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(問題)
△ABCにおいて、a:b:c=√5:√2:1の時
(1)この三角形の最大角の大きさ。
(2)sinBの値。
(3)sinCの値。

解答は
(1)→135°
(2)→1/√5
(3)→1/√10
です。

比率で、どのようにもとめていくのでしょうか?
最大角はどのようにして分かりますか?(1)が解ければ、他の2つの角度も全て分かるのですか?
sinB、sinCはどのようにすれば、もとめられますか?
※三角比の問題全般に関して言える事なのですが、問題の中の三角形の形がイメージできません。鋭角なのか鈍角なのかも分かりませんし・・・。(早くコツが解るようになりたいです。)
なので計算方法なども省略されると、多分途中で解らなくなると思います。その点も解りやすく教えていただけると嬉しいです。宜しくお願い致します。

A 回答 (6件)

問題にそった三角形を、おおまかに描く方法をこの問題について説明すると、


  ・√5にあたる部分の線分を適当にかく
   (後のために、真ん中当たりに点を打っておく。これは、√5が
    およそ2.2なので、それを大雑把に2ととらえ、真ん中までを
    1と考えます)
  ・線分の左端の点を中心とする半径√2の円をフリーハンドでうすく
   かく
   (√2はおよそ1.4なので、これを1.5とみて、線分にとった
    真ん中の点より右側をさらに半分にした所に印をつけて、そこ
    を通るような円を描きます)
  ・線分の右端の点を中心とする半径1の円をかく
   (最初に打った真ん中の点を通るような円を描く)
  ・2つの円の交点の1方に、線分の左端と右端から線分を引くと△ABC
   (円の交点がA、最初の線分の右端がB,左端がCとなる)

図からもAが最大角である目安がつくかと思います。
余弦定理、a^2=b^2+c^2-2bccosA より、
  (√5)^2=(√2)^2+1-2×√2×1×cosA
    5=2+1-2√2cosA
  2√2cosA=2+1-5
  2√2cosA=-2
    cosA=-2/(2√2)
    cosA=-1/√2
  よって、A=135°。

 sinB,sinCは正弦定理から求めます。
  a/sinA=b/sinB より √5/sin135°=√2/sinB
  a/sinA=c/sinC より √5/sin135°=1/sinC を計算。

この回答への補足

☆ cosAですが、cos45°で1/√2なので-1/√2という事は45°をマイナスするという風に考えるのですか(180°-45°=135°)
☆ sin135°がどのような数字になるのか解りません。鈍角の表は参考書には全くないですし。ん・・・。
sinB、sinCの計算も詳しく教えていただけないでしょうか?
解らなすぎて、申し訳ないです。

補足日時:2005/12/31 15:19
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>でも、いざ自分1人で描くとなると、たぶん難しいですね。


  三角形に関する鈍角の三角比は120゜、135゜、150゜に限られます
  から、120゜のときは底辺が1/2、高さが√3/2、斜辺が1の直角
  三角形で、点の座標は(-1/2、√3/2)。
  135°のときははNo5の回答。150°のときは底辺が√3/2、高さが
  1/2、斜辺が1の直角三角形で、点の座標は(-√3/2、1/2)。
  と、3パターン描ければよいです。

  または、この3つを表にでもして覚えておくとよいかもしれません。
       120° | 135° | 150°
   sin |√3/2|1/√2 |1/2  |
   cos |-1/2|-1/√2|-√3/2|

<sinB、sinC>
 a/sinA=b/sinB より √5/sin135°=√2/sinB
  両辺にsin135°をかけて √5=(√2/sinB)×sin135°
  両辺にsinBをかけて  √5×sinB=√2×sin135°
  sin135=1/√2だから √5×sinB=√2×(1/√2)
                √5×sinB=1
  両辺を√5で割って    sinB=1/√5 です。

 sinCもこのまねをしてa/sinA=c/sinCから計算してみてください。
 ただし、(1/√2)÷√5は(1/√2)×(1/√5)です。

では、がんばってください。
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この回答へのお礼

がんばってみました!
ひとつひとつ思い出しながら、当てはめながらの計算になるので、お返事が遅くなり申し訳ないですm(__)m
イメージをつかもうと円の中に三角形を描いて、解いてみました。
まずは、半径を1にして・・・。
sinBの解説を参考にして、sinCを解いてみる・・・っと、出来ました!!
ありがとうございました♪

お礼日時:2006/01/02 18:35

No4です。


 鈍角のsin,cosの値は、x軸、y軸がある平面で、原点に中心をもつ
 半径1の円(単位円という)をかいて求めます。この場合の角度のとり
 方は、x軸の正の部分が0°として、反時計回りに見ていきます。
 円を丸い時計にたとえると、0°が3時、30°が2時、60°が1時、・・
 ・・、180°が9時、というふうに見ます。

 例えばcos60°の値を知りたいとしますと、その円で、3時方向から
 60°、つまり1時の所に点Aをとると、その点Aのx座標がcos60°の
 値になります。
 なぜかというと、Aと原点を結び、またAからx軸に垂線を引くと直角
 三角形ができますが、これは斜辺が1、底辺が1/2、高さが√3/2に
 なります。(辺の比2:1:√3で2の所を1に考える)
 ※斜辺を1としたのは円の半径が1だからです。
 cosθ=底辺/斜辺ですからcos60°=1/2で点Aのx座標になる
 大切なのは、<単位円上の点で、x座標はcosの値、y座標はsinの値>
 になるということです。
 ※y座標がsinになることは「sinθ=高さ/斜辺」で確認ください。

 これらをふまえると、sin135°は10時と11時の真ん中に点Aをとって
 x軸に垂線をおろす、原点と結ぶ、で45°の直角三角形が作られます
 ので、辺の比1:1:√2の斜辺√2を1として、1/√2:1/√2:1
 を考えれば、点Aの座標は(-1/√2,1/√2)となりますので、
 sin135°=(y座標)=1/√2。 ちなみにcos135°=-1/√2。

高校の授業でも2,3時間はかけるようなことを数行で、しかも文章で
理解するというのも難しいかもしれないので、三角関数、単位円などで
検索すると、詳しいサイトもあるかと思いますので見てみるといいでしょう。

 sinB,sinCの計算は、前回のご質問での後半での sin45°をsin135°
 とみて同じようにやってみてください。 

この回答への補足

さっそく、debutさんのご指導通りに図を描いてみました。「こうなるのですか・・・」鈍角の時は、反時計回りですね。でも、いざ自分1人で描くとなると、たぶん難しいですね。
sinB、sinCは、まだ出来ません。
三角比って難しいです。

補足日時:2005/12/31 18:57
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さきほどのNO.2です。

質問者の方の年齢をかってに想定した文章を書いてしまい、大変失礼致しました。教科書をお持ちでなかったり、文面に苛立ちを覚えました場合、ご容赦頂くよう御願いします。

この回答への補足

こんにちは。忙しい年末に2度もメールを頂き、私の方が恐縮してしまいます。
参考書は購入したのですが、(kensaku58さんの予想通り)教科書はもう手元にありません。ホント、教科書があればもっと解りやすいと思います。数学は元々苦手な科目でしたので、長らく手をつけていないと、公式、法則すら“こんなの勉強していたんだよね・・・?”の状態なのです(汗)
NO2の回答は、まだきちんと読んでいないのですが、お気にされているようですので。取り急ぎメール致しました。NO2を参考に解いてみて、もし解らない点があればまた質問させて頂きます。

補足日時:2005/12/31 13:18
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(1)最大角の求め方


 √5と√2と1ではどれが一番大きいでしょうか?
⇒辺aの√5が最大です。「なので」向かいにある角Aが一番大きい角です。辺bの√2が2番目に長いです。「なので」向かいにある角Bが二番目に大きい角です。辺cが長さ1で最小「なので」、角Cが最小です。
(2)最大角の大きさの求め方
角Aが一番大きいと分かったので、
a^2=b^2+c^2-2bc cosAの法則に数字を入れてください。cosA=-1/√2 だから135°になります。  
☆どの法則が役にたつかな?ということを自分で考えて選ぶのがこの問題のミソです。(法則は教科書のはじめのほうにまとめてかいてあるはずです。)
☆例えばsin45°はいくらか、cos120°はいくらかと いうことは知っていないとこの問題は解けません。(これも教科書のはじめのほうにあります)
(3)三角形の形のイメージの仕方
⇒辺aを一番長く、辺bを二番目に長く、辺cを三番目に長くした三角形を書いてください。三角形ができたら対応する角にA,B,Cと振ってください。(2)と同じ法則の別バージョン(教科書参照)で角B、角Cの大きさも求まりますので、それを参考に三角形を書いたら出来上がりです。
☆実はこの手の問題なら、三角形を正確にイメージする必要はありません。「適当に三角形を書き」各頂点に角A,B,C とふったら辺a,b,cの長さ、角A,B,Cの大きさを書き込んでみましょう。あとは法則に数字をあてはめるだけです。(問われているのがsinBやら角Aの大きさだからです。辺の長さを聞かれても、正確な三角形を書く必要はありません。)ここは適当に聞き流して下さい。
(4)sinBの値の求め方
⇒これはやや高度な法則の
 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2Rを使ってください。
 a/sinA=b/sinBの部分でいけます。
(5)sinCの値の求め方
⇒(4)と同じです。
 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2Rのうちの
 b/sinB=c/sinCかa/sinA=c/sinCに代入してください。この法則も教科書にのっているはずです。さっきの法則より数ページ後ろにあると思います。

ポイントは
・sin90°はいくらかcos60°はいくらかなどをしっていること
・正弦定理や余弦定理といった法則を暗記しており、使える法則を自分で選び、計算すること(計算は省 略してしまってすいません)
だと思います。間違えていたらお許しください。
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(1)の問題は余弦定理を使います。


(2)の問題については、(1)を使って、
正弦定理 a/sinA=b/sinB の関係を使えば(2)の答えが出ます。
(3)は 180°-(A+B)を使えば答えが出ます。

やり方が違っていたらごめんなさい。
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この回答へのお礼

お返事ありがとうございます。
回答は参考にさせていただきます!

お礼日時:2005/12/31 19:13

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