(3 - j4)/5
  I2 = 10/(1 -j1) = 5(1 + j1) (普通は、j1 とは書かないと思いますがここでは、jの係数をはっきりさせる意味で書いておきます。)
  I = I1 + I2 (計算してください。)
となります。この電流をもとに、各素子の電圧を求めると、

  VR = 3 x I1 = 6(3 - j4)/5, VL = j4 x I1 = 8(4 + j3)/5
  VR' = 1 x I2 = 5(1 + j1), VC = -j1 x I2 = 5(1 - j1)

となります。
あなたの疑問を解決するためには、少し回り道ですが、これらの値でいくつかのベクトル図を描いてみてください。

まず、I1 を複素平面に描く。それから、VR, VL を同じ複素平面に描く。すると、I1 と VR とが同じ向きになっていることが分かると思います。VL は、VR(I1) から、+90度回った方向に描かれていることもわかると思います。そして、2つの電圧を合成した結果は、10 + j0 となっているでしょう。
同じことを、I2, VR', VC でもします。すると、VC は、VR'(I2) から、- 90度回った方向に描かれていることが分かると思います。

今描いたベクトル図を、電流基準で見直します。ということは、ベクトル図の電流方向に実軸を合わせて、ベクトル図を見るということです。すると、電流、電圧の関係は同じでも、なんとなく見え方が違っていることが分かると思います。

これで、どうでしょうか。

並列回路の場合、各枝の電流が違っていますから、そのうちのどれかを基準にして、ベクトル図を描くのは良い方法ではないことが分かります。各枝の電圧は同じですから、それを基準にベクトル図を考えるのが良いということも分かると思います(ただし、慣れていないうちは、混乱するから、ベクトル図を描くときには、電流を基準にして描くことにしておいた方が安全だと思います)。

No. 2 です。 
2/12 の並列回路の図の数値がはっきりしませんが、一応、コイルの側の枝について3Ωの抵抗と4Ωのコイル、コンデンサ側の枝について1Ωの抵抗と1Ωのコンデンサとしておきます(コンデンサが√3Ωのようにみえるが、回路の右のベクトル図から見ると、1Ωのように見える)。惜しいところで、計算を間違えているようです。
ということで、計算してみると次のようになります。

この回路について、I1, I2 を求めると、

  I1 = 10/(3 + j4) = 2(3 - j4)/5
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QRLC直列回路のC両端電圧の減衰波形

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先日、実験でRLC直列回路の測定を行ったのですが、R^2/-4L/C<0の場合のCの両端の電圧Ecが、どうしても実験値と理論値が上手く合いません。
5V、500Hzの方形波で実験を行ったのですが、実験値と理論値とでは誤差がかなりでてきます。
実際の計算としては、

測定値 15[μs]の時、8.26[V]
理論値 15[μs]の時、1.59[V]

となってしまいます。
求める電圧の式は

Ec=E(1-exp(-αt)(α/β*sin(βt)+cos(βt)))

であってるはずです。

α=R/(2L),β=1/(2L)*√(4L/C-R^2)として、各素子の値は
R=50[Ω],L=2[mH],C=10[nF],E=5[V]で、信号発生器の内部インピーダンスが50[Ω]、Lの内部インピーダンスが3.5[Ω]です。

上記の理論値には、内部インピーダンスも全て含めて計算しています。
けれども、中々計算が合いません。
もし、ここが間違っているなどありましたら、ご教授願います。

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測定値 15[μs]の時、8.26[V]
理論値 15[μs]の時、1.59[V]

となってしまいます。
求める電圧の式は

Ec=E(1-exp(-αt)(α/β*sin(βt)+cos(βt)))

であってるはずです。

α=R/(2L),β=1/(2L)*√(4L/C-...続きを読む

Aベストアンサー

#3お礼欄に関して
(計算は数式処理ソフトでやったので、個別の数値は出していないんですが)αもβもそれくらいの数値になるかと思います。
で、t=14μ秒くらいで、βt=πになるので、sin(βt)=0,cos(βt)=-1,
αt=0.36なので、
Ec=E*(1+exp(-0.36))≒1.7E
くらいの数値になるかと思います。


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