バネによる位置エネルギーと重力による位置エネルギーについて

この二つは同時に考える必要がありますか？

問
角度θでの斜面において、最下部を点Pとしてそこにストッパーをつけます。このストッパーからバネ定数がkであるバネ（自然長l）を斜面に沿って上向きに付けて、ストッパーとは固定します。次にバネのもう片方に質量ｍの重りを固定させます。
ここで重りに斜面に沿って下向きにｖの初速度を与えて単振動（振幅A、）させた時のエネルギーの保存式はどうなりますか？

自分で考えた答え
(1) (kA^2)/2 = (kx'^2)/2 + (mv^2)/2
ただし x' = (mg*sinθ)/k
(2)重りには重力による位置エネルギーがあるため(1)の式の両辺にそのときの位置エネルギーを加えなくてはならない

(1)と(2)どちらが正しいのでしょうか？それともどちらとも違いますか？
よろしくお願いします

No.1 回答者： ojisan7 回答日時： 2005/12/28 20:59

初期条件をどのように設定しているのか不明ですが、エネルギーで考えるならば、当然、重力の位置エネルギーも考慮しなければなりません。

ところで、（１）の式は正しいのかな？(kA^2)/2 は振幅Ａのバネの持つエネルギーですね。(mv^2)/2は初速度ｖの運動エネルギーということは、わかるのですが、(kx'^2)/2 は何ですか？バネのポテンシャルエネルギーだとすると、x'は変位でなければなりません。しかも、右辺の２つの項は定数になりますね。これから、単振動をどのように導くつもりですか？

ともかく、考え方を整理すると、エネルギーの式は、

｛初期状態のエネルギー（初期状態のバネの位置エネルギー＋初速度ｖの重りの運動エネルギー＋初期状態の重力の位置エネルギー）｝　
が、
｛運動中のエネルギー（運動中のバネの位置エネルギー＋運動中の重りの運動エネルギー＋運動中の重力の位置エネルギー）｝
に等しくなければなりません。このような式を立てたとき、右辺の３つの項はそれぞれ変化しますが、３項の和は一定（＝左辺の値）となるはずです。

高校ではどのように教えているのか知りませんが、普通このような問題はエネルギーよりは、微分方程式を使って解きます。（その方が簡単です）

斜面上で、バネと重りの釣り合いの位置を原点とし、その原点から斜面の上方に向かった長さをｘとすると、
m(d^2/dt^2)x＝-kx-mg*sinθ
となりますが、この２階の微分方程式を解けばよいわけです。