航空官制用のレーダー整備に従事しているものです。
信号処理の機能の一つに雲の中に入った航空機を雲の信号のみ消して航空機の信号のみ取り出すというのがあります。その原理として雲からの信号はレイリー分布をしているので消すことが可能であるということが取扱説明書に書いてありました。
レイリー分布について可能な限り調べましたがわかりやすい記述がしてあるものが見つかりません。どなたかレイリー分布についておしえていただけないでしょうか?
よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

 レーダについてはわからないのですが、電波伝搬路におけるフェイジングにおいてレイリー分布のお世話になっています。


 受信信号の振幅がRとなる確率p(R)が、
  p(R)=(R/σ^2)exp[-R^2/2σ^2]
となるとき、この確率密度関数をレイリー分布と呼ぶのはもう既に調べられたと思います。σ^2は平均受信電力です。定義はこれだけなのですが、ちょっと視点を変えてみます。
 見通し外通信における伝搬路をシミュレーションでモデル化する場合、振幅変動と位相変動をランダムに与えた複数波の合成で受信信号を作成しますが、この受信信号の振幅がちゃんとレイリー分布に従います。これは見通し外通信における伝搬路を、レベルがほぼ等しい多くの散乱波の合成によってモデル化したものと考えられます。
 一方、レーダでは雲の中の雨滴に当たって散乱した電波を受信するのだと思いますが、雨滴はレーダの波長より十分小さいので、その散乱波は「レベルがほぼ等しい多くの散乱波」になっていると思います。ですから、これを受信するとレイリー分布になっているということだと思います。
 レイリー分布とは何かという質問からは少しはずれた回答ですがご参考になれば。
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この回答へのお礼

大変分かりやすい解説をしていただき誠にありがとうございます。レイリー分布についてだいぶわかりかけてきました。特に、

雨滴はレーダの波長より十分小さいので、その散乱波は「レベルがほぼ等しい多くの散乱波」になっていると思います。ですから、これを受信するとレイリー分布になっているということだと思います。

というところは特に分かりやすかったです。
これからもいろいろと知識を吸収して学問の楽しさを追求していきたいと思います。
本当にありがとうございました。

お礼日時:2000/12/16 22:14

手抜きですが:


「雲の中に入った航空機を雲の信号のみ消して航空機の信号のみ取り出す」という技術において、「レイリー分布」が何であるか、は取りあえず本質的ではありません。
雲に反射した信号はある予想される性質を持つ。その性質から外れるような信号が飛行機だ、ということです。
時間tに関して、反射波の複素波形をf(t)とするとき、そりゃ雲によって強い信号だったり弱かったり、f(t)の山が広かったり狭かったりするでしょうが、少数個のパラメータを含む数式でf(t)を近似できるものとします。(その数式がモデルですね。)
観測した波形f(t)にモデルを当て嵌めて、数式のパラメータを調節します。それでもモデルとf(t)との間に違いが残る。その残ったところが飛行機だろう。そして、この場合はモデルが「レイリー分布」と何か関係ある、ということでしょう。
 いーかげんですいません。
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この回答へのお礼

とても分かりやすい解説ありがとうございます。レイリー分布についてだいぶ理解が深まりました。特に

観測した波形f(t)にモデルを当て嵌めて、数式のパラメータを調節します。それでもモデルとf(t)との間に違いが残る。その残ったところが飛行機だろう。そして、この場合はモデルが「レイリー分布」と何か関係ある、

のところは理解する上でとても参考になりました。

これからも精進して、レーダー技術を究めたいと思います。本当にありがとうございました。

お礼日時:2000/12/16 22:25

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Q√1+√2+√3+…+√nの漸近展開

http://en.wikipedia.org/wiki/Euler-Mascheroni_constant
によると
1+1/2+1/3+…+1/n
=γ+log(n)+(1/2n)-Σ[k=2,∞](k-1)!C(k)/n(n+1)…(n+k-1)
という漸近展開があるそうです。漸近展開とは、簡単に言うと、nが十分に大きい場合の近似式です。

http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation
によると
n!
=√(2πn)*(n/e)^n*e^λ(n)
という漸近展開があるそうです。

ところで、
√1+√2+√3+…+√n
などの漸近展開をご存知の方がいらっしゃれば教えてください。

y=√xのグラフとy=√(x+1)のグラフではさまれた面積と考えることで、
√1+√2+√3+…+√n
=(2/3)n√n+…
となることはわかるのですが、
√1+√2+√3+…+√n
=(2/3)n√n+α√n+…
とさらに精密にしたいとき、αがどういった定数になるのかわかりません。

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1+1/2+1/3+…+1/n
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という漸近展開があるそうです。漸近展開とは、簡単に言うと、nが十分に大きい場合の近似式です。

http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation
によると
n!
=√(2πn)*(n/e)^n*e^λ(n)
という漸近展開があるそうです。

ところで、
√1+√2+√3+…+√n
などの漸近展開をご存知の方がいらっしゃれば教えてください。

y=√xのグラフとy=√(x+1)のグラ...続きを読む

Aベストアンサー

ちなみに今の場合は定積分からも「α=1/2」が想像できます.
まず
∫[0→1] √x dx = 2/3
の左辺を矩形公式で和に変換すると
(1/n)Σ(k=1→n) √(k/n) = 2/3
となり, 両辺に n^(3/2) を掛けると
√1+√2+√3+…+√n = (2/3)n^(3/2)
になります. ただし矩形公式では区間の幅に比例する誤差があるので, 実際には
(1/n)Σ(k=1→n) √(k/n) = 2/3 + O(1/n)
です (O(1/n) は「1/n に比例する項」というくらいの意味).
ここで, 左辺の積分を今度は台形公式で和に変換すると精度が上がって
(1/n)Σ(k=1→n) (1/2)(√[(k-1)/n]+√(k/n)) = (2/3) + O(1/n^2)
になります. ここで同じように両辺に n^(3/2) を掛けて左辺を整理すると
√1 + √2 + … + √(n-1) + (1/2)√n = (2/3)n^(3/2) + O(n^(-1/2))
となり, 両辺に (1/2)√n を加えることで
√1+√2+√3+…+√n = (2/3)n^(3/2) + (1/2)n^(1/2)
まで持っていけます.
ああ, たぶん a が正なら自然数かどうかに関係なく
Σk^a = [1/(a+1)]n^(a+1) + (1/2)n^a + …
となると思いますよ.

ちなみに今の場合は定積分からも「α=1/2」が想像できます.
まず
∫[0→1] √x dx = 2/3
の左辺を矩形公式で和に変換すると
(1/n)Σ(k=1→n) √(k/n) = 2/3
となり, 両辺に n^(3/2) を掛けると
√1+√2+√3+…+√n = (2/3)n^(3/2)
になります. ただし矩形公式では区間の幅に比例する誤差があるので, 実際には
(1/n)Σ(k=1→n) √(k/n) = 2/3 + O(1/n)
です (O(1/n) は「1/n に比例する項」というくらいの意味).
ここで, 左辺の積分を今度は台形公式で和に変換すると精度が上がって
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f(z)~(a_0)+(a_1)/z+(a_2)/z^2+…+(a_n)/z^n …(1)
関数f(z)の漸近展開が(1)のとき、係数(a_0),(a_1),(a_2),…は次のようにして求められる。
『lim[|z|→∞]f(z)=a_0
lim[|z|→∞]z{f(z)-a_0}=a_1
lim[|z|→∞]z^2{f(z)-(a_0)-(a_1)/z}=a_2
 ………………………………………………
          (ただし z∈D )    』…(2)
このようにf(z)が漸近展開を持てば、それは一意的に定められるが、逆は成り立たない。すなわち相異なる二つの関数が同一の漸近展開を持つことがある。
たとえば|argz|<Π/2ならばRe(z)>0であって、そこでlim[|z|→∞]e^z=∞ である。これに注意して(2)を用いると、|z|>0, |argz|<Π/2 において、
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(3)式の右辺第二項の係数(1/1!)や第三項の係数(1/2!)が(2)式の第2、第3式からどのような過程で求められるのか、わかりやすく教えて下さい。
分かり辛い書き方ですみませんが、宜しくお願いします。

独学中のものです。
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『lim[|z|→∞]f(z)=a_0
lim[|z|→∞]z{f(z)-a_0}=a_1
lim[|z|→∞]z^2{f(z)-(a_0)-(a_1)/z}=a_2
 ………………………………………………
          (ただし z∈D )    』…(2)
このようにf(z)が漸近展開を持てば、それは一意的に定められるが、逆は成り立たない。すなわち相異なる二つの関数が同一の漸近展開を持つことがある。
たとえば|argz|...続きを読む

Aベストアンサー

|z| → ∞ ってことは, x = 1/z とおくと x → 0 ですね. そこから, 「e^x は何回微分しても e^x である」とか「L'Hospital の定理」とかを使えば
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使えなくなるところの単なる目安に過ぎません.
したがって,α=0.4 は何散乱かということ自体も意味を持ちません.

sin x を x で近似していいのはどこまでか,という範囲が厳密に定まらないのと
同じようなことです.

似たような事情は近似を用いた結果のあちこちで見られます.
例えば,
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=73429
の私の回答の最後のところをご覧下さい.

Q分布ってどう使い分ければ??

特定の時間内に駅の券売機に訪れる人数の確率分布として正しいのは
一様分布 正規分布 ポアソン分布 カイ2乗分布 t分布 標準正規分布
一様分布なわけがないことはわかりますが、ほかはまったくわかりません
何を基準に選んだらよいのでしょうか?
そもそも正規分布と標準正規分布は何が違うのでしょう?

Aベストアンサー

ポアソン分布がそれっぽいですね。
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ただ、#1様の回答にもあるように、理屈通りに行かないことがあるのが統計学ですから、目的によって(分布形を想定して何らかの検定を行うとか)によっては近似的に他の分布に従うと考えた方が良い場合もあるかと思います。

Qレイリー数とは?

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#1の方、レイリー散乱と勘違いなされているのでは?
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