波について研究しているのですが、ガウス関数や、波動方程式
がよく分からないので、簡単に教えてください。

A 回答 (2件)

stomachman さんの書かれているとおりで,解答の仕方に困りますね.


そう言ってしまっては,身も蓋もないので少しだけ.

まず,一番標準的な1次元の波動方程式は
∂^2 f(x,t)/∂ t^2 = c^2 {∂^2 f(x,t)/∂ x^2} ..... (1)
です.右向き進行波 g(kx-ωt) と左向き進行波 h(kx+ωt)の任意の線型結合が
(1)を満たすようになっています.ω=ck で,cが波の速さです.
同じ形の波の右向き進行波と左向き進行波を重ねて定在波ができますから,
上のようにしておかないと定在波を表すことができません.
2次元,3次元の波動方程式なら(1)の右辺の x の2階偏微分がラプラシアンになります.

その他,余分な項がついて非線形の波を表すような波動方程式もあります.
sine-Gordon 方程式,Korteweg‐de Vries 方程式など.
こちらはソリトンなどの話で有名です.

ガウス関数とは exp{-ax^2} の形の関数のことです.
波の話で出てくるなら exp{-a(kx±ωt)^2} のタイプでしょう.
パルス波の典型的な例です.
波というと,サイン波のようなものが第一に頭に浮かぶと思いますが,
パルス波も立派な波で,(1)を満たします.

いくらか回答になっているでしょうか?

stomachman さんが言われるようにどういう研究かよくわからないのですが,
波の話なら波動方程式は基本ですので,適当な教科書から勉強されるようおすすめします.
大学の理工系学部の1年生程度の本なら,
永田一清:「基礎 波動・光・熱学」(サイエンス社)など.
この本は私が授業で使ったことがあります.
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質問が漠然としていて、誰も回答のしようがないようです。


何の波の、どんな事を、どうやって研究していますか?ガウス関数がどこで出てきましたか?波動方程式のどこがわかりませんか?数学はどの位分かりますか?
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3次元のベクトルを大文字、ベクトルの大きさを小文字で表すことにします。波動方程式□u=0の初期条件
 u(R,0)=0, ∂u/∂t|(t=0) = ψ(R)
を満たす解を求めます。
 □G(R,t)=0 …(1)
 G(R,0)=0, ∂G/∂t|(t=0) = δ(R) …(2)
を満たすグリーン関数を用いると、
 u(R,t)= ∫G(R-R',t)ψ(R')d^3R'
と書けることは明らかです。
 G(R,t) = ∫A(K,ω)exp[i(K・R - ωt)]d^3Kdω
とフーリエ変換すると、(1)より
 (k^2 - ω^2/c^2)A(K,ω)=0
よって
 A(K,ω)=B(K)δ(ω-ck)+C(K)δ(ω+ct)
とおけるのでωについての積分を行うと、
 G(R,t)
=∫{B(K)exp[i(K・R-ckt)]+C(K)exp[i(K・R+ckt)]}d^3K
初期条件(2)より
 G(R,t)
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=1/(2π)^3∫d^3Kexp[iK・R]sin(ckt)/ck
極座標で積分を行うと
 G(R,t)
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すなわち
 u(R,t)=(1/4πc)∫{δ(|R-R'|-ct)ψ(R')/|R-R'|}d^3R'
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を満たす解を求めます。
 □G(R,t)=0 …(1)
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を満たすグリーン関数を用いると、
 u(R,t)= ∫G(R-R',t)ψ(R')d^3R'
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(1/T)dT/dt=-iE/h⇒dT/T=-iEdt/h⇒logT=-iEt/h
⇒T(t)=e^-iEt/h≡e^-iωt (E=hω)
これは、ハミルトニアンが時間に依存しない限り
調和振動子だろうが、自由粒子だろうが、何でも
このtの部分の関数は変わりません。

もう一つの式、(1/X)HX(x)=Eを解きます。
解くと言っても、Hが具体的に指定されないと
解けませんが、ご質問のような波動関数が得られるのは、自由粒子:H=p^2/2mの場合なので、それを解きます。HX=EX⇒-(h^2/2m)d^2X/dx^2=EX
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からです。
今は一次元の場合で考えましたけど、3次元になっても
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なぜ、波動関数が波の式になるかというと、
シュレディンガー方程式という『波動方程式』
を満たす関数だからです。
以下も参考になるかと思います。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=2152885

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ih(1/T)dT/dt=(1/X)HX(x)=Eを、tについて解いてみてください。

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⇒T(t)=e^-iEt/h≡e^-iωt (E=hω)
これは、ハミルトニアンが時間に依存しない限り
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どなたかご教授してもらえないでしょうか。お願いします。

Aベストアンサー

x軸の運動量(の固有値)をPとすると、Pψ=-ih'∂/∂x ψ という関係を習ったと
思います。
自由粒子のψは、ψ=a exp(-ik x) です(その理由は、あとで説明します)
これを、上記の式に代入すると、
Pψ=-ih'∂/∂x ψ=h'kψ となりなす。
つまり、運動量=h'・波数 という関係が成り立ちます。
>もしkが大きくなると電子はどうなるのか
というと、kに比例して運動量が大きくなる ということです。
自由粒子のψを、このPを用いて書き直すと、
ψ=a exp(-iP x/h') とも書けます。

自由粒子のψが、ψ=a exp(-iP x/h') となる理由:
自由粒子は、運動量の固有状態です。つまり、Pは、ある1つの値に確定しています。
したがって、不確定性関係ΔPΔx≧hにより、Δxは、無限に広がっており、
どこかの位置xが、特別ということもありません。
で、ψ*ψが、存在確率を表すことを習ったと思います。
なので、運動量の固有状態の場合、ψ*ψは、無限に広がっており、その値は一定です。
この条件で、ψを求めると、ψ=a exp(-iP x/h') となります。

ψが、波でもあり粒子でもある理由:
上で示したように自由粒子のψは、まぎれもなく「波」です。
しかし、位置xの固有値Xは、xψ=Xψ で、求められ、この時、ψの固有関数は
デルタ関数δ(x-X)になります。
ψ*ψが、存在確率を表すので、デルタ関数の時は、一点Xだけに存在している 
といえます。それは、粒子を意味しますよね。

最後に、
質問の内容から推測すると、どうも、量子力学の数学的基礎が説明されていない古い教科書で、学ばれたように見受けられます。
量子力学の本質を理解するためには、清水明「新版 量子論の基礎」などの新しい教科書を
読まれることを、お勧めします。
尚、この本には「物理量が局所実在である理論」では説明できない「ベルの定理の破れ」が、丁寧に記述されています。

x軸の運動量(の固有値)をPとすると、Pψ=-ih'∂/∂x ψ という関係を習ったと
思います。
自由粒子のψは、ψ=a exp(-ik x) です(その理由は、あとで説明します)
これを、上記の式に代入すると、
Pψ=-ih'∂/∂x ψ=h'kψ となりなす。
つまり、運動量=h'・波数 という関係が成り立ちます。
>もしkが大きくなると電子はどうなるのか
というと、kに比例して運動量が大きくなる ということです。
自由粒子のψを、このPを用いて書き直すと、
ψ=a exp(-iP x/h') とも書けます。

自由粒子のψが、ψ=a e...続きを読む

Q一次元ポテンシャル障壁中のDirac方程式の波動関数

 明けまして、おめでとうございます。
本年もよろしくお願いします。

さて、早速ですが、下記につきまして教えてください。

Schrodinger方程式では、下記のようなポテンシャル障壁があると
V=0, x<0
V=V0, x>0

各領域において方程式は、
-hbar^2/2m d^2φ1/dx^2= E φ1

-hbar^2/2m d^2φ2/dx^2 + V0φ2 = E φ2

となり、境界条件は

φ1(x=0)= φ2(x=0)

x=0において、 dφ1/dx= dφ2/dx

となって、波動関数は、E<V0の領域で

φ1= c1 Exp(iax)+c1((ia-b)/(b+ia))Exp(-iax)

φ2= c1((2ia)/(b+ia))Exp(-bx)

となると、ほとんどの教科書には、記載されておりますが、Dirac方程式については、
一次元ポテンシャル障壁中の波動関数がどのようになるのか?見たことがありません。
たぶん、Schrodinger方程式と同じようになると思われますが、導出方法をご教示
願います。

 明けまして、おめでとうございます。
本年もよろしくお願いします。

さて、早速ですが、下記につきまして教えてください。

Schrodinger方程式では、下記のようなポテンシャル障壁があると
V=0, x<0
V=V0, x>0

各領域において方程式は、
-hbar^2/2m d^2φ1/dx^2= E φ1

-hbar^2/2m d^2φ2/dx^2 + V0φ2 = E φ2

となり、境界条件は

φ1(x=0)= φ2(x=0)

x=0において、 dφ1/dx= dφ2/dx

となって、波動関数は、E<V0の領域で

φ1= c1 Exp(iax)+c1((ia-b)/(b+ia))Exp(-iax)

φ2= c1(...続きを読む

Aベストアンサー

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