二つの関数f(x)=cxexp(-2x)(x>0),g(x)=cexp(-xの二乗+2x)(-∞<x<∞)について以下の設問について答えよ。
(1)確率密度関数になるように各cを求めよ。
(2)f(x)とg(x)の分布関数をそれぞれF(x)、G(x)とする時、これらを求めよ。不定積分の初期条件はF(0)=1、G(0)=1/2とする。
(3)f(x)、g(x)のグラフをそれぞれ書け。
(4)F(x)、G(x)のグラフをそれぞれ書け。
 詳しい説明お願いします。

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A 回答 (3件)

> g(x)の積分の仕方詳しくわかりますかね。


要するに,
(1)  ∫{-∞~∞} exp(-x^2+2x) dx
が欲しいということですね.
ガウス積分
(2)  ∫{-∞~∞} exp(-x^2) dx = √π
はご存知ですよね.
そうしたら
(3)  exp(-x^2+2x) = exp[-(x-1)^2 + 1] = e exp[-(x-1)^2]
として,x-1 = t とでも置換すればすぐにできますね.
積分区間が x について-∞~∞ ですから,
t についてもやはり-∞~∞ です.

それから,不定積分の初期条件云々がちょっと気になっています.
c を決めちゃったら,F(X) や G(x) の「不定積分の初期条件」なんて入る余地は
ないと思うんですが,私は何か誤解していますかね?
F(x) = ∫{0 ~ x} f(y) dy
G(x) = ∫{-∞ ~ x} g(y) dy
ですよね?
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この回答へのお礼

ありがとうございます。返信おそくなってすいません。これで解けそうです。

お礼日時:2002/01/06 22:25

各cということだから、それぞれのcを求めればよいのだと思います。


g(x)の方について#1で書き忘れましたが、こちらは-∞から∞で積分して1になるようにcを決めればよいでしょう。

この回答への補足

g(x)の積分の仕方詳しくわかりますかね。これが分かればきっと解けるはず・・・です。

補足日時:2001/12/25 02:02
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ヒントです。

(解くのがちょっと面倒なので)
(1)f(x)をxの範囲0から∞で積分してください。これが1になるようにすれば、確率密度関数です。
(2)分布関数は密度関数を不定積分して、初期条件を入れてください。
(3)、(4)は(1)と(2)が分かれば解けますね。

この回答への補足

(1)が各cと書いてあるんですが2式のcを比較しなくていいんですか?

補足日時:2001/12/24 10:33
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