t=cos(x+30)とする。
t^2-(a+1/2)t+a/2=0の時、a=『 』又はa=『 』は、xは0以上360より小さい範囲に3個の解をもつ。

という問題で、私は・・・
a=t^2-0.5t/t-0.5
=t
即ち、cos(x+30)=a (xは30以上390より小さい)
として、単位円で考えたけれどもこたえが出ませんでした。

どのようにしたら、答えがでるのですか?教えてください。
ちなみに答えは、a=1とa=-1です。

A 回答 (2件)

a=tを導くときに、展開して


t^2-at-1/2t+a/2=0
t^2-1/2t=(t-1/2)a
(t-1/2)t=(t-1/2)a
から、両辺t-1/2でわって
a=t としたのかな?これはまずいよね!

Umadaさんの通り、式を見たら因数分解できることに気づかないと・・・。もし気づかなくても、上の式でも
t=1/2、aと2解がでます。(tについての2次方程式だもんね!)
さて、次にt=1/2 つまり
cos(x+30)=1/2
を解くと、x=30、270は単位円でo.k
よって、cos(x+30)=a が1つの解をもてばいいわけで・・・。
とすると、単位円をかいてみると、解が一つなので接する場合になります。
a=1、-1になります。
単位円で考えるようなので、できるだけそうしてみました。
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与えられた方程式は


 (t-1/2)(t-a)=0
と書き直せます。ただちに
 t=1/2 または t=a
が解であることが言えます。
t=1/2からは、
 cos(x+30°)=1/2
として、x=30°, 270°と求められます。これで解は2つ確定します。

さて、t=aの方がちょっと厄介ですね。
a<-1 の時は、題意を満たすxは存在しません。(当たり前ですが、cosの値は-1以上1以下しかとりませんので)
1<a の時も同じです。
-1<a<1なら、そのようなxは2つ存在します。(単位円を書いてみれば、cosの値一つに対し角度が二つ存在することは容易に分かりますよね)
これらのときはt=aから解が2個出てきますから、t=1/2の時と合わせ4つの解が存在することになります(*)。題意(解が3つ)を満たしません。
ちょっと特殊なのがa=1とa=-1の時で、単位円で考えれば一番右端/左端に来た状態です。これらの時はcos(x+30°)の値が一つしか存在しません。t=1/2の時の解(2個)と組み合わせて合計3つの解が存在することになって、題意を満たします。

* a=1/2の時は、重根になりますからこのときだけは解は2つに減ります。
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