痔になりやすい生活習慣とは?

ドブロイ波長λ=h/mvについてお尋ねします。
(私にとっては、昔習ったことを思い出してる感じです。すいません。。)
よく教科書では、電子の場合は(早くて軽い) オングストローム程度のオーダーのドブロイ波長、
ピッチャーが投げる野球の球(遅いけど重い)では、ものすごく小さい波長ですね。
なんて書いてあった気がしました。

それを習った当時は、そっかー電子みたいに軽くて早いものの場合には、波の性質があわられるのか。。。と思ってました。

今日、ふと疑問におもったのですが、
原子程度(確か電子の2000倍くらいだった気が。。)の粒子の場合の粒子が、すごく遅い時、電子よりも2000倍重いけど速度が10桁とか遅い時、電子の場合よりも λ=h/mvの分母が小さくなるので ドブロイ波長は長くなりますよね。。。
すると、同じ粒子でも(たとえば野球の球でも)どんどん速度が小さくなると、ドブロイ波長はどんどん長くなるのでしょうか?なんか変なことを言っている気がします。どこが変なのでしょう。。
お手数かけます。

いやぁ。。なんだかつたない質問ですいません。。。。。

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A 回答 (6件)

こんばんは。


>同じ粒子でも(たとえば野球の球でも)どんどん速度が小さくなると、ドブロイ波長はどんどん長くなるのでしょうか?
これでいいと思います。
でも確かに置きっぱなしの(速度がほとんど0)野球のボールが量子力学的な波の性質をあらわなさい事実と矛盾してるような感じを受けますね。(多分この事があって”変では”と言われているのと想像しています)
多分、ボールがそういう性質を現さないのはボールの温度によるのだと思います。
常温ではボールを構成する原子などは激しく運動しているのでド・ブロイ波長は長くならず、そのために波の性質は現さないのだと思います。

後半は勝手に質問者様の”変”と思われているのを推測してしまっています。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!!
>確かに置きっぱなしの野球のボールが量子力学的な波の性質をあらわなさい事実と矛盾してるような感じを受けますね。

それです!これを日本語にしたかった(恥)

とすると、固体中のイオンなんかは、
電子よりもすごく遅くて、質量はまあまぁ大きい
という程度ですよね。
するとドブロイ波長はすごく長くなってしまって
電子よりも大きなイオンの方が量子力学的な波の性質を示すということですかね。。

お礼日時:2005/12/11 15:33

こんばんは。


比熱に関して書いてあったのは本ではブルーバックスの現代天文学小事典p691に結晶を構成する粒子の熱振動に量子効果が顕著になるという旨の事が書かれています。
それ以外の本には比熱については載っていませんでした。
あとはインターネットで調べたところで以下のようなURLがありました。
http://www.op.titech.ac.jp/lab/Take-ishi/html/ki …
この中の固体の比熱の部分の後半にも結晶中の原子の振動が離散的(本文には離散的になれないとありますが離散的にしかなれないの間違いだと思います)とあります。
ここから勝手な推測で結晶格子中の原子は低温ではその物質波の波長が結晶格子の格子の距離の1/1、1/2、1/3と言う感じで飛び飛びしか取れない効果が強く出る。
そのために外部から熱エネルギーを受け取るにも上記の規制を受けてしまい比熱が下がる・・・・
と解釈しています。

確証がないのでアドバイスにします。
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この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございました。
大変勉強になりました。

お礼日時:2005/12/24 15:04

いろいろ調べてみましたが・・・



最終的には極低温で周辺粒子との関係で構成粒子の物質波のとりうる波長が規制されて飛び飛びの値の波長しか取れなくなってそれがさまざまな(比熱など)物理量に影響を与えそうだと言うことで本など調べたのですが現状わかりません。
すいません。
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この回答へのお礼

お礼が大変遅くなりました。
ちなみに、どのような本をお調べになったか参考文献などがあったら教えていただけませんか?

お礼日時:2005/12/20 13:41

イオンを含めた意味で原子と言わせていただきますが、原子に量子効果があることは、格子振動がフォノンとして量子化されていることや、固体比熱のT3乗則の導出に量子統計であるボーズ-アインシュタイン統計が使われていることから分かります。



が、それと物質波がどうつながるか、皆目分かりません。
回答になってなくてすいません。

ということでアドバイス・・・・・
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この回答へのお礼

いやいや ありがとうございます。
そうですよね。
固体の比熱では明らかに量子的な振る舞いが見られますよね。
お恥ずかしい。
どうもありがとうございます。
でもやっぱり物質波とのからみが気になっちゃいます。

お礼日時:2005/12/12 13:38

イオンについては分かりませんが、野球のボールについては・・・・



量子効果が現れてくるのは不確定性が問題になるところ。
今の場合は位置と速さの不確定性なので、

Δv × Δx ~(h/2π)/m~10^(-34)/m

野球のボールを100[g]=0.1[kg]とすると、m=0.1[kg]を入れて

Δv × Δx ~(h/2π)/m~10^(-33)

位置の不確定性がΔx=1[A]=10^(-10)[m]の場合、

Δv~10^(-23)[m/s]

計算に間違いなければ、1[m]移動するのに3×10^(15)年かかる速さに相当する。これは速さの精度としては事実上問題にならない大きさなので、量子効果をみることはできない。

というのが、一般的な答えではないかと思います。

ただし、マクロな体系に今の量子力学が本当に適用出来るかどうかはわからないとしか言いようがないのではないかと・・・・

この回答への補足

むむ!!
そっか。。
たとえば固体中のイオンの場合は、
周りにもイオンがいる状態で、緩和時間と平均自由行程から決まる移動速度であって
電子の速度と同じではないんですね。。
んん??
イオン結晶なんかだと、固体電解質であっても
1μm/s程度の動きなはずですが、これは格子との衝突の結果決まる速度ですよね。
陽子の質量 = 1.67262158 × 10-27 キログラム程度とすると、物質波の波長は、mm程度のオーダーになる気が。。
オングストローム程度の大きさのイオンが、固体中で動くときにミリメーター程度の物質波の波長をもつ
と出てきてしまうのは、速度の決め方によるんだろうか。。と思ってます。
で この場合の 物質波の意味って何なんでしょうか??
まどろっこしくてすいません。

補足日時:2005/12/12 09:37
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この回答へのお礼

そっかぁ。。。
不確定性原理からすると、
速度の不確定性は、野球の球の大きさからすると測定できない程度なんですね。
納得です。
てことは、やはり、イオンの場合は、量子効果がありうるんでしょうかね。。
どうもありがとうございます。
ホント、勉強になります。

お礼日時:2005/12/12 06:39

>とすると、固体中のイオンなんかは、・・・


>・・・量子力学的な波の性質を示すということですかね。。

私もこの辺になるとよく判らないですが、ちょっと調べました。
物質波の大きさは予想された通りで電子の時より大きくなるようです。
でも固体中ということで電子の場合のように自由な状態ではなく周りに電場があってそれに囲まれているため単純には量子効果が出ないようです。(実際は固体というより粒子密度が多い場合)
しかし温度を下げてさらに物質波の波長を長くして、その波長が固体結晶の格子距離程度まで広がると量子効果が現れるようです。
調べ切れてないですがヘリウムの超流動や原子レーザーなどがこれに相当すると思います。
http://www.ils.uec.ac.jp/panf/pf-23.pdf

あと、粒子の密度が少ない場合での波動性ですが、確かC60を使った2重スリット試験でも電子と同じように干渉縞が現れるそうです。
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この回答へのお礼

いやぁ。。本当にご丁寧に答えてくださって恐縮です。
単純に、物質波の波長だけではなく、粒子密度も関係するんですね。いわれてみれば。。という感じです。
フラーレンなんかだとスカスカしているので、物質波が面白い観測結果を出すんですね。
大変参考になりました。
ちょっとこの疑問を出すときには、恥ずかしかったのですが、実は へー。と思っている方、いるんじゃないかと思ってたりします。笑

お礼日時:2005/12/12 06:32

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Q電子のドブロイ波長を求めるときに。。。

数eV程度の運動エネルギーを持っている電子のドブロイ波長を考えたいのですが、本を見てみると静止エネルギーが無視されています。静止エネルギーを考慮するのと考慮しない場合では、ドブロイ波長の大きさが大きく変わってきます。どうして静止エネルギーを無視してしまうのですか?それがなぜ正しいのかが理解できません。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

混乱しているようなので整理します。

(1)光にも物質波にも使えるドブロイ波長の式: λ=h/p

(2)光にも物質にも使えるエネルギーと運動量Einsteinの関係式: E^2-p^2c^2=m^2 c^4


ここで(2)の式を変形した形で使われる

E=mc^2 √1+(p/mc)^2

の式も良く使われますが注意が必要(3)をみてください。

(3)質量のある物質にしか使えない運動量の定義

p=mv/√1-(v/c)^2

この式は相対論的に正しいしきですが、光には使えません。これが大事です!この式を(2)を変形した物に入れるとE=mc^2/√1-(v/c)^2 となりますが、当然この式も質量のあるものにしか使えません。この式でvが小さいときには

E=mc^2+ mv^2/2+....

となって質量エネルギーの項とニュートン力学での運動エネルギーの項が出てきます。質量エネルギーは皆さんが言っているように定数なので結局常に一定でなんら重要な役割をしません。なぜなら質量エネルギーはあるがそれは運動には使えないからあってもなくても理論上何も変化がないということです。(これは相対論的な運動になるまで成立します。相対論的な運動になると質量のあるものが突然きえて、質量エネルギーを他の物質に与えることによって、質量エネルギーが運動に使われ始めるからです。)



さてここまで整理が付いたでしょうか? すると残った問題は光の場合にはどうなるの?ということでしょう。くどいようですが(1)と(2)は光にも使えます、ただし(2)でm=0としてください。すると(2)からルートを取って

E=pc

が出てきますから光は運動量と、エネルギーがcをのぞけば同じになる不思議(?)なものです。ところで光のエネルギーはどうやって求まるの?という疑問がわきますが、それはE=pcだからpが分れば分るでしょということなんですが、するとpはどうやって求まるの?ということになります。 ここでドブロイの式λ=h/pを逆につかってp=h/λ と書けば 光の運動量は光の波長から求まる、波長は光の色から分る!という具合に光に対するエネルギーや運動量が全てもとまってしまいます。


考えてみてください、「物質にも波の性質がある」といったドブロイ先生の素晴らしい発見λ=h/pを逆に解釈すると「光にも運動量がある、p=h/λ」という波物質(?物質波の反対)の解釈も可能になるというわけです。


光と物質に使える式を区別して、もう一度自分で整理してみてください。疑問があればまた質問どうぞ

混乱しているようなので整理します。

(1)光にも物質波にも使えるドブロイ波長の式: λ=h/p

(2)光にも物質にも使えるエネルギーと運動量Einsteinの関係式: E^2-p^2c^2=m^2 c^4


ここで(2)の式を変形した形で使われる

E=mc^2 √1+(p/mc)^2

の式も良く使われますが注意が必要(3)をみてください。

(3)質量のある物質にしか使えない運動量の定義

p=mv/√1-(v/c)^2

この式は相対論的に正しいしきですが、光には使えません。これが大事です!この式を(2)を変形した物に入れるとE...続きを読む

Q波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式は?

波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式を知っていたら是非とも教えて欲しいのですが。
どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

No1 の回答の式より
 E = hc/λ[J]
   = hc/eλ[eV]
となります。
波長が nm 単位なら E = hc×10^9/eλ です。
あとは、
 h = 6.626*10^-34[J・s]
 e = 1.602*10^-19[C]
 c = 2.998*10^8[m/s]
などの値より、
 E≒1240/λ[eV]
となります。

>例えば540nmでは2.33eVになると論文には書いてあるのですが
>合っているのでしょうか?
λに 540[nm] を代入すると
 E = 1240/540 = 2.30[eV]
でちょっとずれてます。
式はあっているはずです。

Q正孔の有効質量とは

半導体の教科書に正孔の有効質量と出てきました
正孔は電子がない状態を表すので質量は0ではないのですか?
わかりません

それと、具体的なその値も教えていただければ
うれしいです

Aベストアンサー

有効質量は、ほんとの質量とは全く別物です。
正孔だけではなくて、電子の有効質量も、電子の本当の質量とは、ほとんど関係ないです。

もし、電子が真空中に1個だけ、あって、そこに電界をかければ、ニュートンの古典力学では、
F=qE = ma (q:電子の電荷、m:電子の質量、a:加速度)
という運動方程式になります。

ところで、半導体では、結晶を考えています。
結晶っていうのは、原子が周期的にたくさん並んでいるものです。
この結晶に電界Eをかけたとすると、結晶中の電子(伝導電子)は、電界Eによる力ももちろん受けますが、それだけではなくて、結晶中の電子は、周期的に並んでいる原子核から力(本当は量子力学を考えているので、「力」という言葉を使うのはかなり語弊があるのですが)からも力を受けています。しかも、結晶ですから、原子核は近いのから遠いのまで大量にあります。
なんで、結晶中の電子の運動は、実際には、上に書いたような簡単な式では表わすことができません。

な、はずなんですが、実は、うまいこと近似をすると、結晶の原子核たちから受けている力をすべて忘れてしまって、その代わりに、電子の質量がmではなくて、m'になったと思ったような式
F = qE = m'a
で、結晶中の伝導電子の動きが(近似的にですが)記述できてしまうということがわかったんです。本当は、結晶中のすべての原子を考えて、さらに量子力学を考えなければ、結晶中の伝導電子の動きは記述できないはずなのに、実は、それが、古典力学の式で、質量の値を有効質量というものに取り替えると、近似的には、電子が真空中に1個あるのと同じように扱えてしまう、ということです。これを、準古典力学表示 と言っています。
この有効質量というのは、電子の質量というよりは、むしろ、結晶を構成する原子や、結晶の構造によって決まっています。

で、正孔の有効質量ですが、これも、質量となってますが、本当の質量とはほとんど関係ないです。正孔は、本当は電子が抜けた穴なわけですが、その電子の抜けた穴がどう動いていくかを量子力学をつかってきちんと記述するかわりに、ある有効質量をもった+電荷を持つ正孔という粒子が真空中に1個あると思って、古典力学の式を立てると、たまたま、うまくいってしまうんです。

ただし、この準古典力学は、あくまで近似なんで、本当は正しくありません。正確に言えば、ポテンシャル関数の極値の周りでしか成り立ちません。なんですが、半導体では、普通、価電子帯の中で一番エネルギーが高い電子(ポテンシャル関数が極大値を取るところ)と、伝導帯の中で一番エネルギーが低い電子(ポテンシャル関数が極小値を取るところ)、にしか興味がないことが多いので、たいていうまく行ってしまいます。

有効質量は、ほんとの質量とは全く別物です。
正孔だけではなくて、電子の有効質量も、電子の本当の質量とは、ほとんど関係ないです。

もし、電子が真空中に1個だけ、あって、そこに電界をかければ、ニュートンの古典力学では、
F=qE = ma (q:電子の電荷、m:電子の質量、a:加速度)
という運動方程式になります。

ところで、半導体では、結晶を考えています。
結晶っていうのは、原子が周期的にたくさん並んでいるものです。
この結晶に電界Eをかけたとすると、結晶中の電子(伝導電子)は、電...続きを読む

Q正孔に質量はあるの?

半導体を卒研テーマに選んでいる者です。各種半導体の特性一覧表を見ていて
気づいたのですが、正孔の有効質量という項目があったのです。しかも、重い
正孔と軽い正孔に分けられていました。
正孔に質量があるっていうことが概念的に理解できないんですが・・・。
正孔って電子の抜け殻(?)ですよね。だから実際には存在しない物のはずなのに
とおもったりしています。

Aベストアンサー

これは、正孔そのものに質量があるのではありません。
あくまでも正孔がもつ、見かけ上の質量です。

正孔=電子の抜穴ですが、たとえば、電圧を印画することで、周囲の電子を移動させ、見かけ上、この正孔を移動させることができます。エネルギーを与えて正孔を動かすわけですが、実際は電子を動かすわけですから、当然のことながら、「正孔の動きにくさ』というものが存在します。これが見かけ上の質量です。

参考URL:http://www.tuat.ac.jp/~katsuaki/z2000-8.html

Qミラー指数:面間隔bを求める公式について

隣接する2つの原子面の面間隔dは、ミラー指数hklと格子定数の関数である。立方晶の対称性をもつ結晶では

d=a/√(h^2 + k^2 + l^2) ・・・(1)

となる。

質問:「(1)式を証明せよ」と言われたのですが、どうすれば言いかわかりません。やり方を教えてもらえませんか_| ̄|○

Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0  (1)
があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。
これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a  (2a)
hx + ky + lz = -a  (2b)
のいずれかです。これがすぐ隣の平面である理由(そのまた間に他の平面が存在しない理由)は脚注*2に補足しておきました。
点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)  (3)
と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt  (4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
t(h^2+k^2+l^2)=a
t=a/(h^2+k^2+l^2)  (5)
を得ます。
ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
|a|/√(h^2+k^2+l^2)  (6)
を得ます。OAの長さは面間隔dにほかならないので、(3)式が得られたことになります。

bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
<命題>p,qが互いに素な整数である場合、pm+qn=1を満たす整数の組(m,n)が少なくとも一つ存在する
<証明>p,qは正かつp>qと仮定して一般性を失わない。
p, 2p, 3p,...,(q-1)pをqで順に割った際の余りを考えてみる。
pをqで割った際の余りをr[1](整数)とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。
これらの余りの集合{r[n]}(1≦n≦(q-1))からは、どの二つを選んで差をとってもそれはqの倍数とは成り得ない(もし倍数となるのならpとqが互いに素である条件に反する)。よって{r[n]}の要素はすべて異なる数である。ところで{r[n]}は互いに異なる(q-1)個の要素から成りかつ要素は(q-1)以下の正整数という条件があるので、その中に必ず1が含まれる。よって命題は成り立つ。

これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ:
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL:http://133.1.207.21/education/materdesign/

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベ...続きを読む

Q電子のエネルギーについて

プランク等が光子のエネルギー、運動量を
E = hν, p = h / λ
として表現できると仮定しています。

一方、光のエネルギーは相対論からすると、
E = mc^2
になると考えられるので、光の運動量は
E = mc^2 = hν
とすると、
p = mv = mc = hν / c = h / λ
となると考えることができます。

ところが、ド・ブロイ等はこれが電子にも当てはまると言っています。
E = hν, p = h / λ

1. ここで言う、電子のエネルギーとは何でしょうか、これには質量によるエネルギーは含まれているのでしょうか?(シュレディンガー方程式を見る限りは運動エネルギー+ポテンシャルのようにも思えますが・・・)

2. 電子は光速で飛び回っているわけではないので、
p = mv = mc = hν / c = h / λ
は満たしません。にもかかわらず、ド・ブロイはなぜこの式を適用することができると考えたのでしょうか?

( i)ポテンシャルが存在せず、Eを運動エネルギーと考えた場合・・・
E = hν = 1/2 mv^2
従って、
p = h / λ = hν / v = 1/2 mv ??
これは運動量の定義と矛盾します。

(ii)ポテンシャルが存在せず、Eを運動エネルギー+静止エネルギーと考えた場合(電子の速度は光速に比べて十分遅いので)・・・
E = mc^2 + 1/2 mv^2 ~ mc^2 = hν
従って、
p = h / λ = hν / v = mc^2 / v ??
これも運動量の定義と矛盾します。

つまり、電子のように遅い粒子では、E = hν と p = h / λを同時に満たすことができないように思えるのです。

数多くある量子力学の本でも逃げている部分であり、難解な質問かとは思いますが、ご存知の方がいらっしゃればご回答お願いします。

プランク等が光子のエネルギー、運動量を
E = hν, p = h / λ
として表現できると仮定しています。

一方、光のエネルギーは相対論からすると、
E = mc^2
になると考えられるので、光の運動量は
E = mc^2 = hν
とすると、
p = mv = mc = hν / c = h / λ
となると考えることができます。

ところが、ド・ブロイ等はこれが電子にも当てはまると言っています。
E = hν, p = h / λ

1. ここで言う、電子のエネルギーとは何でしょうか、これには質量によるエネルギーは含まれているのでしょうか?(シュレ...続きを読む

Aベストアンサー

 波長λと振動数νを掛けたものは位相速度といわれますが、電子の位相速度は、実際の電子の移動速度vとは異なります。つまり、λν=v ではありません。それでは位相速度はどれくらいかというと、それは、E=mc^2=hν と p=mv=h/λ を使って求められます。計算しますと、λν=c^2/v となります。 この値は明らかに光速度cより大きく、相対性理論と合わないように思われますが、位相速度は観測できる量ではなく、物理的に意味がないので、相対性理論とは矛盾しません。
 電子を波と考えたときの現実的な波の速さは、群速度により表されます。群速度Vgは、角速度ωを波数ベクトルの大きさkで微分したものです。つまり、Vg=dω/dk となります。エネルギーと運動量は、ωとkを使うと、E=h'ω、p=h'k となりますから(h'=h/2π)、Vg=dE/dp となります。非相対性理論の範囲では、E=p^2/2m ですから、Vg=vとなります。相対性理論の範囲では、E^2=p^2c^2+m^2c^4ですから、これもVg=vとなります。

 それでは、質問者様の質問に回答します。
1. ここで言う、電子のエネルギーとは何でしょうか、これには質量によるエネルギーは含まれているのでしょうか?(シュレディンガー方程式を見る限りは運動エネルギー+ポテンシャルのようにも思えますが・・・)

 電子のエネルギーは、静止質量エネルギーを含んだものです。シュレーディンガー方程式のエネルギーは、ご指摘のとおり、静止質量エネルギーは含んでおりません。このため、相対論的量子力学で扱うエネルギーとシュレーディンガー方程式で扱うエネルギーとでは、静止質量エネルギーの分だけ違いがあるということになります。これは(ディラックによれば)、物理的に影響のない項目です。なぜなら、ハミルトニアンは、実の定数分の不定さがあるからです。

2. 電子は光速で飛び回っているわけではないので、
p = mv = mc = hν / c = h / λ
は満たしません。にもかかわらず、ド・ブロイはなぜこの式を適用することができると考えたのでしょうか?
 
 既に上で述べたように、λν=v ではなく、E=hν と p=h/λから位相速度が決まります。ド・ブロイはなぜこの式を適用することができると考えたのか、については、ド・ブロイ自身の論文は見ていませんが、ディラックによれば、相対論的に不変な性質から出発してこの考えに至ったようです。つまり、エネルギーと運動量は4次元ベクトル(E/c,p1,p2,p3)を成します。波数ベクトルについても、(ω/c,k1,k2,k3)は4次元ベクトルとなります。どちらも4次元ベクトルであることから、エネルギー運動量を波で表すということは、光だけに限定されるものではなく、ほかの物質であっても成り立つものと考えた訳です。

 波長λと振動数νを掛けたものは位相速度といわれますが、電子の位相速度は、実際の電子の移動速度vとは異なります。つまり、λν=v ではありません。それでは位相速度はどれくらいかというと、それは、E=mc^2=hν と p=mv=h/λ を使って求められます。計算しますと、λν=c^2/v となります。 この値は明らかに光速度cより大きく、相対性理論と合わないように思われますが、位相速度は観測できる量ではなく、物理的に意味がないので、相対性理論とは矛盾しません。
 電子を波と考えたときの現実的な波の速さは、群速度...続きを読む

Q格子についてです。

格子についてです。

aを通常の格子定数とするとき、単純、体心、面心立方格子の基本格子の体積は、それぞれa^3,(a^3)/2,(a^3)/4となることを示してください。単位体積当たりの格子点数(原子数)はこれらの逆数で与えられます。

Aベストアンサー

単純立方格子は自明。

体心立方格子の基本格子ベクトルは,
a1~ = a/2(1,1,1),a2~ = a/2(1,1,-1),a3~ = a/2(-1,1,1)
ですから,求める体積は
V = a1~・a2~×a3~ = | a1 a2 a3 | = (a/2)^3×4 = a^3/2

面心立方格子の基本格子ベクトルは,
a1~ = a/2(0,1,1),a2~ = a/2(1,0,1),a3~ = a/2(1,1,0)
ですから,求める体積は
V = a1~・a2~×a3~ = | a1 a2 a3 | = (a/2)^3×2 = a^3/4

となると思います。

参考URL:http://www2.kobe-u.ac.jp/~lerl2/ssp%28I%29_04_16_08.pdf


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