あの、初歩的な質問かもしれませんが
わからないので教えてください。

問題
(x-y)^2-4x+4y
答え
(x-y)^2-4(x-y)=(x-y)(x-y-4)
となるんですが
この(x-y)^2-4(x-y)から(x-y)(x-y-4)になる
過程がわからないんです。
どうして、(x-y)(x-y-4)になるんでしょうか?
こういう問題ばかり間違えてしまいます。
どうか、教えてください。

あと、因数分解が得意になるには
式の展開(乗法公式)を頭にたたきこむしか
ないのでしょうかね・・・(涙)

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暗算 コツ」に関するQ&A: 暗算のコツ

A 回答 (4件)

 


  因数分解の解き方ですが、普通、因数分解の問題に出てくるものは、きれいに整数を使って解けるようになっています。整数にならなくても、簡単な分数です。だから、解けるという前提で考えるのです(簡単に因数分解できなものは、二次方程式の解法とかいうような問題になって出てきて、「因数分解の問題」では出てきません)。
 
  それと、「因数分解」とは何のことなのかを、よく理解されると解けるようになります。因数分解というのは、複雑に見える式を、(簡単な式)X(簡単な式)X(簡単な式)という風に、簡単な式のかけ算に直すことです。この「簡単な式」が、「因数」になるので、因数分解と呼ぶのです。
 
  因数分解の上の説明から、「簡単な式」が、問題の式のなかに、重なって含まれている場合は、それをくくってまとめることができることが分かります。
 
  (x-y)^2-4(x-y)
 
  という式なら、よくよく見ると、(x-y) という式が、二つの ( ) の式のなかに共通してあります。これは、(x-y) でくくってまとめることができるということなのです。つまり、(x-y) は、因数になるということです。
  
  前の (x-y)^2 は、(x-y) をくくって出すと、残るのは、(x-y) になります。また後の -4(x-y) は、やはり (x-y) をくくって出すと、残るのは、-4 になります。だから、答えは、(x-y)(x-y-4) となるのです。
 
  無論、上の計算を暗算でする必要はないのです。式をよく見て、(x-y) でくくれると思えば、(x-y) = A と置いてみてもいいですし、(x-y) をくくると、前の式は、(x-y) が残り、後の式は、-4 が残る。これを足すことになるので、足してみると……で答えが出てきます。
 
  因数分解の一つのテクニックとして、解けないように思える時、数字を式に代入して見るという方法があります。代入してみて、全体がゼロになる場合、この式は、(x-a) という式で因数分解できるのです(a がその代入した数字です)。
 
  例えば、x^3-8 というのを因数分解せよというと困りますが、x=2 を代入してみると、この式はゼロになります。つまり、この式は、(x-2) で因数分解できるということが分かるのです。
 
  (この先は、(x-2)(x^2+?x+?) となり、後の ? は、-2 とかけて -8 になるので、4 だと分かり、(x-2)(x^2+?x+4) となり、ではこの残った ? はということになります。これは、元の式が、x^3-8 ですから、x^2 も x もないので、これらの項がゼロになえうように、?x を決めると、自動的に解けます。少し練習しないと、難しいかも知れませんが、問題に出てくる因数分解は解けるのだというのが原則です。二次方程式を解かないと答えが出てこないような問題は、因数分解の問題としては、普通出てきません)。
 
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この回答へのお礼

数字を代入して、0になるのは因数だと
いうことは、全然、知らなかったです。
もし、試験でつまづいてしまったら
この方法を利用させてもらおうと思っています。
裏ワザを教えていただいて
ありがとうございました。
また、親切に解答を書いてくださって
とってもうれしかったです(⌒-⌒)

お礼日時:2001/12/11 17:29

こんにちは!頑張っていますね!


因数分解の基本は、ズバリ「共通因数」でくくる。
つまり、共通なものでくくる、です。
だから、x^2-2x-8のような問題をよく訓練しますが、(たしていくら?かけていくら?って問題)この問題のような、応用の問題は基本に忠実にします。つまり、同じ物を探すのです。これは、形を変えて隠れています。頑張って探します。「最低次数でくくる」とかありますが、この場合x-yが隠れているのに気づくかどうかでしょう!
(x-y)^2-4(x-y)になったら、x-yが共通なものになります。あとは、お二方のように置き換えでもすれば分かるのでないでしょうか?
数学=計算に思われがちですが、数学は計算だけではありません。なぜこうすれば、そうなるのか?そこを徹底的に考え、身に付けてください。
時間はかかるかもしれませんが、結局は近道になりますよ。くそ勉強はしないでね?(ただの暗記)
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この回答へのお礼

こんばんは=*^-^*=♪
どうも、励ましのお言葉ありがとうございます。

この共通因数を見つけるのが
まだまだ私は慣れてないようです。
もっと、問題をこなさなくては
いけないんですけどね・・・

x-yが隠れているのは気づいたんですが
質問にも書いたとおり
答えまでの過程が納得できなかったので
質問させていただきました。

皆さんのおかげで
理解することが出来たので
これでまた、頑張れそうです!!

なぜ、そうなるのか?
と考えながら楽しく数学を勉強して
いきたいと思っています。

もうすぐ、試験日なので
くそ勉強しなければいけないみたいです・・・
(言葉が悪くてすみません^^)

お礼日時:2001/12/11 17:26

(x-y)をAなどに置き換えて考える方法を習いませんでしたか?


ところで、^2は2乗でいいんですよね。

(x-y)をAに置き換えると、
(x-y)^2-4(x-y)はA^2-4Aになりますよね。
A*A-A*4と言うことで、Aを括弧でくくるとA(A-4)
Aを(x-y)に戻してやると、
(x-y)(x-y-4)となります。

因数分解のみならず数学は問題を解くことが大切だと私は思います。
高校生の頃、泣きながら因数分解をしていたことを思い出し懐かしくなりました。もう二度と、あの頃には戻りたくないです。(T_T)
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この回答へのお礼

Aに置き換えてやる方法・・・
忘れていました。
ここでは、この方法を使えばよかったんですね。
私は、まだ練習不足みたいです。
どうも、初歩的な質問をしてすみませんでした。

数学は、問題をこなすことで
実になるのですね。
試験日まで、日にちがないですが
頑張っていきたいと思ってます。

わかりやすく書いてくださり
ありがとうございました(⌒-⌒)

お礼日時:2001/12/11 17:23

Z = x - y とすると



Z^2 -4Z = Z(Z-4)

となります。ここで Z = x - y であるので、答えの式のようになります。
この問題のつぼはむしろ

(x-y)^2 -4(x-y)

というのに気がつくかどうかでしょう。
問題数をこなすとコツがわかってきます。
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この回答へのお礼

(x-y)^2-4(x-y)
というのには気がついていたんですが
その先がどうしてもわかりませんでした。
おかげで、納得できました。
どうも、ありがとうございました(⌒-⌒)

お礼日時:2001/12/11 17:20

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Q因数分解(中学)を早く正確に解くコツってありますか?

今、個別指導塾のバイトで中学生の因数分解を指導しています。
生徒さん(中2)は因数分解を解くのが遅いのですが、ヒントを出せばどうにか解いてくれます。

今後は問題をできるだけたくさん解いて
最終的にはヒント無しで因数分解を早く正確に解く
レベルまで上げてあげたいと思っているのですが
因数分解を早く解くための指導方法やコツなどがあれば
是非教えてください!
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

速さが求められるのは、受験数学だからであって、本来の発展のある数学の世界にスピードはあまり必要ないということをあらかじめお断りしておきたいと思います。
それを忘れていると、数学の面白さに出会えず、受験終了が数学の勉強の終了になりかねません。

現在の中学校ではたすきがけは出てきません。

速さを追求したいのなら、手順を定式化して反復練習です。
たくさん問題に当たれば、誤答は特定のパターンが見えてきます。本人に誤答理由が理解できれば、正答率はグッと上がります。

因数分解の場合は、
(1)共通因数をさがす
(2)2項の場合は和と差の積を疑う
(3)2次項の係数が平方数なら和・差の平方を疑う
(4)定数項の約数の組み合わせを出してその和と1次項の係数を比較する
といった手順がおよそ考えられます。

学習の基本は先人の追体験ですから、指導者ご自身の中学時代の計算手順を思い出して、細かいアドバイスを付け加えるとなお良いでしょう。

ただ、中学校3年の教材ですから、1・2年の文字式の計算が定着していることが前提です。

Qx^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2

x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2+・・・+y^n-1)
となるのはなぜですか?
教えてください。

Aベストアンサー

1+r+r^2+・・・+r^(n-1)=(1-r^n)/(1-r)

r=x/yとおくと

1+(x/y)+(x/y)^2+・・・+(x/y)^(n-1)={1-(x/y)^n}/{1-(x/y)}
故に、
{1-(x/y)^n}={1-(x/y)}{1+(x/y)+(x/y)^2+・・・+(x/y)^(n-1)}

両辺にy^nを乗じて
x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2+・・・+y^n-1)

Q因数分解のコツについて

因数分解のコツについて教科書には「次数の低い文字について降べきの順に整理する」とありました。しかし、それでは解けない?問題がらしきものがありました。

x^3-2x^2y+xy-2y^2

という問題です。
解法はx^3と-2x^2yについてx^2でまとめ、xyと-2y^2についてyでまとめて・・・というものでした。このように因数分解のコツというのは飽くまでもそれが適応されるものもあるというだけで全てに当てはまることでは無いのでしょうか?それとも私が何か基本的な事を見落としているだけなのでしょうか?ご回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

基本的に、
>次数の低い文字について降べきの順に整理する
だけでOKです。

他の方法は、たまたま気づけば早くできる、ってことです。
気づかなければ、次数の低い文字について降べきの順に整理すればよいです。

上の問題だったら、yで整理して、
 x^3 - 2x^2y + xy -2y^2
= -2y^2 + (x-2x^2)y + x^3
これを、たすきがけで因数分解すればいいです。

あるいは、たすきがけも、思いつかなければ、
-2y^2 + (x-2x^2)y + x^3 = 0
を解の公式を使って、yについて解いてしまえば、
y = x/2,-x^2
ていう解がでてきます。したがって、
 x^3 - 2x^2y + xy -2y^2
= -2(y-x/2)(y+x^2)
= (x-2y)(x^2+y)
てことがわかります。

Qf(x)=A(x-2)(x-3)(x-4)+B(x-1)(x-3)(x-4)+C(x-1)(x-2)(x-4)+D(x-1)(x-2)(x-3)

(問題)xの三次関数f(x)があって、f(1)=1,f(2)=4,f(3)=9,f(4)=34であるとき、f(5)を求めなさい。

解答は別解がいろいろあったのですが、そのうちの一つがわかりませんでした。それは次のように書いてありました。

f(x)=A(x-2)(x-3)(x-4)+B(x-1)(x-3)(x-4)+C(x-1)(x-2)(x-4)+D(x-1)(x-2)(x-3) のように置くと、A,B,C,Dが容易に求めることができる。

なぜこのように表せるのか、どうしてこう思いついたのか、わかりません。考え方を教えてください。よろしくお願いいたします。答えはf(5)=97です。

Aベストアンサー

ranx さんの言うように、
x=1, x=2, x=3, x=4 の場合の解が与えられているので、
その際にどれかがゼロになるように、式を与えれば、
あとは、連立一次方程式で、元が4個で方程式が4本
なので、簡単に解けるわけです。

それぞれ代入した式4本を書いてみればわかると思います。解けるでしょ?
最後まで解かなくても、f(5) は、A,B,C,D を使って
出すことはできますね。

Q中学数学の因数分解を教えてください

中学生です。中学数学の
因数分解の回答手法がわかりません。
答えだけではなく、解き方を教えてください。

問題-因数分解をしなさい。
(1) a2乗(x+y)-a(x+y)2乗   ※すみません。2乗の入力の仕方がわかりませんでした。
(2) 2x(x-3y)-y(3y-x)

解き方、考え方を教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

#1です。

「*」は、「×」(掛け算)です。

(-1)*(-1)=1
なので、(-1)を2回掛けて符号の変化を起こさないようにしています。

『-yを+yにして』
結果は同じになっていますが、『-yを+yにして』ではなく、『(3y-x)』を『-(x-3y)』にしていると考えた方が、同じ項が出てくるのではっきりすると思いますが、どうでしょう?

Q数学の因数分解です。⑴ x^4-18x^2y^2+y^4⑵ x^4+4y^4です。途中式

数学の因数分解です。

⑴ x^4-18x^2y^2+y^4

⑵ x^4+4y^4

です。途中式も書いていただきたいです。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

⑴ x^4-18x^2y^2+y^4
x⁴-18x²y²+y⁴
=(x⁴-2x²y²+y⁴)-16x²y²
=(x²-y²)²-(4xy)²
={(x²-y²)+4xy}・{(x²-y²)-4xy}
=(x²-y²+4xy)(x²-y²-4xy)

⑵ x^4+4y^4
=x^4+4y^4+4x^2y^2ー4x^2y^2
=(x^4+4x^2y^2+4y^4)ー4x^2y^2
=(x^2+2y^2)^2ー4x^2y^2

a^2ーb^2=(a+b)(aーb)を利用して
=(x^2+2y^2+2xy)(x^2+2y^2ー2xy)

Q中学生の因数分解の計算方法を教えて下さい

中学生の因数分解の計算方法を教えて下さい。

Xの2乗+10X-24=(X+12)(X-2)

このレベルは解けるのですが・・・・

12Xの2乗-4X-5

X2乗-y2乗-X+y

この感じになるとタスキ掛けで頑張っても中々出来ません。

今手元にあるのは中学数学の教科書のみで計算の仕方が載っていません。

このような問題での基本的な計算の流れや計算方法を教えて下さい。

宜しくお願いします。

Aベストアンサー

12x^2-4x-5のようなものは
12=3×4,2×6,1×12つまり(3,4)(2,6)(1,12)と
5=1×5(1,5)
の数の組み合わせで-4になるものを探します
この場合だと
(2,6)と(1,5)で-2×5+1×6=-4となるので
(6x-5)(2x+1)となります
ようはX^2の頭についている数字からその掛け算の組み合わせを考えxがついていない数字との組み合わせであきらかに除外できそうなものを除いて考えてください
今回の場合(1,12)はパッと見除外できるでしょう

x^2-y^2-x+yのパターンは共通因数をみつけるようにします
x^2-y^2=(x-y)(x+y)と因数分解でき後半の-x+yは-でくくり-(x+y)
とすると共通因数(x+y)が見えてきますよね

x,yが混在している場合はこのパターンが多いです.
まずどこかで簡単な因数分解ができないか探してみましょう。

Q因数分解です! 2x^2-(5y−2)x+(3y+4)(y−1) の因数分解した答えが =(2x+3

因数分解です!
2x^2-(5y−2)x+(3y+4)(y−1)
の因数分解した答えが
=(2x+3y+4)(x+y−1)
にどうしてなるのか、教えてください!

Aベストアンサー

ならないよ。問題か答えに書き間違いがある。
両方書き間違えかも知れない。

展開式のxyの項は+5、問題文では-5

2x² - (5y−2)x・・・・も怪しい 2x² - (5y+2)x・・じゃ無いの?
答えが正しいとすると2x² + (5y+2)x・・かも知れない。

Q因数分解のコツ・・・

以下のような因数分解が苦手です。
*2a(3)-16=0
*a(3)-a=0
*2a(3)-3a(2)+5=0
*2a(3)+a(2)+1=0
*2a(3)-5a(2)+4a-1=0

()内の数字は前のものが何乗されているかです。

解答をみてもこのようなレベルは省略してあるので…
やり方のコツがあれば教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

上から順番に1~5とします

1、最初に[2]があるので、ちょっとじゃまですよね?
3乗して2になる数・・・[3乗根2と言うのはあるけど、普段は使わないから]
↑これはなさそう。
次、じゃあ、2で「くくって」みよう!
2(a^3-8)・・・・ここで、公式[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)]
を思い出します。そして、この公式に当てはめられるかを確認
2(a^3-2^3)・・・公式にあうからこれでいける!と思って計算していきます。

2、あっ!これはすべての項に[a]が入っているから、くくってみよう
a(a^2-1)=0・・・ここで、公式[a^2-b^2=(a+b)(a-b)]を思い出して同じように元の式を変形
a(a^2-1^2)・・・公式に当てはめられるので、そのまま計算

3・4・5
これは、aでくくれないし、数字でもくくれないし、公式にも当てはめられそうにないから、
最後の手段
aにどんな数字を入れたら左辺=0になるかを考えます。

私は、a=1,-1,2,-2,3,-3・・・と入れていきます。

例:5、
2a^3-5a^2+4a-1=0・・・aに何を入れたらいいかを考える
a=1の時:2-5+4-1=0・・・あっ、これで左辺=0にできた。
そうしたら、次の作業をします。

2_-5_4_-1 [1]・・・5の係数を書き出し、右側にa=1の1を書く
↓_2__-3___1 (+・・・・上の数字と左下にある数字を足し算していく
2__-3__1___0

法則わかりますか??で、一番下の数字を使います。
右から0をのぞいて、a^0,a^1,a^2・・・の係数になっています。つまり、[2a^2-3a+1]・・(1)ということ
で、答えは、
(a-1)(2a^2-3a+1)・・・最初の-1はa=1の時の[1]の符号を逆にしたものを書きます。それと、(1)をかけたものが答え
そして、じつはまだ因数分解できます。
2a^2-3a+1・・・aに1を入れたら左辺=0になりますよね?
同じように表を書いて計算すれば簡単に因数分解できます。
(2a-1)(a-1)
なので、答えは{(a-1)^2}(2a-1)ってなります。
このやり方は教科書のどこかに載っているかもしれません

上から順番に1~5とします

1、最初に[2]があるので、ちょっとじゃまですよね?
3乗して2になる数・・・[3乗根2と言うのはあるけど、普段は使わないから]
↑これはなさそう。
次、じゃあ、2で「くくって」みよう!
2(a^3-8)・・・・ここで、公式[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)]
を思い出します。そして、この公式に当てはめられるかを確認
2(a^3-2^3)・・・公式にあうからこれでいける!と思って計算していきます。

2、あっ!これはすべての項に[a]が入っているから、くくってみよう
a(a^2-1)=0・・・ここ...続きを読む

Q4x^2-9y^2+28x+49=(2x+3y+7)(2x-3y-7)について

4x^2-9y^2+28x+49
を因数分解しなさいという問題で、解法は
4x^2-9y^2+28x+49
=(4x^2+28x+49)-9y^2
=(2x+7)^2-(3y)^2
=(2x+7+3y)(2x-7-3y)
=(2x+3y+7)(2x-3y-7)・・・(答え)
ですが、
多項式は次数の多いものからかっこでくくるといいと教えられたので、私はこの解法が思いつかず、
4x^2-9y^2+28x+49
=4x(x+7)-(9y^2-49)
=4x(x+7)-(3y+7)(3y-7)
とやってしまい、これ以上進まずに躓いてしまいました。

この因数分解はどのような規則から成り立ち、どうすればこの解法が思いつきますか?

Aベストアンサー

>多項式は次数の多いものからかっこでくくるといいと教えられたので

これは確かにそうなのですが,
複数の文字がある場合は「どれか一つの文字に注目する」という
視点が必要です.
いわゆる「降べきの順」です

4x^2-9y^2+28x+49
=4x^2+28x-9y^2+49

こうすると,4x^2=(2x)^2 ですので

=(2x)^2 + 14・(2x) -9y^2+49

(2x)をかたまりと考えて,
掛け算して -9y^2+49 足し算して 14 になる式を考えます
一番基本的な因数分解です
49とか14があるので,怪しいのは 7 と疑えますし
そうすれば,-9y^2+49 は-(3y+7)(3y-7) なのもすぐ見えます
かけて -9y^2+49 になるのは -1 3y+7 3y-7 ですので
これを組み合わせて「足して14」となるのならば
y がじゃまなので -3y+7 3y+7 です
ですので

= ( (2x)-3y+7 ) ( (2x)+3y+7 )
=(2x-3y+7)(2x+3y+7)

です。質問文はタイプミスです.

一般論です.
どんな二次式でも因数分解できならば
かならず,1次式と一次式の積になります.
かならず答えは
(ax+by+c)(a'x+b'y+c') という形の式の積です
文字がx,yだけではなくて,
もっと増えても本質は同じです.

つまり,二次式であれば,効率性を考えなければ
かならず,上で挙げたような「降べき」で整理して
たすきがけを行えば必ず解けるんです.

また,(ax+by+c)(a'x+b'y+c')と因数分解できるのであれば
No.2さんのおっしゃるとおり
(ax+by+c)(a'x+b'y+c')=0という方程式は
x=-(bx+c)/a, -(b'y+c)/a'
という「解」を持ちます.そこを逆手にとって
最初から「降べき」に整理して
二次方程式の解の公式に持ち込んでしまうというのもありです.

どうやるにしろ,因数分解は
ひたすら経験を積んで,最短(と思われる方法で)
直感で解けるようになることが必須です.
試行錯誤の積み重ねが必要です.

>多項式は次数の多いものからかっこでくくるといいと教えられたので

これは確かにそうなのですが,
複数の文字がある場合は「どれか一つの文字に注目する」という
視点が必要です.
いわゆる「降べきの順」です

4x^2-9y^2+28x+49
=4x^2+28x-9y^2+49

こうすると,4x^2=(2x)^2 ですので

=(2x)^2 + 14・(2x) -9y^2+49

(2x)をかたまりと考えて,
掛け算して -9y^2+49 足し算して 14 になる式を考えます
一番基本的な因数分解です
49とか14があるので,怪しいのは 7 と疑えますし
そうすれば,-...続きを読む


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