(問題)
△ABCにおいて、A=45°、b=3+√3、c=√6の時、a、B、Cを求めよ。

答えは、aは2√3、Bは105°、Cは30°です。
三角比の余弦定理、2辺と間の角が分かるので、a2=b2+c2-2bc cosAを試してみましたが、解答に辿り着きません。bの3+√3が曲者?私の視点が違っているのでしょうか?
どの公式を使用してどのように計算していけば、もとめられるのでしょうか。ちなみに数学は全部苦手です。そんな私に超解りやすく解説していただけませんでしょうか。宜しくお願い致します。

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A 回答 (4件)

No1です。


 計算過程を細かく書いてみますので、1つ1つ確認してください。
  a^2=b^2+c^2-2bccosA
    b^2=(3+√3)^2=9+2×3×√3+3=12+6√3
    c^2=(√6)^2=6
    2bccosA=2×(3+√3)×√6×cos45°
          =2×(3+√3)×√6×(1/√2)
          =2×(3+√3)×√6/√2
          =2×(3+√3)×√3  ←√6/√2を約分
          =2×√3×(3+√3)  ←√3を前に
          =2√3×(3+√3)     
          =2√3×3+2√3×√3 ←2√3を分配
          =6√3+6
  以上より、
   a^2=12+6√3+6-(6√3+6)
     =12+6√3+6-6√3-6
     =12
  よって、
   a=√12=2√3

<正弦定理に入れた計算>
  a/sinA=c/sinC より、
    2√3/sin45°=√6/sinC
    2√3=(√6/sinC)×sin45° ←sin45°を両辺にかける
    2√3×sinC=√6×sin45°  ←sinC を両辺にかける
    2√3×sinC=√6×(1/√2)
    2√3×sinC=√3
    sinC=√3/(2√3)      ←2√3 で割る
    sinC=1/2
 よって、C=30°。 B=180°-45°-30°=105°
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この回答へのお礼

debut様、丁寧に解説頂きありがとうございました。
この通りに計算したら、自分でも答えが出せました!

お礼日時:2005/12/31 14:08

No1です。


 余計なお世話かもしれませんが、「超解りやすく」ということで、
 後半の正弦定理を計算するときのことを少し。
  a/sinA=c/sinC から 2√3/sin45°=√6/sinC となりますが
  この時点で 両辺にsin45°をかけて 2√3=(√6/sinC)×sin45°
        両辺にsinC をかけて 2√3sinC=√6sin45°
  のようにしておくとやりやすいでしょう。
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未知数がちょうど三つあるので、以下の余弦定理


三角形ABCにおいて、BC=a, CA=b, AB=c とおくとき、
a = bcosC + ccosB
b = ccosA + acosC
c = acosB + bcosA
というのを使って、3つの連立方程式を使い解くというのが思いつきますが、めんどうです。

ご質問にあるとおり、c2 = a2 + b2 - 2abcosθ
という余弦定理を使ってとくのが最速です。
計算してみたところ、ちゃんと√12=2√3になりました。
計算間違えがあるはずです、よく確認してみてください。
あとは、aが求まったので、sinB,CなりcosB,Cなりを出せばOKです。
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この回答へのお礼

ひとつの問題にも、幾通りも計算方法があるのですね。
勉強になります。

お礼日時:2005/12/31 14:12

お考えのa2=b2+c2-2bc cosAの利用でよろしいです。



 a^2=(3+√3)^2+(√6)^2-2√6(3+√3)cos45°
   =12+6√3+6-2√6(3+√3)×(1/√2)
   ※後半の√6×(1/√2)=√3としておけば
   =12+6√3+6-2√3(3+√3)
   =・・・・

aが求まれば、正弦定理a/sinA=c/sinC からCが出て、内角の和からB
が求まります。

この回答への補足

せっかくの回答が・・・。すみません。よく理解出来ません。
『※後半の・・・』というところから、固まってしまいました。平方根の計算が確実には出来ていないからでしょうか。

補足日時:2005/12/31 04:09
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Aベストアンサー

反例:
xの一次式
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f(1+√2) = (1+√2)・(1-√2) + √2
=1-2 + √2
=-1+ √2

f(1-√2) = (1-√2)・(1-√2) + √2
= 1 -2√2 + 2 + √2
= 3 - √2 ≠ - 1 - √2

---
f(x) = g(a,|x-a|) + (x - a)
と表せるなら
 f(a+√b) = g(a,|√b|) + √b = g(a,√b) + √b
 f(a-√b) = g(a,|-√b|) + (-√b) = g(a,√b) - √b
c = g(a,√b) とすれば
 f(a+√b) = c + √b
 f(a-√b) = c - √b
です。
ですが、 c + √b という形を見ただけでは、√b が「 + (x-a) 」に由来するものなのか、g(a,|x-a|)の|x-a|に由来するものなのか、g()に由来する xに依存しない定数√b なのか、判断できません。

Qf(a+√b)=c+√dのときf(a-√b)=c-√dは成り立ちますか。

f(a+√b)=c+√dのときf(a-√b)=c-√d
f(a+√b)=c+√dのときf(-a+√b)=-c+√d

f(a+bi)=c+diのときf(a-bi)=c-di
f(a+bi)=c+diのときf(-a+bi)=-c+di

以上4つの式は成り立ちますか。

何度か√の符号だけ違う数やiの符号が違う数を3次関数や分数関数に代入したときは上記の性質が成り立っていました。

Aベストアンサー

本当に「a, b, c, d は『実数』」でいいですか? もしそうなら
f(a+bi)=c+diのときf(a-bi)=c-di
以外は成り立たない例が容易に作れます. 例えば
f(a+√b)=c+√dのときf(-a+√b)=-c+√d

f(a+bi)=c+diのときf(-a+bi)=-c+di
が成り立たない例は一瞬で作れていいはずです.

逆に, 一定の条件を付けると
f(a+bi)=c+diのときf(a-bi)=c-di
は必ず成り立ちます.

Qa^2+b^2+c^2=3 のとき、a^3+b^3+c^3+3abc<

a^2+b^2+c^2=3 のとき、a^3+b^3+c^3+3abc<=6 を示せ。
(ただし,a>0,b>0,c>0)これは、既出の問題で、添削をしてもらい、間違いを指摘してもらいました。
いろいろ考えましたが、良い考えがでません。
添削してもらった解答は、c<=b<=a と置いて、これより、c<=1 が分かる。
また、相加相乗を使うと、abc<=1 となるので、証明する式は、
a^3+b^3+c^3<=3 となる。ここで、c<=1だから、a^3+b^3+c^3<=a^3+b^3+1^3となるので、
a^3+b^3<=2を a^2+b^2+1^2=3,つまり、a^2+b^2=2のもとで示せばよい。
としてしまいましたが、c=1でa^3+b^3+c^3が最大になるとは限らないので、ここで考えは
破綻しました。
良い考えがありましたら、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>a^3+b^3+c^3≦3が示された

反例
(√5/2)^2+(√5/2)^2+(√2/2)^2=3
(√5/2)^3+(√5/2)^3+(√2/2)^3>3

QF_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} の因数分解

F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} 
(n=1,2,3,4,5)
を因数分解せよ、という問題なのですが、どすればよいのでしょうか?

なお、答えは、

F_1=3(b+c)(c+a)(a+b)
F_2=5(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^2+Σab)
F_3=7(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^4+2Σa^3 b+3Σa^2 b^2+5Σa^2 bc)
F_4=3(b+c)(c+a)(a+b)(3Σa^6+9Σa^5 b+19Σa^4 b^2+35Σa^4 bc+23Σa^3 b^3+63Σa^3 b^2 c)
F_5=11(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^8+4Σa^7 b+11Σa^6 b^2+21Σa^6 bc+9Σa^5 b^3+54Σa^5 b^2 c+23Σa^4 b^4+84Σa^4 b^3 c+123Σa^4 b^2 c^2+159Σa^3 b^3 c^2)

のようなのですが、(b+c)(c+a)(a+b)を因数に持つことは分かりますが、残りの因数はどうやってもとめるのでしょうか?

一文字を変数と見て、地道に割り算するしかないのでしょうか?
効率的な計算方法はありますでしょうか?

F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} 
(n=1,2,3,4,5)
を因数分解せよ、という問題なのですが、どすればよいのでしょうか?

なお、答えは、

F_1=3(b+c)(c+a)(a+b)
F_2=5(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^2+Σab)
F_3=7(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^4+2Σa^3 b+3Σa^2 b^2+5Σa^2 bc)
F_4=3(b+c)(c+a)(a+b)(3Σa^6+9Σa^5 b+19Σa^4 b^2+35Σa^4 bc+23Σa^3 b^3+63Σa^3 b^2 c)
F_5=11(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^8+4Σa^7 b+11Σa^6 b^2+21Σa^6 bc+9Σa^5 b^3+54Σa^5 b^2 c+23Σa^4 b^4+84Σa^4 b^3 c+123Σa^4 b^2 c^2+159Σa^3 b^3 c^...続きを読む

Aベストアンサー

最後までは計算していませんが、次の方法でできそうです。
F_n = (b+c)(c+a)(a+b)(Σ[ABC] k_ABC a^A b^B c^C) とおきます。
(ここで、A+B+C = 2n+1 です。)
展開すると、F_n = (a^2 b + 略 + 2abc)(Σ[ABC] k_ABC a^A b^B c^C) です。
そして、F_n を例えば、a で A+2 回偏微分、a で B+1 回偏微分、
a で C 回偏微分、した後、a,b,c に 0 を代入します。
F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} に対しても同じようにします。
このようにすると、例えば C > 0 であれば、
k_ABC (A+2)!(B+1)!(C)! = (2n+1)! となり、係数が得られます。

Qx^2+2ax-a^2=0 これを解くとx=-1-√2aと-1+√2a

x^2+2ax-a^2=0 これを解くとx=-1-√2aと-1+√2aになるみたいです。どういうふうに考えたら、この答えになるんですかね?ちなみにa>0です。

Aベストアンサー

x^2+2ax-a^2=0
x^2+2ax=a^2
x^2+2ax+a^2=2a^2
(x+a)^2 = 2a^2
x+a = ±(√2)a
x=-a±(√2)a

だと思いますけど。その答が間違っているのでは?


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