小フェルマーの定理の証明方法を教えてください

A 回答 (1件)

フェルマーの小定理ですよね。


下記参考URLをみてください。

参考URL:http://www.e-space.ne.jp/espa/seminar/ango/rsa.htm
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Qフェルマーの最終定理の証明を本当にフェルマー自身は完成させていたと考えられるのか

 表題のとおりなんですが、果たして「余白」の問題だけだったのか、あるいは感覚的には正しいと直感したが本当は彼自身正確な証明には到達していなかったのか、到達していたとして「驚くべき証明」は近年になって得られた証明と一致していると考えてよいのか、どうなんでしょう。
 私のような門外漢には考察は無理ですが、フェルマーの業績や研究を検証すればある程度は想像できるのではと思いまして。もちろん厳密にはわからないでしょうが。

Aベストアンサー

フェルマーは秘密主義的なところがあったのか、自分が発見した数々の定理の証明を示し
ませんでしたが、それらは(例外もありますが)正しいことが、後の数学者によって
次々に証明されました。

そして、最後に例の命題の真偽が証明されないまま残ったので最終定理と
呼ばれたわけです。
最終定理について「驚くべき解法を思いついた」と余白に書き残したのは、
彼の勘違いだろうというのが、専門家の一致した見解のようです。

n=4のときは、図形問題に置き換えて彼自身が証明しています。
nが3以上の全ての自然数については、「何故これをモンダイにしないのだろう」と、
彼は述べており、大きな関心を持っていたことを窺わせますが、n=4以外のときの証明に
ついて書き記したことがないところをみると、おそらく、自分の勘違いに気づいて
いたのでしょう。n=3の場合は、後にオイラーが証明していますが、これはn=4の場合
より難しい。
全ての自然数についてのワイルズ教授による証明は、200ページに及ぶ難解なものです。

成り立たないことの証明というのは、勘違いしやすいものです。
これに挑戦したほとんどの数学者は、一度は成り立たないことを証明したと
勘違いした経験を持ってるらしい。

フェルマーは秘密主義的なところがあったのか、自分が発見した数々の定理の証明を示し
ませんでしたが、それらは(例外もありますが)正しいことが、後の数学者によって
次々に証明されました。

そして、最後に例の命題の真偽が証明されないまま残ったので最終定理と
呼ばれたわけです。
最終定理について「驚くべき解法を思いついた」と余白に書き残したのは、
彼の勘違いだろうというのが、専門家の一致した見解のようです。

n=4のときは、図形問題に置き換えて彼自身が証明しています。
nが3以上...続きを読む

Qフェルマーの小定理の証明過程について

英語ですいません。
let p ≧ 1 be a prime and let a be a positive integer not divisible by p.

(a) Given any integer b in the set {1 , ...... , p-1}, explain why you know there is some x ∈ {1, .... , p-1} such that ax ≡ b (mod p).

(b) for a fixed b, is the x from question (a) unique? Prove that you are correct.

(c) show that the set {a, 2a, ....(p-1)a} is a complete system that you are correct.

(d) show that a^(p-1) * (p-1)! ≡ (p-1)! (mod p)

(e) show that a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

フェルマーの小定理の証明過程なんですが、小問(a)から敷居が高くてよくわかりません。
出来れば(a)から(e)までステップバイステップで教えてください。

英語ですいません。
let p ≧ 1 be a prime and let a be a positive integer not divisible by p.

(a) Given any integer b in the set {1 , ...... , p-1}, explain why you know there is some x ∈ {1, .... , p-1} such that ax ≡ b (mod p).

(b) for a fixed b, is the x from question (a) unique? Prove that you are correct.

(c) show that the set {a, 2a, ....(p-1)a} is a complete system that you are correct.

(d) show that a^(p-1) * (p-1)! ≡ (p-1)! (mod p)

(e) show that a^(p-1) ≡ 1 (...続きを読む

Aベストアンサー

どこの本にも書いてありそうな証明だけど、見当たらなかったのかな。
それと、英文法はソレでいいの?

(a)
az≡0 mod p すなわち ∃n,az=pn となる z を考えると、
p が素数であり、a が p で割り切れないことから、z は p の倍数。
x,y∈{1, .... , p-1} かつ ax≡ay mod p と置くと、
a(x-y)≡0 mod p より x-y は p の倍数だが、
{1, .... , p-1} の中で差が p の倍数になるのは x=y の場合だけ。
以上より、x→(ax mod p) という写像は
{1, .... , p-1} 上の単射と判る。
ax≡b mod p となる x が無いとすれば、
x→(ax mod p) は定義域の元が n 個あり、値域の元が n-1 個以下
だから、単射にはなれない。よって背理法により、題意は成立。

Qフェルマーの小定理 証明

フランスの数学者、フェルマーの小定理について既にサイトとかで調べたのですが
まだ高1の為言葉が難しくよく分かりませんでした。
お手数ですがもっと分かりやすく説明して下さいますか。

Aベストアンサー

合同式は分かりますよね。(今年から新しく入ったんだっけ?)

a,bを整数、pを素数とする。ここで(a+b)^p を展開した時にできる2項係数pCk はk=0,pを除きpで割り切れる。(二項係数が分からなければ数Aの教科書を)

従って、(a+b)^p=a^p +b^p である。

1^p≡1 mod p から初めて、順に、

2^p≡1^p+1^p≡1+1≡2 mod p,3^p≡2^p+1^p≡2+1≡3 mod p,・・・・

と、n^pまで同様のことをすると(帰納法)、すべての整数nについてn^p≡n mod pがわかる。

ここで合同式の定義からこのことは、n^p -n=n(n^(p-1)-1)がpで割り切れる・・・(*)という意味。

従って、nがpで割り切れなければ、(*)が成立するにはn^(p-1)-1がpで割り切れなければならないので、

n^(p-1)≡1 mod p となる。


どうですか???

Qフェルマーの最終定理をエクセルで証明して見てください

フェルマーの最終定理は、nが2より大きい自然数であれば Xn+Yn=Znを満たす、自然数X、Y、Zは存在しないと言う内容です。n=2の時、3×3+4×4=5×5が存在します。しかし、nが3以上なら数式を満たす自然数はないことを、エクセルを使って説明出来ることを発見しました。列に累乗する数値をI・2・3・4・5・6・7・・・と入力し、POWER関数(指数を累乗する関数)を使ってB列に2乗した値を、C列に3乗した値を、D列に4乗した値を・・・・と10乗するJ列まで入力して見てください。(13乗までがエクセルの限界の様です)次に別のシートにB列C列D列・・・J列をそれぞれ貼り付け、前後の数値の差を求めます。そして、その結果のまた差を求めます。2乗は2回、3乗は3回、4乗は4回・・・10乗は10回繰り返します(列の先頭は全て1です)。すると、2乗は1・2・2・・と2(この連続する数を、連続基数と呼ぶ)が続きます。3乗は1・5・6・6・6・6・・・と以後6が続きます。10乗は1・1014・48854・504046・1814400・3124754・3579946・3627786・3628799・3628800・3628800・・と3628800が続きます。つまり、2乗した値は、1と2(基数と呼ぶ)を何倍かして、足すと求められるのです。3乗した値は1と5と6で表せます。同様に10乗した値は1・1014・48854・504046・1814400・3124754・3579946・3627786・3628799・3628800で表せます。では、何倍して合計すれば良いのでしょうか。別のシート(累計シートとする)の1行目のA列からM列まで、全て1を入力します。2行目では、1行目の累計を計算します。3行目では2行目の累計を計算します。2行目は1・2・3・4・・13となります。3行目は1・3・6・10・15・21・・・91となります。11行目は1・11・66・286・・・646646となります。この数と基数を掛けて合計すれば、累乗した値は求められます。2乗では、シートのA1に1を、A2に2を入力します。累計シートの2行目(1・2・3・4・・13)をB1から貼り付け、累計シート3行目(1・3・6・10・15・21・・・78)をC2から貼り付けます。例えば、E列は4を2乗した値となります。1×4+2×6=16=4×4です。3乗の場合は、A1に1、A2に5、A3に6を入力します。累計シートの3行目(1・3・6・・91)をB1からとC2から貼り付けます。累計シートの4行目(1・4・10・20・・・286)をD3から貼り付けます。例えば、I列は8を3乗した値です。1×36+5×28+6×56=512=8×8×8です。10乗目は、A列には上記の1・1014・48854・504046・1814400・3124754・3579946・3627786・3628799・3628800を貼り付けます。累計シートの10行目(1・10・55・22・715・・・293930)をB1・C2・D3・E4・F5・G6・H7・I8・J9から貼り付け、11行目(1・11・66・286)をK10から貼り付けます。例えばK列は、10の10乗の数値で1×48620+1014×24310+48854×11440+504046×5005+1814400×2002+3124754×715+3579946×220+3627786×55+3628799×10+3628800×1=10000000000=10×10×10×10×10×10×10×10×10×10です。フェルマーの最終定理は、この表の何列目かと何列目かを足すと、何列目かになる場合があるかと言い換えることが出来ます。みなさんは、3乗以上の表でそうなる事がないこをと証明できますか。

フェルマーの最終定理は、nが2より大きい自然数であれば Xn+Yn=Znを満たす、自然数X、Y、Zは存在しないと言う内容です。n=2の時、3×3+4×4=5×5が存在します。しかし、nが3以上なら数式を満たす自然数はないことを、エクセルを使って説明出来ることを発見しました。列に累乗する数値をI・2・3・4・5・6・7・・・と入力し、POWER関数(指数を累乗する関数)を使ってB列に2乗した値を、C列に3乗した値を、D列に4乗した値を・・・・と10乗するJ列まで入力して見てください。(13乗までがエクセルの限...続きを読む

Aベストアンサー

あなたのいう「エクセル」が Microsoft Excel であるなら, そんなことは不可能.
「証明」ってものを勘違いしてないか?

Qフェルマーの最終定理に万が一、別の証明方法があったとしたら…

 いつもお世話になっております。私は高校生の者ですが、フェルマーの最終定理に関して、いろいろと書籍を読んでいて思ったことがありました。それはワイルズが証明した方法と全く異なる証明方法が万が一あった場合、どうなるのかということです。ただの数学好きな高校生の駄文ですので、専門家の方がご覧になれば笑止千万な文章かもしれませんが、ぜひおつきあいいただきたく思います。
 フェルマーが「私は真に驚くべき証明を見つけたが、この余白はそれを書くには狭すぎる」と書いたのは有名な話ですが、彼が見つけた証明が、ワイルズの証明と全く同じとは限らないのではないでしょうか。何百年もかかって、ものすごい数の数学者の理論を駆使して証明されたこの定理の証明を、フェルマーが本当に考えていたのでしょうか。もちろん、フェルマーが証明方法がわからないから割愛するために言い訳として先の文章を残したとも考えられるのかもしれませんが。
 フェルマーがワイルズを凌ぐような、さらに驚くべき証明方法を見つけていたと仮定して、現代の数学者がその証明方法を見つけた場合、その証明はワイルズのように称賛される偉業となるのでしょうか。それとも、一度ワイルズによって証明されているのだから、と割り切って、意味のない行為と認識されてしまうのでしょうか。教えてください。
 最後まで私の雑文にお付き合いいただきありがとうございました。みなさまの回答をお待ちしております。よろしくお願いいたします。
 

 いつもお世話になっております。私は高校生の者ですが、フェルマーの最終定理に関して、いろいろと書籍を読んでいて思ったことがありました。それはワイルズが証明した方法と全く異なる証明方法が万が一あった場合、どうなるのかということです。ただの数学好きな高校生の駄文ですので、専門家の方がご覧になれば笑止千万な文章かもしれませんが、ぜひおつきあいいただきたく思います。
 フェルマーが「私は真に驚くべき証明を見つけたが、この余白はそれを書くには狭すぎる」と書いたのは有名な話ですが、彼...続きを読む

Aベストアンサー

3以上の自然数 n について、xn + yn = zn となる0でない自然数 (x, y, z) の組み合わせがない

 これがフェルマーの定理です。300年以上に渡りこれが正しいということが証明できなかっただけのことです。ワイルズが行ったのはこれが正しいという確認です。凌ぐも何もワイルズはフェルマーを超えた訳ではありません。ワイルズが行った調査方法の範囲ではフェルマーの最終定理の条件下では自然数が出ることがなかったということです。

 結論から申しますと、ワイルズを凌ぐ事実証明はあり得ません。ワイルズで事実証明されましたので。ワイルズは100点満点のテストで100点を出しました。第三者が101点を出すことは出来ません。それが可能になるならば新たな数学定理の登場(0から100までの自然数しか無い状態で101を出すことが可能である…文章崩壊してますので答えはあり得ないですが)になってしまいます。


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