回転系の問題を解いているうちに、どうしても分からない矛盾に出くわしました。
元々は複雑な問題だったのですが、疑問点以外の要素を捨象したところ、
次のような問題に帰着されるようです。

慣性系に対して角速度ωで回転する系において、回転中心から初速ゼロで半径方向に一直線に遠ざかって行く物体があるとします(このような運動を起こすためには適切な外力を加えなければならないでしょう)。ある時刻において物体が中心からrの距離に到達し、その速度が半径方向外向きにvとなったとき、この瞬間までに外力が物体に対してなした仕事Wを求めることを考えます。
物体の運動エネルギーは0から(mv^2)/2に増加し、これは外力と遠心力とがそれぞれ物体に与えた仕事の和に等しいはずです。遠心力は正の仕事
∫(0からrまで)mxω^2dx = {m(rω)^2}/2
を与えるので次の式が成り立ちます。
(mv^2)/2 = {m(rω)^2}/2 + W
これよりW = m{v^2 - (rω)^2}/2となります。
次に、この議論を慣性系において行ってみます。運動の終点で物体は半径方向外向きにv、接線方向にrωの成分を持つ速度を有しています。したがって運動エネルギーは
m{v^2 + (rω)^2}/2となり、これが外力のなした仕事に等しいので、
W = m{v^2 + (rω)^2}/2
となってしまい、先ほどの回転系で得られた結果と一致しません。
一体どこが間違っているのでしょうか。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (5件)

遠心力だけで運動する物体を考えてみましょう。

例えば、回転する座標軸
を剛体の細い棒とみなして、それに滑らかに串刺しされた団子を考えます。

スタートは回転中心からにはできませんが、ほんのわずか団子をずらして
やれば、棒を滑っていくはずです。

これを慣性系から見れば、棒が団子を押す力が外力です。力の方向は棒に
垂直です。この外力は仕事を行って団子に運動エネルギーを与えます。

さて、回転する棒に張り付いた回転座標系で見てみましょう。角速度が
一定の場合、団子にかかる力は以下の通りです。

回転系から見た力=
慣性系から見た外力 + コリオリの力 + 遠心力

最初に「遠心力だけ」という言葉を使いました。「慣性系から見た外力」
と「コリオリの力」が相殺されているということですね。

慣性形から見た外力とコリオリの力は団子の進行方向に垂直に働きます
から仕事はしません。遠心力だけが仕事をして団子に運動エネルギーを
与えることになります。

以上の話が解決の糸口になると思いますが、いかかでしょうか。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

よく考えてみると、回転系と慣性系とで外力による仕事を同じWとしてはいけないですよね。そこが間違っていました。回転系で考えると、この運動を起こすためには、半径方向外向きに外力を加えるのではダメで、コリオリの力を相殺できるだけの接線方向の成分も持たせないといけないんですね。そのことを忘れていました。ありがとうございます!おかげで謎が解けました。

お礼日時:2001/12/11 13:47

おおお、符号をチョンボしていましたか。

どうもすいません。

さて、そうしますと具体的にどんな外力が加わったかは明らかになった訳ですから、仕事の問題も解決したも同然ってことですね。

お邪魔いたしました。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

いつも質問にお付き合い下さってありがとうございます。極座標や回転系は今まで避けて通ってきたのですが、これを機に徹底的に理解することができました。

お礼日時:2001/12/13 21:10

やっちまいました。


θ'=ωを入れ忘れてました。すると、
「一定角速度ωで回転する串から団子が受ける力が、常に円周の接線方向を向いている。」は
((ω^2)r-r'')cos(2ωt)+(2ωr')sin(2ωt)=0
になるように思います。

つまり
r''=(ω^2)r+(2ωr') tan(2ωt)
これだと、やっぱり90°回ると吹っ飛んでしまうような…

じゃあ、単純なところで、慣性系の直交座標でもやってみましょう。
団子の位置<x,y>=<r cos(ωt), r sin(ωt)>
団子の速度<x',y'>= <r' cos(ωt)-ωr sin(ωt), r' sin(ωt)+ωr cos(ωt)>
団子の加速度<x'',y''>=<(r''-(ω^2)r) cos(ωt)-2ωr' sin(ωt), (r''-(ω^2)r)sin(ωt)+2ωr' cos(ωt)>
んでもって、加速度は円周の接線方向を向いているのだから、
x''cos(ωt) = y'' sin(ωt)
よって、
(r''-(ω^2)r) (cos(ωt))^2-2ωr' sin(ωt)cos(ωt)= (r''-(ω^2)r)(sin(ωt))^2+2ωr' sin(ωt)cos(ωt)
(r''-(ω^2)r)( (cos(ωt))^2-(sin(ωt))^2)-4ωr' sin(ωt)cos(ωt)=0
(r''-(ω^2)r) cos(2ωt)-2ωr' sin(2ωt)=0
あれれ、同じになっちゃった。

うーむ。分からなくなってしまいました。

ご質問に回答する以前のところで躓いてしまってますね。とほほ。

この回答への補足

加速度が円周の接線方向に生じるという条件は
x''cos(ωt) = y'' sin(ωt)
ではなくて、
(x, y)・(cos(ωt), sin(ωt)) = 0 (内積ゼロ)
すなわち
x''cos(ωt) = - y'' sin(ωt)
なのではないでしょうか。これで計算すると r'' - (ω^2)r = 0 となって、めでたく redbean さんの式と一致しますね。

補足日時:2001/12/12 13:12
    • good
    • 0

90°で無限遠ですか?



慣性系の極座標表示で運動方程式を書いてみると、
θ'=ω,θ''=0 だから...

m(r''-r(θ')^2)=F_r=0
2mr'θ'=F_θ

第2式は単にこの運動に必要な力を説明しているだけ
なので無視して、

r''=r ω^2

これを解いて

r(t)=a exp(ωt) + b exp(-ωt)

( r(0)>0, r'(0)=0 ならば a,b>0 かな?)

となって、有限時間では有限の範囲におさまるのでは?
    • good
    • 0

直接の回答ではありませんが…



運動方程式を作ってみたら、こんな風になりましたよ。
摩擦のない串に刺さった団子の、回転中心からの距離をr(t), 回転する串の各速度をωとするとき、

(r-r'')cos(2ωt)+2r' sin(2ωt)=0

ここにプライム(')はtによる微分です。書き換えれば
r+2r' tan(2ωt)=r''
ということになるから、r(0)=0, r'(0)>0で出発しようが、r(0)>0, r'(0)=0で出発しようが、串が90°回るとrは無限遠にまで吹っ飛んでしまうという結論になります。
面白いです。(が、ほんまかいな?計算間違いの常習犯なもので。)
    • good
    • 0

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Qエンジン回転数とピストンの往復運動の説明なのですが・・・

お世話になります。

以下の説明ですが正しいでしょうか?

『エンジンが1500rpmで回っている場合
 1分間に1500回クランクが回っているのだから
 1秒間には25回まわっている。(1500/60)

 したがって、各気筒内ではピストンは1秒間に25回
 上下往復運動している』

4サイクルの車のエンジンの話です。
あってると思っていたのですが1秒間に25回!?
と、ちょっと疑問に思ったもので・・・。

Aベストアンサー

バイクのエンジンですが、実際に1000rpm時のエンジンの状態がアニメーションで表示されます。
かなり速く回転しているという事は理解できると思いますよ。

参考URL:http://www.yamaha-motor.jp/mc/lineup/sportsbike/sr400/cafe/engine/index.html

Q物理の計算で m×dv/dt×v=d/dt{1/2mv(t)^2} という変形はどうやったらできます

物理の計算で
m×dv/dt×v=d/dt{1/2mv(t)^2}
という変形はどうやったらできますか?

Aベストアンサー

2つの関数F(t)、G(t)を考えると

 dF(t)*G(t)/dt = dF/dt * G + F * dG/dt   ①

です。

ここで
 F = mv
 G = v
とおいて①に代入すれば

d(mv²)/dt = d(mv)/dt * v + mv * dv/dt = 2*mv*dv/dt

これで
 mv*dv/dt = (1/2)d(mv²)/dt
なのですけどね。

Qシリンダの往復運動ですがこの写真の1から4までの意味を教えてもらえませんか?

シリンダの往復運動ですがこの写真の1から4までの意味を教えてもらえませんか?

Aベストアンサー

想像ですが、
①ソレノイドリレーのフォワード用コイル1で前進させ
②タイマーリレー1で時間稼ぎをして、
③リセット用コイル1で後進させる
④①~③の繰り返し
記号はそれぞれカタカナで書いた文字の
英語の頭文字だったりして。

実際のソレノイドのがどういう作業をするか
配置図のようなものがあれば、もう少し明確になります。

QΣ_{l}exp(ikr_{l})について

教科書にΣ_{l}exp(ikr_{l})はkr_{l}が2πの整数倍でない場合はゼロになると書いてあったのですが証明できません。証明をお願いします。

ちなみに散乱問題に出てきたしきでしてkは散乱波数、r_{l}はl番目のターゲット粒子の位置になっています。

Aベストアンサー

 数学的には 総和Σ_{l}が有限個の項の総和であるなら「0になるとは限らない」というのが正しく、従って、「ゼロになる」を証明することは絶望的でしょう。一方、無限個の項の総和であるならば、「無限個の項の総和」の定義によって話が違ってきます。(そこんとこを扱う数学は発散級数論です。)

 もし、物理の理論でありながら総和Σ_{l}が無限個の項の総和を意味している、というのなら、お使いの教科書の場合、多分、ごく多数個の「ターゲット粒子」があるという状態を、無限個の「ターゲット粒子」があるという状態で近似する、という方法で扱うために「周期超関数に関するフーリエ変換」というものを利用しようとしていて、その文脈において

> kr_{l}が2πの整数倍でない場合はゼロになる

と記述しているのだと思われます。これを数学の観点から見れば、この場合の総和の取り方は、有限個の項の場合を考えておいて「粒子の個数→∞」という極限を取る、という形で定義されるでしょう。なお、証明については、数学スレで扱う話だろうと思います。

Qバス運動(縦に往復運動)する電動歯ブラシを探てます

いまは音波水流や超音波水流の電動歯ブラシがほとんどのようで昔風の手で磨くような往復運動をする電動歯ブラシは見当たりません。
なにしろ手と同じような動きをするバス磨きの電動歯ブラシをつかいたいので現在販売されているものがありましたらメーカー名と品番や名称など教えてください。

Aベストアンサー

サンスターgumの商品は?

参考URL:http://jp.sunstar.com/company/press/2013/pdf/131010.pdf

Q角運動量とK.E.変化について 半径rで糸に繋がれ円運動している物体mを糸を引いて半径r'

角運動量とK.E.変化について





半径rで糸に繋がれ円運動している物体mを糸を引いて半径r'(<r)になったとき速度は角運動量保存則により速くなるのはわかるのですが
糸を引く力は物体の速度方向と常に垂直に働くにもかかわらず物体の運動エネルギーが増加しているのがしっくりこないのですがなぜ増加するのか教えてください

Aベストアンサー

No.1&3です。各々のエネルギーを計算してみましょう。

物体の質量を m として、当初の円運動の半径を R1 、角速度を ω1 とします。
その運動エネルギーは
 E1 = (1/2)m*R1^2*ω1^2   ①

糸を引いて半径を R2 にしたときの角速度を ω2 とすると、その運動エネルギーは
 E2 = (1/2)m*R2^2*ω2^2   ②

角運動量が保存されれば
 L = m*R1^2*ω1 = m*R2^2*ω2 =const
より
 ω2 = (R1/R2)^2 *ω1   ③

よって②は、③を使って
 E2 = (1/2)m*R2^2*ω2^2
   = (1/2)m*R2^2*[ (R1/R2)^2 *ω1 ]^2
   = (1/2)m*(R1^4/R2^2) *ω1^2
   = E1 * (R1^2/R2^2)   ④
となることが分かります。(半径が 1/2 になれば、運動エネルギーは 4 倍になります)

一方、回転半径が r のときの遠心力は、外向きに
 F = m*r*ω^2
であり、角運動量が一定なら L=m*r^2*ω=const より
 ω = L/(m*r^2)
なので、遠心力は
 F = L^2/(m*r^3)
と書けます。

この遠心力に逆らって、半径方向に微小変位 dr 分だけ移動するのに要する仕事は、(力)×(変位)なので
 dW = -F*dr = -[ L^2/(m*r^3) ]dr

従って、半径 R1 から R2 に変化させるのに必要な仕事の総量は
 W = ∫[R1→R2][ -L^2/(m*r^3) ]dr
   = L^2/(2m)[ 1/r^2 ][R1→R2]
   = L^2[ 1/R2^2 - 1/R1^2 ] /(2m)
   = (1/2)L^2*(R1^2 - R2^2)/[ m(R1^2 * R2^2) ]

ここに L=m*R1^2*ω1 を代入すれば
 W = (1/2)m*R1^2*ω1^2*(R1^2 - R2^2)/R2^2
   = E1 * (R1^2 - R2^2)/R2^2          ⑤
ということになります。
 半径を 1/2 にするには、当初の運動エネルギーの 3 倍のエネルギーに相当する仕事をしなければいけないことになります。

①④より、運動エネルギーの差は
 E2 - E1
= E1 * (R1^2/R2^2) - E1
= E1 * (R1^2 - R2^2)/R2^2
ですから、⑤に一致することが分かります。

以上より、当初の半径を R1 の回転運動の運動エネルギーに対して、半径 R2 の回転運動の運動エネルギーは、半径を R1 から R2 に変化させるのに外から加えた仕事分だけ大きくなっていることが分かります。

No.1&3です。各々のエネルギーを計算してみましょう。

物体の質量を m として、当初の円運動の半径を R1 、角速度を ω1 とします。
その運動エネルギーは
 E1 = (1/2)m*R1^2*ω1^2   ①

糸を引いて半径を R2 にしたときの角速度を ω2 とすると、その運動エネルギーは
 E2 = (1/2)m*R2^2*ω2^2   ②

角運動量が保存されれば
 L = m*R1^2*ω1 = m*R2^2*ω2 =const
より
 ω2 = (R1/R2)^2 *ω1   ③

よって②は、③を使って
 E2 = (1/2)m*R2^2*ω2^2
   = (1/2)m*R2^2*[ (R1/R2)^2 *ω1 ]^2
   = (1/2)m*(R...続きを読む

Qモータを利用した直線往復運動機構

モータを利用して直線往復運動をする機構を作りたいと考えています。

ですが、機械設計をした事が無く、どのような部品を
選定して組み合わせたら良いのか分かりません。

可動範囲は10cm程度で、重量はほとんどかかりません。
動けばいい程度のものです。

この部品を組み合わせればいい等分かれば教えて頂けないでしょうか。
出きるだけ、安く作りたいです。

Aベストアンサー

#5だが、三度。

> 自分で作るのは無理だと思うのですが、
> モータと接続するだけで、使えるボールねじ機構などは
> 売っているのでしょうか?

文章での説明だから、上手く伝わるかわからないが・・・。
ひとつひとつ考えてくれ。
わからないところは、補足する。

まず、ボールねじは、まさにネジとナットがあれば構成できる。
この場合、ネジの長さや径は任意に選択できる。
ネジが切られたシャフトは安いのがいくらでも手に入るだろう。
ナットは、高ナットを買えば良い。
ナットは一般的に六角形だからナットが回転しないようにガイドを設ければ、シャフトが回転すればナットは直線運動する。
ガイドは、ナットを両側から挟みこむように壁を作れば良いだろう。
あとは、ネジを支える軸受けを設置すればよい。
モータとの接続は、カップリングを用いれば、シャフト径が異なったり、少々の歪みなら吸収してくれる。

欠点は、ネジ・ナットは規格品だからピッチが固定であること。
速い移動速度が欲しければピッチは荒くなるし、細かい動きが欲しければピッチは狭くする必要がある。
ピッチが狭ければナットが移動する力が大きく取れる。

まあ、機構は単純だから、ゆっくり考えてもらいたい。

#5だが、三度。

> 自分で作るのは無理だと思うのですが、
> モータと接続するだけで、使えるボールねじ機構などは
> 売っているのでしょうか?

文章での説明だから、上手く伝わるかわからないが・・・。
ひとつひとつ考えてくれ。
わからないところは、補足する。

まず、ボールねじは、まさにネジとナットがあれば構成できる。
この場合、ネジの長さや径は任意に選択できる。
ネジが切られたシャフトは安いのがいくらでも手に入るだろう。
ナットは、高ナットを買えば良い。
ナットは一般的に六角形だ...続きを読む

Q力学についての質問です。 偏角方向への初速がなく、動径方向には万有引力だけ力がある運動方程式d^2r

力学についての質問です。

偏角方向への初速がなく、動径方向には万有引力だけ力がある運動方程式d^2r/dt^2の解rが知りたく、下の紙のように解いたのですが、積分ができません。
どなたか答えを教えてください。

できれば下の置換の仕方で答えが解きたいです。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

左辺, dr の下にあるのは
√(2k/r + C1)
でしょうか? もしそうなら, 1/r = X とおいても積分は単純ではないと思います.

Maxima によると, いったん
Y = √(2k/r + C1)
と置くとよさそうな感じ. まあこれでもまだまだ処理が続きますが.

Q電子工作で、簡単に往復運動を実現するには。

こんにちは。
マイコン(PIC)などを使って、
上下運動をする方法を考えています。
(正確には、
人間の腕を棒にしたようなもので、
肩を支点に上下するイメージです。
音楽のリズムを刻ませたいです。)

どのような方法があるでしょうか。
何かアドバイスありましたら、
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

どの部分をアドバイスしたら良いのかよく判らないのですが、
電気仕掛けならば、
モータかソレノイドを使うことになるでしょうね。

それをどうやってどうしたいか、
これはもう少し、具体的なイメージが示されないと判りません。

往復運動、反復運動の類ですから、
なんかの形で、マルチバイブレータを形成することになります。
同期させる必要はあるのでしょうかね???

楽しそうなので、何とか協力・回答・アドバイスしたいです。

もう少し、具体的なイメージを示してください。

Q(原点を共有する)慣性系と回転系における回転の運動方程式について

お世話になります。

話の前段階として、回転とは違い、慣性系Oに対して加速度運動(平行移動)する系O’を考えます。
とある物体Pの位置ベクトルを
r :O系から見たベクトル
r’:O’系から見たベクトル
r0:O系からみたO'系の原点のベクトル
とします。

この時、r = r’ + r0 です。
この式を両辺二階微分し(加速度をαをします)、質量mをかければ
mα = mα’ + mα0 ⇒
慣性系Oで観測される物体にかかる外力 F = mα’ + mα0 ということになります。

O’系で観測される外力 F’ は上式を移項し、
mα’ = F - mα0 = F’

ここから分かる事は、O’系がO系に対して加速度運動をしていなければ(α0=0)、
O系、O’系両方において観測される外力が等しい(F = F’)ということです。
自分はここはなるほどと理解しました。
⇒今回のタイトルの質問の肝になるところです。

ここで、O’系を回転系に置き換えます(慣性系O、回転系O’において唯一原点のみ共有)。

慣性系において、角運動量の時間変化は作用する力のモーメントに等しい
dL/dt = N
という関係式がありますが、これをO’系の表現を使えば、
dL/dt = d’L/dt + ω×L’
となります。

とある書籍に、
作用する力のモーメントは慣性系の言葉を使おうが、回転系の言葉を使おうが同じ、
N = N’ ⇒
d’L/dt + ω×L' = N’ ⇒
回転系の観測者が見る回転の運動方程式は
d’L/dt = N’ - ω×L’
だと書かれていました。

慣性系Oに対して、回転系O’が加速度運動をしていなければ、なんとなく納得できるのですが、
そのような条件は述べておらず(もしかしたら見逃したかもしれません)、

質問1)なぜ、N = N’と言えるのかが分かりませんでした。
質問2)前半の平行移動の話と比較して説明できるものでしょうか?
   (加速度運動をしているから、ω×L'の項が現れるのだろうか?)

回転に関する内容はとても難しく、混乱しているところがあります。
宜しくお願いします。

お世話になります。

話の前段階として、回転とは違い、慣性系Oに対して加速度運動(平行移動)する系O’を考えます。
とある物体Pの位置ベクトルを
r :O系から見たベクトル
r’:O’系から見たベクトル
r0:O系からみたO'系の原点のベクトル
とします。

この時、r = r’ + r0 です。
この式を両辺二階微分し(加速度をαをします)、質量mをかければ
mα = mα’ + mα0 ⇒
慣性系Oで観測される物体にかかる外力 F = mα’ + mα0 ということになります。

O’系で観測される外力 F’ は上式を移項し、
mα’ ...続きを読む

Aベストアンサー

>質問1)なぜ、N = N’と言えるのかが分かりませんでした。

そんなことは書いてないと思いますよ。もう一度読み直してください。

>dL/dt = N
>という関係式がありますが、これをO’系の表現を使えば、
>dL/dt = d’L/dt + ω×L’

なのでしょ。つまり

dL/dt = d’L/dt + ω×L’= N

だから

d’L/dt = N - ω×L’

角運動量の回転系での時間微分は,「静止系のトルク」と- ω×L’だけ異なっている。

という意味のことが書いてあるはずです。

N'の意味は回転系で観測されるトルクではなく,
静止座標系のトルクを回転座標系の基底を使った成分で書いたもののはずですよ。


人気Q&Aランキング

おすすめ情報