空間曲線の捩率(れいりつ)と曲率の定義と直感的意味とは何か調べたのですが、よくわかりません。わかりやすく教えてください。お願いします。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (1件)

岩波書店の寺澤寛一著「自然科学者のための数学概論」の第2章(微分幾何学)に書かれています。


図を描きながら、読んでいくと直感的なことも解ると思います。

点Pにおける接触平面内にある法線を点Pにおける曲線の主法線と名づけ、接触平面に垂直な法線を陪法線と名づける。

これら2つの法線とその点における接線とは互いに垂直に交わる三直線の一組で、曲線上のすべての点において存在すると考えられるものである。これらを曲線のPにおいて付随する三稜と称する。接線、主法線、陪法線が右手系をなす。

曲線の捩率とは?

曲率が一つの平面上にない限り、その上のある点における接触平面はその点が曲線上を移動するにつれて一般にその向きが変わる。従ってこれと同時に接触平面に垂直な陪法線の方向も変わる。いま点が直線状でΔsなる距離を移動したときに、その点における陪法線の方向が、Δψだけ変わったとすれば、ΔψとΔsとの比の極限値を1/τと置く、即ち:
1/τ=dψ/ds
これをその点における曲線の捩率または第二曲率という。その逆数をその点における捩率半径と称する。

この書籍は初版が昭和6年で、大変な名著です。では、
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2002/01/21 14:55

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q零~月蝕の仮面~

質問です!「射影機」の「基本性能」の「蓄積」にある、「霊子」は何の役割があるんですか?また、最大蓄積量が増えるとどうなるんですか?

Aベストアンサー

強化レンズ使用の時に必要になります。
最大蓄積量が増えると、蓄積出来る霊子の数が増えます。攻撃力などが高くなるわけではありません。

各レンズの使用霊子量:()内の数消費
「刻」(1)「圧」(1)「撃」(1~5:消費する霊子の量により攻撃力が上がる)「零」(3)「滅」(4)「貫」(1)「遅」(2)「封」(3)「月」(3)

敵にダメージを与えて、相手から霊力を吸収することによって蓄積されます。

Q曲率(と捩率)の符号は、数式上ではどうやって決めるのですか?

問題を解いているときに思ったことなのですが、
曲率(と捩率)の符号は、数式の処理上ではどうやって決めるのでしょうか。
やっていた問題は以下のようなものです。

R,bを定数とし、θをパラメータとしたときの螺旋
( Rcosθ , Rsinθ , b*θ )
について、
接線ベクトルt(大きさ1の物を指す、以下同様)、法線ベクトルn、
陪法線ベクトルb、曲率κ、捩率τを求めよ。

とりあえず微分してtを求め、さらに微分すると
dt/ds = ( (-Rcosθ)/(R^2 + b^2) , (-Rsinθ)/(R^2 + b^2) , 0 )
となります。
そしてフレネ-セレの公式より、これは κ*n に等しい。
・・・と、ここからなのですが、
このとき、κ が
±R/(R^2 + b^2)
のどちらなのか、というのは数式上ではどうやって決めればいいのでしょうか。
つまり、マイナスの符号は κ と n のどちらに吸収(?)されるのでしょうか。
幾何的に考えれば、この螺旋は左回りなので符号は+ということがわかりますが、
逆に言えば、幾何的にイメージ出来ないものはどうするのでしょうか。
捩率についても同様です。
(この場合はtとnが出るので、倍法線ベクトルと捩率の定義から決めることができるのですが・・・。)

宜しくお願いします。

問題を解いているときに思ったことなのですが、
曲率(と捩率)の符号は、数式の処理上ではどうやって決めるのでしょうか。
やっていた問題は以下のようなものです。

R,bを定数とし、θをパラメータとしたときの螺旋
( Rcosθ , Rsinθ , b*θ )
について、
接線ベクトルt(大きさ1の物を指す、以下同様)、法線ベクトルn、
陪法線ベクトルb、曲率κ、捩率τを求めよ。

とりあえず微分してtを求め、さらに微分すると
dt/ds = ( (-Rcosθ)/(R^2 + b^2) , (-Rsinθ)/(R^2 + b^2) , 0 )
となります。
そして...続きを読む

Aベストアンサー

曲線を局所的に円弧で近似したときの円の半径(曲率半径)の逆数が曲率κですね。
二次元平面内の曲線ならまず法線ベクトルnを常に曲線の片側を向く単位ベクトルと定義し、
それに対してどちら側が凸か(つまりどちら側に円が接するか)によって曲率κの正負を定義
することが可能です。
しかし三次元空間では曲線の周りの自由度が二次元なので同じようにはいかず、接点から円の
中心方向の単位ベクトルを主法線ベクトルnとし、κは常に正と定義するしかないわけです。

捩率τは曲線が接点の両側でこの接円を含む平面(接平面)から逸れていく度合いです。この
接平面は接線ベクトルtと主法線ベクトルnの成す平面ですが、その裏表は自然には決まら
ないため、外積t×nで機械的に決めます(座標系の右手/左手系に依存)。これが陪法線
ベクトルbですね。接円の接点から+t方向に進んだとき曲線が接平面から+b方向に
逸れていくとき、捩率τが正となるよう定義されています。このとき、-t方向に進めば-b
方向に逸れます。よってτの符号は曲線の向きに依存しません。右手系の座標系では右ねじ
の螺旋(oriyamaさんのおっしゃる左回りの螺旋)がτ>0です。

ちなみに
>> τ = <dn/ds,b>
これの意味はdn/dsとbの内積で、dn/dsのb方向成分です。フルネセレーの第二式から明らか
ですね。こちらのほうが上の感覚的な説明をそのまま定式化したものだと思います。

>> db/ds = -τn
これが成り立つのは私にはむしろ意外ですね。

曲線を局所的に円弧で近似したときの円の半径(曲率半径)の逆数が曲率κですね。
二次元平面内の曲線ならまず法線ベクトルnを常に曲線の片側を向く単位ベクトルと定義し、
それに対してどちら側が凸か(つまりどちら側に円が接するか)によって曲率κの正負を定義
することが可能です。
しかし三次元空間では曲線の周りの自由度が二次元なので同じようにはいかず、接点から円の
中心方向の単位ベクトルを主法線ベクトルnとし、κは常に正と定義するしかないわけです。

捩率τは曲線が接点の両側でこの接円を含...続きを読む

Q零シリーズで人気の霊

最新作の月蝕の仮面では「亞夜子」という霊がかわいいと評判ですが、今までのシリーズでもそういう、かわいくて人気のある霊とかいるんでしょうか?よかったら教えてください!

ちなみに零は今作で初めてプレイしました。
面白かったので過去の作品もやってみようと思っています。

Aベストアンサー

こんにちは。
零の最新作が発売されていたんですね。海外でも人気があるのでプレイできるかも、と期待です。

私は3作目まで一応プレイしました。どれも怖かったのですがやはり一作目がとびきり怖かったです。友人はプロローグで断念したそうです。さて人気の霊と言えば2作目に登場する立花 千歳(これ以上は言えませんが、、)でしょうか。恐いというより萌えちゃうかもしれません。私個人では同じく二作目の2階から落ちて上向きでごそごそ動く女の霊(名前忘れました)です。アーッという声と動作で爆笑しました、、、。

参考になれば。

Qアフィン空間の定義を簡潔に言うとどんな線形空間の事?

アフィン空間の定義を知りたく思っています。

ググって見るとユークリッド空間から何々を取除いたものとか線形空間の擬似空間みたいなものとかよく意味が分かりません。

線形空間の8つの条件
(i) (a+b)+c=a+(b+c)
(ii) a+b=b+a
(iii) ∀x∈Vに対して,x+0=xなる元0∈Vが存在する。
(iv) ∀x∈Vに対して,x+y=0となる元y∈Vが存在する。
(v) c(a+b)=ca+cb (c∈F)
(vi) (c+d)a=ca+da (c,d∈F)
(vii) (cd)a=c(da)
(viii) 1a=a
に何の条件を付け加えればアフィン空間になるのでしょうか?


ある本には線形部分空間を定ベクトルでずらしたものとか書いて有りました。
そうしますとW⊂VをVの部分空間とすると
{w+a∈V;w∈W,a∈V(aは定ベクトル)}
が(aに関しての)アフィン空間になるのでしょうか?

Aベストアンサー

Wikipediaにしっかり定義があるんだけども
それを見たんだろうか・・・

>アフィン空間の定義を簡潔に言うとどんな線形空間の事?
そもそも
アフィン空間は線形空間ではないわけです.
あなたが例にあげてる空間はアフィン空間だけども
線形空間ではないでしょう?

一般的には
集合Aがベクトル空間Vを伴うアフィン空間である
というような言い方をしますが
たいていの場合はVが自明だったりするので省略しますね.

集合Aがベクトル空間Vを伴うアフィン空間である
というのは,Wikipediaのをちょっと表記を変えて
一般的には
(1)Aの任意の元P,Qに対して,Vの元V(P,Q)が一意に定まる
(2)Aの任意の元P及びVの任意の元vに対して
Aの元Qで,V(P,Q)=vを満たすものが一意に定まる.このQをf(P,v)と表す(V(P,f(P,v))=v,f(P,V(P,Q))=Q).
(3)Aの任意の元P,Vの任意の元v,wに関して
f(P,v+w)=f(f(P,v),w)が成立する
ということをいいます.

実際には,Vだけではなく,適当な写像V:AxA->V,f:AxV->Aも必要で,なおかついろいろ条件がついてるわけです.
Vが「二点間の変位」で,fが「ベクトルによる平行移動」だとみなせば
「線形空間をずらしたもの」とか「原点のないベクトル空間」とか「ベクトルが推移的に作用する空間」とかいうような言及の意味がわかります.
#「作用」については適当な書籍をあたってください.

参考:岩波基礎数学「アフィン空間・射影空間」

Wikipediaにしっかり定義があるんだけども
それを見たんだろうか・・・

>アフィン空間の定義を簡潔に言うとどんな線形空間の事?
そもそも
アフィン空間は線形空間ではないわけです.
あなたが例にあげてる空間はアフィン空間だけども
線形空間ではないでしょう?

一般的には
集合Aがベクトル空間Vを伴うアフィン空間である
というような言い方をしますが
たいていの場合はVが自明だったりするので省略しますね.

集合Aがベクトル空間Vを伴うアフィン空間である
というのは,Wikipediaのをちょ...続きを読む

Q零相電圧と零相電流の測定方法について

電気の交流理論で、三相回路におけることです。地絡などで零相電圧や零相電流が発生しますが、その中で、零相分電圧(零相電圧?)と零相分電流(零相電流?)の測定方法を教えてください。また、参考になる文献やサイトなどがありましたら載せてくださると助かります。

Aベストアンサー

零相電流はZCT、零相電圧はGPTというもので測定します。それぞれの原理をまなべば測定方法がわかると思います!

ZCTの原理ですが、通常のCTはご存知ですか?ご存知ならば話は早いのですが、通常のCTは電線1本を通して電流を測定しています。しかしZCTは3本の(3相の)電線を通しています。これによって、平常時はベクトル的に打ち消しあっているため、CT2次電流は零、地絡事故時は3相不平衡となるため、その不平衡分(つまり零相電流)がZCTの2次に流れとりだせます。

零相電圧についても同じで、GPTのオープンデルタというのを学んでいただくと分かりますが、3相の電圧を一つにとりこんでおり、平常時はベクトル的に零、地絡発生時は不平衡分の電圧が発生して零相電圧発生というメカニズムです。

Q微分幾何・捩率の計算過程について

捩率の勉強をしています。

↓このサイトにたどり着きましたが、

http://ja.wikisource.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E6%A6%82%E8%AB%96/%E7%AC%AC2%E7%AB%A0/%E6%8E%A5%E7%B7%9A%E3%81%8A%E3%82%88%E3%81%B3%E6%9B%B2%E7%8E%87

このサイトの真ん中あたりのフレネの公式の後の式変換が理解出来ずに困っております。

具体的には、

v'' = (1/ρ)j

から、

v''' = (-ρ'/ρ^2 )j + (1/ρ) j'

と計算されているのですが、v''の最初の項の(1/ρ)を微分したものが、どうして(-ρ'/ρ^2 )と表記されるのでしょうか。
-1/ρ^2 ではないのでしょうか。


また、次の段の式変換で、

(v, v'', v''') = ( i, (1/ρ)j, -(1/ρ^2)i -(ρ'/ρ^2)j +(1/ρτ)k )
=( i, (1/ρ)j, (1/ρτ)k )

となっておりますが、v'''の部分の 1項めと2項めの -(1/ρ^2)i -(ρ'/ρ^2)j の部分が消えている理由がわかりません。

ご教授いただけたら幸いです。
なにとぞよろしくお願いいたします。

捩率の勉強をしています。

↓このサイトにたどり着きましたが、

http://ja.wikisource.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E6%A6%82%E8%AB%96/%E7%AC%AC2%E7%AB%A0/%E6%8E%A5%E7%B7%9A%E3%81%8A%E3%82%88%E3%81%B3%E6%9B%B2%E7%8E%87

このサイトの真ん中あたりのフレネの公式の後の式変換が理解出来ずに困っております。

具体的には、

v'' = (1/ρ)j

から、

v''' = (-ρ'/ρ^2 )j + (1/ρ) j'

と計算されているのですが、v''の最初の項の(1/ρ)を微分したものが、どうして(-ρ'/ρ^2 )と表記されるのでしょうか。
-1...続きを読む

Aベストアンサー

>v''の最初の項の(1/ρ)を微分したものが、どうして(-ρ'/ρ^2 )と表記されるのでしょうか。
’の意味を考えていますか。'=d/ds

(1/ρ)'=d(1/ρ)/ds=dρ/ds/(-ρ^2)=-ρ'/ρ^2


>v'''の部分の 1項めと2項めの -(1/ρ^2)i -(ρ'/ρ^2)j の部分が消えている理由がわかりません。

(v, v'', v''')の各成分は直交するはずですからv'''に含まれるi,j成分は0であることを要求されます。

Q瓢零と飄零の違い

瓢零とはどんな意味ですか。「おちぶれること」でいいのでしょうか。またそうだとすれば飄零あるいは漂零でしょうか?

Aベストアンサー

現代漢和辞典第二版(小学館)によれば、
「おちぶれること」は「飄零」で、「漂零」でも同じことと解釈されます。
「瓢零」は見当たりません。

Q曲線と曲線の交点を通る曲線の求め方(曲線群)

皆様、こんにちは。

円A:f(x,y)と円B:g(x,y)の交点を通る円の方程式は全て
kf(x,y)+lg(x,y)=0の形で表せると習ったのですが、

これの応用で
円A:f(x,y)と円B:g(x,y)の交点を通る三次曲線は全て
(ax+b)f(x,y)+(cx+d)g(x,y)=0・・・・(1)
の形で表せるのでしょうか?

もし2円の交点を通る3次曲線が全て(1)で表せるのでしたら
その証明方法なども教えてください。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

#1さんがすでにご指摘の通り、
三次曲線をすべて (1) で表すことはできません。
そして、kf(x,y)+lg(x,y)=0 も、
二次曲線すべてではなく、円だけを表しているにすぎません。
でも、vigo24 さんの着眼点はなかなかおもしろいと思います。
これをヒントにして、次のように考えてみました。

f1(x,y) = x^2 + y^2 + l1 x + m1 y + n1
f2(x,y) = x^2 + y^2 + l2 x + m2 y + n2
とおきます。そして、f1(x,y) = 0 と f2(x,y) = 0 が
円であり、2点で交わるものとします。
(円でない場合もありますし、2点で交わらない場合もあります。
詳細は http://okwave.jp/qa3076718.html をご覧下さい。)

f3(x,y) = f1(x,y) - f2(x,y) = (l1-l2)x + (m1-m2)y + (n1-n2) とおきます。
すると、f1(x,y) = 0 かつ f2(x,y) = 0 ならば f3(x,y) = 0 が成り立ちます。
これを利用して、次のような方程式を考えてみます。
f4(x,y) = a f1(x,y) + b f2(x,y) + (cx+dy) f3(x,y) = 0

まず、f4(x,y) = 0 が二次以下の曲線になることはすぐにわかります。
そして、f1(x,y) = 0 と f2(x,y) = 0 の交点を (x1,y1) , (x2,y2) とすると、
f1(x1,y1) = 0 かつ f2(x1,y1) = 0 ですから、f3(x1,y1) = 0 となり、
f4(x1,y1) = a×0 + b×0 + (c x1 + d y1)×0 = 0 となります。
ですから、f4(x1,y1) = 0 , f4(x2,y2) = 0 となり、
曲線 f4(x,y) = 0 は f1(x,y) = 0 と f2(x,y) = 0 の交点を通ります。

さて、問題となるのが、f4(x,y) = 0 が2点を通る二次以下の曲線を
すべて網羅しているかどうか、ということです。
このことについて厳密な証明はしていませんが、
二次以下の曲線は ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 で表せます。
つまり、パラメータは6個(0でない係数で割れば5個)必要です。
そして、曲線 f4(x,y) = 0 のパラメータは、a,b,c,d と交点2個で、
やはり6個(0でない係数で割れば5個)あることになります。
ですから、f4(x,y) = 0 の形で、
2点を通る二次以下の曲線をすべて表せているものと思われます。

ここからいろいろ発展させることができると思います。
例えば、円と円の交点ではなく、二次曲線と二次曲線の交点で、
交点が4個あるとすれば、k1 f1(x,y) + k2 f2(x,y) = 0 の形で
交点を通る二次曲線を表せるかもしれません。
vigo24 さんのもともとの質問である、円と円の交点を通る三次曲線も、
(a1 x + a2 y + a3) f1(x,y) + (b1 x + b2 y + b3) f2(x,y)
+ (c1 x^2 + c2 xy + c3 y^2) f3(x,y) = 0
の形で表すことが可能ではないかと思われます。
(上記の形ではパラメータが1つ多すぎるので、
不要なパラメータが含まれていると思います。)

#1さんがすでにご指摘の通り、
三次曲線をすべて (1) で表すことはできません。
そして、kf(x,y)+lg(x,y)=0 も、
二次曲線すべてではなく、円だけを表しているにすぎません。
でも、vigo24 さんの着眼点はなかなかおもしろいと思います。
これをヒントにして、次のように考えてみました。

f1(x,y) = x^2 + y^2 + l1 x + m1 y + n1
f2(x,y) = x^2 + y^2 + l2 x + m2 y + n2
とおきます。そして、f1(x,y) = 0 と f2(x,y) = 0 が
円であり、2点で交わるものとします。
(円でない場合もありますし、2...続きを読む

Q零シリーズ

現在、
火…イザナミ零
水…ヤマタケ零
木…クシナダ零
そして
光…イザナギ零がでました。
順当にいくと次は闇ですよね?

闇の超絶キャラは不動明王かツクヨミです。

阿修羅・毘沙門天・摩利支天・大黒天・といったシリーズはまだ零になってないのでやっぱりツクヨミ?

みなさんは次の零になにがくると思いますか?

Aベストアンサー

次はツクヨミかなって思いますが、阿修羅はアビリティは良いですが、友情コンボが個人的にイマイチなので阿修羅零にも期待してます☆

Q半空間,開半空間,境界の定義についての確認です

半空間,開半空間,境界の定義についての確認です。


KをR(:実数体)の一つの部分体とし,K上のn次元縦vectorの空間をK^n,n次元横vectorの空間をK_nと表す事にする。

K_nの一つの元a≠0に対して,K^nの部分集合{x;ax≦0}を半空間,{x;ax<0}を開半空間と呼ぶ。
この時{x;ax=0}を{x;ax≦0}と{x;ax<0}の境界と呼ぶ。
と定義したのですがこの定義で正しいでしょうか?

Aベストアンサー

「半空間」は、結構よく使われる用語ですが、定義の細部は文脈依存で、
広く合意された単一の定義がある訳ではありません。

単に「半空間」と言ったときに、閉半空間を意味するのか、
開半空間を意味するのかすら、統一されてはいないように思います。
線型計画法の教科書では、「半空間」と言えば閉半空間の意味ですし、
関数論では、「半平面」と言えば(複素平面上の)開半平面を指します。

貴方の必要に応じて、好きに定義して使えば良いのではないでしょうか。
但し、「ここでは、半空間という用語を~の意味で用いる。」と、
明確に定義することが必要です。

「半平面」が原点を境界上に持つか否かも、
「単位円」が原点中心か否か同様に、文脈依存だと思います。


人気Q&Aランキング

おすすめ情報