【復活求む!】惜しくも解散してしまったバンド|J-ROCK編 >>

直和のわからない問題があって困っています。

V,W∈R^3 に対して
V={(x y z)^t|x=y=z=0}
W={(x y z)^t|x+y+z=0}とすると、V+W(+は直和関係を表す)=R^3になることを証明せよ。
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まずVとWの和空間が直和関係になることを示すために、
V∩W∋α=(a b c)^t とすると、α∈V かつ α∈Wより、条件式から
a=b=c=0かつa+b+c=0 よって、a=b=c=0
よって、V∩W={0ベクトル} 
したがって,直和の定理からV+Wは直和関係であるいえる。

と、直和関係を示したところまではよいと思うのですが(違ってたらご指摘お願いします)これが「R^3になる」ということをどうやって示せばよいのかがわかりません。もしわかる方がいましたら教えてください。

A 回答 (2件)

V+W(+は直和関係を表す)=R^3の大まかな解答の筋道を。



まずすべきなのはV∩W={0ベクトル}を示すこと。 
「連立方程式a=b=c、a+b+c=0
を解いてa=b=c=0」

あとはVに含まれる一次独立なベクトルを二つ
「たとえば(1,0,-1)^t、(0,1,-1)^tとか」
Wに含まれる一次独立なベクトルを一つ
「たとえば(1,1,1)^tとか」
あげて、この三つのベクトルがR^3で一次独立であることを言えばいいと思う。
(V+W⊂R^3は明らかだし)
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問題を間違えていませんか


本当は
V={(x y z)^t|x=y=z}
W={(x y z)^t|x+y+z=0}
のような気がします。
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この回答へのお礼

ご指摘ありがとうございます。
回答者さんのおっしゃるとおりです。
訂正します。

お礼日時:2006/01/08 16:09

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