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「100mlの水に500個の微粒子を入れ、均一になるように良く撹拌してあります。ここから10mlすくい取ったとき、x個の微粒子が存在する確率を求めたい」という場合、ポアソン分布になっているのでしょうか。

100ml中に500個では微粒子数が多すぎてポアソン分布になっていないような気がするのですが、10^5μl中に500個あると考えるとポアソン分布でいいような気もします。

私は、ポアソン分布の確率関数
f(x)=e^(-λ)*λ^x/x!
において、
n:サンプル量(μl) p:微粒子濃度(個/μl) λ=np
とし、n=10^4、 p=5*10^(-3)、 λ=50 より

f(x)=e^(-50)*50^x/x!

と考えたのですが、合っているでしょうか?

容量の単位を変えると微粒子濃度が大きくなったり小さくなったり感じられ、ポアソン分布の適用基準がわかりません。

本などで調べたのですが類似の例がなく、良くわかりません。宜しくお願いいたします。

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A 回答 (3件)

これは正確には2項分布になると思います。

1/10の体積を取り出すと定義すれば粒子の大きさも関係ないですし、それで含まれる誤差は実際の計算誤差よりは小さいのではないですかね。

粒子1個がすくい取られる確率が0.1ですので
n個すくわれる確率は
C[500,n]*0.1^n*0.9^(500-n)
期待値:0.1*500=50
分散:0.1*0.9*500=45

ただ、P≦0.1の2項分布はポアソン分布に近似することが可能ですので、そういう意味でポアソンでいいと思いますよ。(ぎりぎりですね。分散が1/0.9倍になってますね)

2項分布とポアソン分布の最大の違いは2項分布が0から500個までの確率を足せば1になり、500個を越えることはありえないのに対してポアソンは無限大まで足して1になり、ほとんど0ながら501個すくい出される確率も存在する点ではないでしょうか。品質管理などで欠点数の分布なら無限大まで可能性があるのでポアソンですが、今回の場合は500個止まりですね。だから2項分布だと思いますよ。
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この回答へのお礼

お答えいただきありがとうございます。大変参考になりました。2項分布とポアソン分布の違いなど勉強不足のところがありますので今後身につけたいと思います。

ところで質問を重ねて申し訳ないのですが、もし100ml中に微粒子500個ではなく、同じ濃度ですが、100l(=100000ml)中に微粒子500000個の水から10mlすくい取るとすれば、P=0.0001と充分小さくなるのでポアソン分布になるのでしょうか?もしなるとすれば私の計算でいいのでしょうか?

お礼日時:2006/01/08 21:14

>P=0.0001と充分小さくなるのでポアソン分布になるのでしょうか?



基本的には#2と同じく2項分布をポアソンで近似でしているだけなんですがPが小さくなるほど誤差が少なくなります。
P=0.1の時の50個の確率と40個の確率を書き出すと

     ポアソン   2項分布(P=0.1)   (P=0.0001)
50個  0.056325006  0.05937067  0.056327823
40個  0.021499631  0.02007379  0.021498341

P=0.0001の時の結果はポアソンとかなり一致している事が分かります。だから、こちらの方はポアソンで計算してもいいと思います。
式に関しても質問者さんの
f(x)=e^(-50)*50^x/x!
であってますよ。
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この回答へのお礼

比較の計算までしていただき本当にありがとうございました。これをきっかけに自分でもよく考えたところ、大分ポアソン分布の概要がつかめたような気がします。
まだP(不良率ととらえていますが...)の考え方がわからないのですが、一度締めてよく考えてからもう一度質問させていただくかも知れません。その時はまた宜しくお願いいたします。
ありがとうございました。

お礼日時:2006/01/09 00:02

微粒子の大きさは?


問題設定を「10mlすくい取ったとき、xmlの微粒子が存在する確率」という問題設定に変えるべきです。

この回答への補足

微粒子は「非常に小さい」です。すくい上げる際に大きさが影響することはない、という設定です。必要なら直径が1ミクロンとしても良いです。

>「10mlすくい取ったとき、xmlの微粒子が存在する確率」という問題設定に変えるべきです。

--微粒子は何個と数えるもので、mlで表すのは出来ないと思います。

補足日時:2006/01/08 17:20
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この回答へのお礼

先ほど補足で「微粒子の大きさはmlで表せない」と書きましたが、直径1ミクロンの球と仮定すれば表すことは出来ますね。

すくい取った個数をx、微粒子の容量をvとすれば
x=v/(4/3πr^3) でしょうか?(r=0.5ミクロン)

でも粒子が微小であれば大きさは関係ないと思うのですが..間違っていますか?

お礼日時:2006/01/08 17:48

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