波について研究しているのですが、ガウス関数や、波動方程式
がよく分からないので、簡単に教えてください。

A 回答 (2件)

stomachman さんの書かれているとおりで,解答の仕方に困りますね.


そう言ってしまっては,身も蓋もないので少しだけ.

まず,一番標準的な1次元の波動方程式は
∂^2 f(x,t)/∂ t^2 = c^2 {∂^2 f(x,t)/∂ x^2} ..... (1)
です.右向き進行波 g(kx-ωt) と左向き進行波 h(kx+ωt)の任意の線型結合が
(1)を満たすようになっています.ω=ck で,cが波の速さです.
同じ形の波の右向き進行波と左向き進行波を重ねて定在波ができますから,
上のようにしておかないと定在波を表すことができません.
2次元,3次元の波動方程式なら(1)の右辺の x の2階偏微分がラプラシアンになります.

その他,余分な項がついて非線形の波を表すような波動方程式もあります.
sine-Gordon 方程式,Korteweg‐de Vries 方程式など.
こちらはソリトンなどの話で有名です.

ガウス関数とは exp{-ax^2} の形の関数のことです.
波の話で出てくるなら exp{-a(kx±ωt)^2} のタイプでしょう.
パルス波の典型的な例です.
波というと,サイン波のようなものが第一に頭に浮かぶと思いますが,
パルス波も立派な波で,(1)を満たします.

いくらか回答になっているでしょうか?

stomachman さんが言われるようにどういう研究かよくわからないのですが,
波の話なら波動方程式は基本ですので,適当な教科書から勉強されるようおすすめします.
大学の理工系学部の1年生程度の本なら,
永田一清:「基礎 波動・光・熱学」(サイエンス社)など.
この本は私が授業で使ったことがあります.
    • good
    • 0

質問が漠然としていて、誰も回答のしようがないようです。


何の波の、どんな事を、どうやって研究していますか?ガウス関数がどこで出てきましたか?波動方程式のどこがわかりませんか?数学はどの位分かりますか?
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q調和振動子の波動関数

調和振動子のポテンシャル中にある相互作用していない2つの電子において量子数nのエネルギー固有状態を記述する波動関数ψn(x),スピン波動関数をφ^{±}とする。
I基底状態Etot=2*E1を記述する2電子波動関数を全てもとめよ
II第一励起状態Etot=E1+E2を記述する2電子波動関数を全てもとめよ

上記の問題を考えているのですが,スレーター行列式に代入するとどちらも波動関数が0になって解が求まりません。
どのようにとけば2電子波動関数を求められますか?

Aベストアンサー

#4の補足について。

OKです。

Q波動関数の波の形と実際の粒子の波

波動関数は、グラフに描くと波の形をしていますよね。複素数の項がありますが、その項を除いたとすればグラフがかけますよね?
その波の形と、実際に二重スリットの実験などで現れる実際の波の形は同じものであったりすることはありますか?波動関数はただ単に確率を表すだけのものなのでしょうか?

海の波の形はコサインの式でグラフに描くと横軸が位置X、縦軸が振幅(波の高さ)となり、波を実際に絵として描くことができると思います。粒子の波はそのようなことはできないのでしょうか?
わかる方いたら教えてください!!

Aベストアンサー

波動関数を使えば量子状態をうまく記述できますが、波であることが実態ではありません。波動関数とは、量子状態を記述する言語の1つ、という程度に考えるとよいでしょう。

Q波動関数の状態ベクトルについて

波動関数は|ψ>だと理解していたのですが,ある教科書で波動関数ψ(r,t)は
ψ(r,t)=<r|ψ)
とされていました.

波動関数|ψ>は,無限個の波動関数の重ねあわせだと思うのですが(←正しいでしょうか?),
なぜ位置rとの内積が波動関数となるのがよくわかりません.
ご教授お願いいたします.

Aベストアンサー

ディラックやランダウ・リフシッツの教科書に載っていると思います.詳しくはそのような本で調べましょう.

位置演算子qの固有値rとそれに属する固有関数|r>にはq|r>=r|r>が成り立ちます.|r>によって状態ketベクトル|ψ>を展開すると

|ψ>=∫ψ(r',t)|r'>dr'

となります.ψ(r',t)は展開係数(重み)です.これとbraベクトル<r|の内積をとると,規格化直交性<r|r'>=δ(r-r')により,

<r|ψ>=∫ψ(r',t)<r|r'>dr'=∫ψ(r',t)δ(r-r')dr'=ψ(r,t)

これが問題の式です.

つまり,波動関数(シュレディンガー方程式の解)とは状態ベクトルを位置演算子の固有関数で展開したときの展開係数なのです.

量子力学は無限次元線形代数です.有限次元線形代数はすでによく学んでいると思います.だいたい,そこでの内容を当てはめて考えれば理解しやすいと思います.

質問者様のような疑問が生じるのは,ほとんどの初等的な教科書はシュレディンガー流に書かれているからです.ハイゼンベルクの行列力学を直接学んでいる人は少ないと思います.ハイゼンベルク流の量子力学,ディラックの量子力学を学んではじめてこの手の疑問はすっきりとするでしょう.そのためには冒頭に挙げたような教科書に進まなければなりません.

ディラックやランダウ・リフシッツの教科書に載っていると思います.詳しくはそのような本で調べましょう.

位置演算子qの固有値rとそれに属する固有関数|r>にはq|r>=r|r>が成り立ちます.|r>によって状態ketベクトル|ψ>を展開すると

|ψ>=∫ψ(r',t)|r'>dr'

となります.ψ(r',t)は展開係数(重み)です.これとbraベクトル<r|の内積をとると,規格化直交性<r|r'>=δ(r-r')により,

<r|ψ>=∫ψ(r',t)<r|r'>dr'=∫ψ(r',t)δ(r-r')dr'=ψ(r,t)

これが問題の式です.

つまり,波動関数(シュレディンガー方程式の解)...続きを読む

Q古典的波動力学の構築・・・波動方程式からホイヘンスの原理を導く

古典的波動力学なんてメジャーな分類にならないかもしれませんが、その構成を考える上で悩んでいます。
高校物理の範囲で考えると、波動の基本原理は
ホイヘンスの原理ですが、
やはり、波動方程式から導くのが正当だと思います。
そこで、まずホイヘンスの原理を数学的に記述するとどう表記できるか?
波動方程式からいかに導けるかを教えて下さい。

Aベストアンサー

3次元のベクトルを大文字、ベクトルの大きさを小文字で表すことにします。波動方程式□u=0の初期条件
 u(R,0)=0, ∂u/∂t|(t=0) = ψ(R)
を満たす解を求めます。
 □G(R,t)=0 …(1)
 G(R,0)=0, ∂G/∂t|(t=0) = δ(R) …(2)
を満たすグリーン関数を用いると、
 u(R,t)= ∫G(R-R',t)ψ(R')d^3R'
と書けることは明らかです。
 G(R,t) = ∫A(K,ω)exp[i(K・R - ωt)]d^3Kdω
とフーリエ変換すると、(1)より
 (k^2 - ω^2/c^2)A(K,ω)=0
よって
 A(K,ω)=B(K)δ(ω-ck)+C(K)δ(ω+ct)
とおけるのでωについての積分を行うと、
 G(R,t)
=∫{B(K)exp[i(K・R-ckt)]+C(K)exp[i(K・R+ckt)]}d^3K
初期条件(2)より
 G(R,t)
=1/(2π)^3∫d^3K{exp[i(K・R-ckt)]-exp[i(K・R+ckt)]}/(-2ick)
=1/(2π)^3∫d^3Kexp[iK・R]sin(ckt)/ck
極座標で積分を行うと
 G(R,t)
=1/(2π^2cr)∫(0-∞)sin(kr)sin(ckt)dk
=δ(r-ct)/(4πcr)
すなわち
 u(R,t)=(1/4πc)∫{δ(|R-R'|-ct)ψ(R')/|R-R'|}d^3R'
これは時刻tでの場所Rのおける波動は、この点からの距離がctに等しい各点からの素波が重ねあわされたものと解釈されます。これがホイヘンスの原理です。

 

3次元のベクトルを大文字、ベクトルの大きさを小文字で表すことにします。波動方程式□u=0の初期条件
 u(R,0)=0, ∂u/∂t|(t=0) = ψ(R)
を満たす解を求めます。
 □G(R,t)=0 …(1)
 G(R,0)=0, ∂G/∂t|(t=0) = δ(R) …(2)
を満たすグリーン関数を用いると、
 u(R,t)= ∫G(R-R',t)ψ(R')d^3R'
と書けることは明らかです。
 G(R,t) = ∫A(K,ω)exp[i(K・R - ωt)]d^3Kdω
とフーリエ変換すると、(1)より
 (k^2 - ω^2/c^2)A(K,ω)=0
よって
 A(K,ω)=B(K)δ(ω-ck)+C(K)δ(ω+ct)
とおけるのでωについての積分を...続きを読む

Q光は波動関数を持たないのですか?

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5021911.html


ここの質問で物質波の波動関数はスカラーであり、縦波も横波も持たないと教えて頂いたのですが、
では光の場合はどうなのでしょうか?

光は横波しかもたないわけですが、光の波を光の波動関数であると考えるとスカラーではないのはなぜなのでしょうか?
或いは光の波が波動関数ではないのだとすると、光が波動関数を持たないのはなぜなのでしょうか?

それと出来れば光が縦波を持たず、横波しか持たない理由を教えて下さい。

よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

こんばんは。

次第に話が難しくなってきましたね。

光は物質波ではありません。物質のシュレディンガー方程式に相当するものが、電磁場の場合は、ベクトルポテンシャルAの従う、波動方程式です。でもこれだけでは、よくわかりませんね。しかも、光子の粒子性がまだ見えてきません。そこでAをフーリエ変換するのです。すると、変換の各項の係数が調和振動子の振る舞いに類似していることが分かります。調和振動子は容易に第二量子化ます。それと同じように電磁場を量子化すればよいのです。今述べたことを振り返ってみると、電磁場は一回しか量子化しなかったのに第二量子化が得られたということになります。したがって、ベクトルポテンシャルAは、シュレディンガー方程式の波動関数ψに相当するということが言えそうです。Aはスカラーではなく、ベクトルですよね。このことが普通の物質波との大きな違いです。

真空中を伝わる光が縦波を持たず、横波しか持たない理由(誘電体中では縦波の成分をもつこともあります)マクスウェルの方程式から直接導かれる性質です。

それではまた。

Q波動関数と平面波

波動関数φ(x,y,z,t)を下の平面波の式の様にあらわすことができるのはなぜでしょうか?
なぜ波数ベクトル、位置ベクトルで位相がわかるのでしょうか?

φ=Ae^i(kr-ωt)

※k,rはベクトルです

教えてくださいお願いします。

Aベストアンサー

変数分離系のシュレディンガー方程式を解くとそうなるからです。

ih(1/T)dT/dt=(1/X)HX(x)=Eを、tについて解いてみてください。

(1/T)dT/dt=-iE/h⇒dT/T=-iEdt/h⇒logT=-iEt/h
⇒T(t)=e^-iEt/h≡e^-iωt (E=hω)
これは、ハミルトニアンが時間に依存しない限り
調和振動子だろうが、自由粒子だろうが、何でも
このtの部分の関数は変わりません。

もう一つの式、(1/X)HX(x)=Eを解きます。
解くと言っても、Hが具体的に指定されないと
解けませんが、ご質問のような波動関数が得られるのは、自由粒子:H=p^2/2mの場合なので、それを解きます。HX=EX⇒-(h^2/2m)d^2X/dx^2=EX
⇒X=e^i(√2mE)x/h≡e^ikx (k=(√2mE)/h
よって、ψ=XT=e^ikx・e^-iωt=e^i(kx-ωt)
というのが自由粒子の波動関数です。

e^ikxとしかあらわさない場合があるのは、
e^-iωtの部分を省略しているだけです。時間に依存する部分は、独立に解けていてe^-iωtと分かっている
からです。
今は一次元の場合で考えましたけど、3次元になっても
それぞれの成分について変数分離でとくだけで、結局
e^ik1x,e^ik2y,e^ik3zの積になるから
波動関数はe^i(k1x+k2y+k3z)=e^ik・rとなります。
それにやはり時間因子e^-iωtがかかります。
なぜ、波動関数が波の式になるかというと、
シュレディンガー方程式という『波動方程式』
を満たす関数だからです。
以下も参考になるかと思います。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=2152885

変数分離系のシュレディンガー方程式を解くとそうなるからです。

ih(1/T)dT/dt=(1/X)HX(x)=Eを、tについて解いてみてください。

(1/T)dT/dt=-iE/h⇒dT/T=-iEdt/h⇒logT=-iEt/h
⇒T(t)=e^-iEt/h≡e^-iωt (E=hω)
これは、ハミルトニアンが時間に依存しない限り
調和振動子だろうが、自由粒子だろうが、何でも
このtの部分の関数は変わりません。

もう一つの式、(1/X)HX(x)=Eを解きます。
解くと言っても、Hが具体的に指定されないと
解けませんが、ご質問のような波動関数が得られるのは、自由粒子:H=p^...続きを読む

Q波動関数の絶対値の2乗について

波動関数の絶対値の2乗は確率密度と習ったのですが、ピンときません、なぜ、波動関数の絶対値の2乗は確率密度といえるのでしょうか?
回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

1粒子の波動関数であれば, 「波動関数の絶対値の2乗」を全空間で積分すると 1 ですね.

Q波数ベクトルと波動関数

質問が続けざまですみません。


バンド理論でよく波数ベクトルkが出てきて、kが大きくなると、エネルギーEも大きくなるような図をよく見かけます。何故、波数ベクトルkが大きいとエネルギーEも大きくなるのですか?振動数ν=c/λ、λ=2π/kをE=hνに代入して、E=hck/(2π)となります。波数kが大きいと存在する波の数(エネルギー量子の数)が多くなるので、エネルギーEも大きくなるという考えで合っていますか?

また自由電子などを扱っていますが、そもそも電子の何が波なんでしょうか。格子振動の章ではフォノンの振幅など振動子として扱うので波というのは分かりますが、電子の波動関数において波数ベクトルkが何を指しているかが分かりません。電子の波動関数とは電子の存在確率の大小が波のように広がっている事を表していて、その波の波数という事ですか?波動関数Ψ=exp(i k・r)が一体何を表してるのか、もしkが大きくなると電子はどうなるのか、イマイチ理解できません。

どなたかご教授してもらえないでしょうか。お願いします。

Aベストアンサー

x軸の運動量(の固有値)をPとすると、Pψ=-ih'∂/∂x ψ という関係を習ったと
思います。
自由粒子のψは、ψ=a exp(-ik x) です(その理由は、あとで説明します)
これを、上記の式に代入すると、
Pψ=-ih'∂/∂x ψ=h'kψ となりなす。
つまり、運動量=h'・波数 という関係が成り立ちます。
>もしkが大きくなると電子はどうなるのか
というと、kに比例して運動量が大きくなる ということです。
自由粒子のψを、このPを用いて書き直すと、
ψ=a exp(-iP x/h') とも書けます。

自由粒子のψが、ψ=a exp(-iP x/h') となる理由:
自由粒子は、運動量の固有状態です。つまり、Pは、ある1つの値に確定しています。
したがって、不確定性関係ΔPΔx≧hにより、Δxは、無限に広がっており、
どこかの位置xが、特別ということもありません。
で、ψ*ψが、存在確率を表すことを習ったと思います。
なので、運動量の固有状態の場合、ψ*ψは、無限に広がっており、その値は一定です。
この条件で、ψを求めると、ψ=a exp(-iP x/h') となります。

ψが、波でもあり粒子でもある理由:
上で示したように自由粒子のψは、まぎれもなく「波」です。
しかし、位置xの固有値Xは、xψ=Xψ で、求められ、この時、ψの固有関数は
デルタ関数δ(x-X)になります。
ψ*ψが、存在確率を表すので、デルタ関数の時は、一点Xだけに存在している 
といえます。それは、粒子を意味しますよね。

最後に、
質問の内容から推測すると、どうも、量子力学の数学的基礎が説明されていない古い教科書で、学ばれたように見受けられます。
量子力学の本質を理解するためには、清水明「新版 量子論の基礎」などの新しい教科書を
読まれることを、お勧めします。
尚、この本には「物理量が局所実在である理論」では説明できない「ベルの定理の破れ」が、丁寧に記述されています。

x軸の運動量(の固有値)をPとすると、Pψ=-ih'∂/∂x ψ という関係を習ったと
思います。
自由粒子のψは、ψ=a exp(-ik x) です(その理由は、あとで説明します)
これを、上記の式に代入すると、
Pψ=-ih'∂/∂x ψ=h'kψ となりなす。
つまり、運動量=h'・波数 という関係が成り立ちます。
>もしkが大きくなると電子はどうなるのか
というと、kに比例して運動量が大きくなる ということです。
自由粒子のψを、このPを用いて書き直すと、
ψ=a exp(-iP x/h') とも書けます。

自由粒子のψが、ψ=a e...続きを読む

Q摂動論を用いた波動関数

電荷eを持つ一次元の粒子について
Ho=p^2/2μ+μ^2x^2/2のハミルトニアンを考えます。電場によるポテンシャルはH1=eV=eεzです。
これの基底状態のエネルギーと波動関数を摂動論を用いて一次まで求めるのですが、エネルギーはなんとか求めることができました。さて波動関数についてですが、参考書をみると係数の求め方は乗っているのですが、係数がかかる波動関数の求め方がわからず困っています。ぜひ教えてください> <よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>波動関数についてですが、参考書をみると係数の求め方は乗っているのですが、係数がかかる波動関数の求め方がわからず困っています。

摂動論で使う波動関数は無摂動ハミルトニアンの固有関数で展開(適当な係数を掛けて)していますから、参考書には無摂動系での固有関数(波動関数)がでているはずと思いますが。
尚、ご質問の問題はStark効果を扱った問題と思います。これは大抵の量子力学の演習書に載っていると思いますので、一度図書館で調べられればいかがでしょうか。

Q一次元ポテンシャル障壁中のDirac方程式の波動関数

 明けまして、おめでとうございます。
本年もよろしくお願いします。

さて、早速ですが、下記につきまして教えてください。

Schrodinger方程式では、下記のようなポテンシャル障壁があると
V=0, x<0
V=V0, x>0

各領域において方程式は、
-hbar^2/2m d^2φ1/dx^2= E φ1

-hbar^2/2m d^2φ2/dx^2 + V0φ2 = E φ2

となり、境界条件は

φ1(x=0)= φ2(x=0)

x=0において、 dφ1/dx= dφ2/dx

となって、波動関数は、E<V0の領域で

φ1= c1 Exp(iax)+c1((ia-b)/(b+ia))Exp(-iax)

φ2= c1((2ia)/(b+ia))Exp(-bx)

となると、ほとんどの教科書には、記載されておりますが、Dirac方程式については、
一次元ポテンシャル障壁中の波動関数がどのようになるのか?見たことがありません。
たぶん、Schrodinger方程式と同じようになると思われますが、導出方法をご教示
願います。

 明けまして、おめでとうございます。
本年もよろしくお願いします。

さて、早速ですが、下記につきまして教えてください。

Schrodinger方程式では、下記のようなポテンシャル障壁があると
V=0, x<0
V=V0, x>0

各領域において方程式は、
-hbar^2/2m d^2φ1/dx^2= E φ1

-hbar^2/2m d^2φ2/dx^2 + V0φ2 = E φ2

となり、境界条件は

φ1(x=0)= φ2(x=0)

x=0において、 dφ1/dx= dφ2/dx

となって、波動関数は、E<V0の領域で

φ1= c1 Exp(iax)+c1((ia-b)/(b+ia))Exp(-iax)

φ2= c1(...続きを読む

Aベストアンサー

ディラック方程式にスカラーポテンシャルを入れる場合、静止質量エネルギーmc^2に、スカラーポテンシャルを付け加えたのではだめです。一般相対論におけるディラック方程式は書いてある本が少ないけど、ディラック方程式への電磁相互作用の入れ方はどの本にでも書いてあると思いますが。ディラック方程式への電磁相互作用を入れるときは、ゲージ不変にするために、微分を共変微分で置き換えます(このような相互作用はminimal couplingと呼ばれています)。つまりスカラーポテンシャルは時間微分作用素に付け加えなければならないのです。一次元ポテンシャル障壁中のディラック方程式も電子が高エネルギーになれば当然考える必要が出てくると思います。