以下の問題が解りません。

O(0,0)、A(1,0)、B(0,1)において、線分OA、OB上に
それぞれ動点P,Qを取り、△PQRが一辺1の正三角形になるように動点
Rを第一象限にとる。角OPQをθとする。

(1)PがOからAまで動くとき、Rの座標をθを用いて表せ。
    
     答え(1/2cosθ+√3/2sinθ、√3/2cosθ+1/2sinθ)

(2)Rの描く曲線をCとする。Cが楕円の一部であることを示せ。


この問題の(2)が解りません。どなたか教えてください。ちなみに
ヒントのところに「Cが楕円なら、それは当然y=xについて対称に
なる。だから、±π/4回転すれば標準形になる」と書いてありました。
よろしくお願いします。

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A 回答 (5件)

間違いを発見したので補足を・・・。


45度回転する際の計算で括弧が抜けてました。
正しくは、
{sin(π/4) + i cos(π/4)} * [ { 1/2 cosθ + √(3/2) sinθ } + { √(3/2) cosθ + 1/2 sinθ } i ]
= {√2 / 2 + (√2 / 2) i } * [ { 1/2 cosθ + √(3/2) sinθ } + { √(3/2) cosθ + 1/2 sinθ } i ]
= ・・・計算してください・・・
= 1/4 (√6 - √2)(sinθ - cosθ) + 1/4 (√6 + √2)(sinθ + cosθ) i
です。
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この回答へのお礼

丁寧に回答していただきありがとうございました。
これでようやく解けました。また何かあったらよろしくお願いします。

お礼日時:2001/12/26 14:08

おおっやっと一通り出してくれる人が出たか。

検算するから明日の夜まで閉じないでね。

ところで、もしヒントなしで解答しろと言われたらどうする?

<解>
Rx=1/2cosθ+√3/2sinθ=f(θ)、Ry=√3/2cosθ+1/2sinθ=g(θ)
より、f(π/2-θ)=g(θ)…(1)が成立する。
題意より、0≦θ≦π/2 の範囲でθが動くので、
グラフはy=xについて対称である。 (割りと簡単だった。)

さて、やるか。
点(x,y)を原点を中心にしてπ/4平行移動させた点を(X,Y)とする。
X+Yi={cos(π/4) + isin(π/4)}(x+yi)
=(1+i)(x+yi)/√2
=(x-y)/√2+(x+y)i/√2

よって、複素数の相等条件(2つの複素数が相等しい条件)より、
X=(x-y)/√2 , Y=(x+y)/√2 である。

ああっもう駄目。お肌が荒れはじめてる。明日続きをやる。でもなんかもう合ってそうだけどね。
   
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この回答へのお礼

y=xで対称になるのは感覚では解っていたのですが
実際式で表せなかったのでとても助かりました。ありがとうございました。

お礼日時:2001/12/26 14:11

まだ間に合うのでしょうか?間に合ってるといいのですが・・。



さて、(1)の答えは分かっているようなので省きます。答えが複素数で、
{ 1/2 cosθ + √(3/2) sinθ } + { √(3/2) cosθ + 1/2 sinθ } i
と出てきますよね。

次に、(2)ですが、だいたいの図を書いてみると、確かにヒントにあるようにCが楕円になるのならそれは y=x に関して対称になることが予測できます。したがって、上で求めたRの座標からそのままRの軌跡を求めると、おそらく学習していない斜めになった楕円を表す式が出てきてしまうでしょう。そこで、ヒントの通り、π/4 (45度)回転させましょう。イメージとしては、問題の点A、Bをそれぞれ A(1/√2, 1/√2)、B(-1/√2, 1/√2) として同じ問題を考えるような感じです。この図を一度書いてみると、雰囲気がつかみやすいかもしれません。これでどうやら標準形の楕円の式、つまり x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1 という式が導けそうです。(もっともここでは楕円の中心が原点である保証はないですが、それはおいおい計算していくと分かってくるはずです)
では、実際に計算してみましょう。

まず、45度の回転です。(1)で求めたRを原点を中心に45度回転させましょう。Rを45度回転させた展をR'とすると、R'を表わす複素数は、

{sin(π/4) + i cos(π/4)} * { 1/2 cosθ + √(3/2) sinθ } + { √(3/2) cosθ + 1/2 sinθ } i
= {√2 / 2 + (√2 / 2) i } * { 1/2 cosθ + √(3/2) sinθ } + { √(3/2) cosθ + 1/2 sinθ } i
= ・・・計算してください・・・
= 1/4 (√6 - √2)(sinθ - cosθ) + 1/4 (√6 + √2)(sinθ + cosθ) i
となるはずです。
したがって、この点R'をR'(x, y)とおくと、
x = 1/4 (√6 - √2)(sinθ - cosθ)
y = 1/4 (√6 + √2)(sinθ + cosθ)
となります。ここから、媒介変数であるθを消しにかかります。

x^2 = {1/4 (√6 - √2)}^2 (sinθ - cosθ)^2 より
[ x^2 / {1/4 (√6 - √2)}^2 ] * 1/2 = x^2 / {1/8 (√6 - √2)^2} = (sinθ - cosθ)^2 / 2 となり、
y^2 = {1/4 (√6 + √2)}^2 (sinθ + cosθ)^2 より
[ y^2 / {1/4 (√6 + √2)}^2 ] * 1/2 = y^2 / {1/8 (√6 + √2)^2} = (sinθ + cosθ)^2 / 2 となります。
したがって、
x^2 / {1/8 (√6 - √2)^2} + y^2 / {1/8 (√6 + √2)^2}
= (sinθ - cosθ)^2 / 2 + (sinθ + cosθ)^2 / 2
= ・・・計算してください・・・
= 1
となるので、めでたくR'の軌跡は楕円(の一部)を表すことが分かりました。
45度回転させた軌跡が楕円を描くので、当然もとの軌跡も楕円を描くはずです。

もしかしたら計算ミスなどあるかもしれません。あと、分数の複雑な式を一行にまとめるのに慣れていないので、[ ] まで持ち出してしまい、見にくいとこなどありますが、なんとか読み取って下さいね。
また分からないところがありましたら、聞いてください。
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なかった。

ところで(2)がわからないみたいだけど、三角関数の合成というのはご存知?
教科書ではsinの場合だけど当然cosの場合もあるやつ。あの公式は美しくないので私は覚えていないのだけど、加法定理の逆ををやっているだけなので簡単に理解できると思う。
あの公式は、部分積分法の公式と同様に覚えてはいけません。部分積分法の公式は積の微分公式の逆をやっているだけだからね。

ヒント
R(1/2cosθ+√3/2sinθ、√3/2cosθ+1/2sinθ)
でRxをcosで表し、Ryをsinで表す。位相(sinやcosの中身)は同じにすることに注意すること。



さて、出来たら回答を「お礼」に書くこと。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

質問内容に書けば良かったのですがそれはやってみました。
僕が最初に回答したとき、Rを変形して、R(cos(θ-60),sin(θ+60))
という形にしてcos^2θ+sin^2θ=1に代入するのかなと、思ったのですが
位相が同じにならずにどうしていいか解らなかったので、このやり方では
できないのかなと、思ったんです。この先どうしたらいいか解らないので、
もう少しヒントもらえませんか?よろしくお願いします。

お礼日時:2001/12/25 21:20

標準形とは。

karuuさんがが今まで習ってきた図形の形をいう。
円ならx^2+y^2=1…(1)、双曲線ならx^2-y^2=1…(2)で表される図形です。
では標準形ではないものはどういうものかというと、
x^2-xy+y^2=4…(3)のようにxyとかが中に入っている式が表す図形だ。

標準形に直すということは、(3)式の図形を今までにお勉強した、(1)、(2)式のような式に直すことなんだよ。この場合、図形は回転移動する。
さて、ずいぶん前にどっかで似たような質問があったような気がしたので探してくるまで待っててね!
ちなみに、「大学への数学 数学ショートプログラム」という本に図形の変換のテクニックが載っているので参照してね。
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Q不等式 cosθ +√(3)sinθ = √(2) (0≦θ≦2π)の

不等式 cosθ +√(3)sinθ = √(2) (0≦θ≦2π)の分りやすく教えてください。

できれば、弧度法(π)を用いずに具体的な角度を使って計算をし、最後に弧度法に直す方法でお願いしたいです。

Aベストアンサー

単振動の合成則を用います。
θを描くのが面倒なのでpで表します。

asinp+bcosp=√(a^2+b^2)sin(p+q)
cosq=a/√(a^2+b^2), sinq=b/√(a^2+b^2)

問題はa=√3, b=1
√(a^2+b^2)=2
cosq=a/√(a^2+b^2)=√3/2
sinq=b/√(a^2+b^2)=1/2
q=30°

cosp +√3sinp = 2sin(p+30°)=√2 

sin(p+30°)=√2/2

p+30°=45°またはp+30°=135°

p=15°または105°

Q不等式 cosθ +√(3)sinθ ≧ √(2) (0≦θ≦2π)の

不等式 cosθ +√(3)sinθ ≧ √(2) (0≦θ≦2π)の解き方について質問します。

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sin(θ +π/6) ≧ 1/√(2)

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Aベストアンサー

>sin(θ +π/6) ≧ 1/√(2)

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探して勉強しなおしてみてください。

単位円から
π/4≦θ+π/6≦π-π/4
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Q1/√2(sinθ-cosθ)=sin(θ-π/4)と教科書に載ってい

1/√2(sinθ-cosθ)=sin(θ-π/4)と教科書に載っているのですがどういった導き方ですか?分かりやすく教えていただけたら幸いです。

Aベストアンサー

三角関数の合成というものを習っていれば解くことができます
三角関数の合成とは
a×sin x+b×cos x=√(a^2+b^2)sin(x+α)
ただし、
cos α=a/√(a^2+b^2)
sin α=b/√(a^2+b^2)
というものです

ここでa=1,b=-1なので、
(sin θ-cos θ)=√2sin(θ+α)

次にαを求めます
合成関数の式より
sinα=1/√2
cosα=-(1/√2)
上の二つを満たすαはπ/4

よって、(sinθ-cosθ)=√2sin(θ-π/4)

元の式に代入すれば√2は約分できるので
1/√2(sinθ-cosθ)=sin(θ-π/4)

つまり、この三角関数の合成というものに数字を当てはめてやれば解くことができます

Q【問題】焦点F(1,0)、F’(-1,0)である楕円が点(1,√2/2

【問題】焦点F(1,0)、F’(-1,0)である楕円が点(1,√2/2)を通る。この楕円の点をP(a,b)とするとき、|PF-PF’|をaの1次式で表せ。

どなたかよろしくお願いします。
離心率を使おうと試みたのですが…できません…。

Aベストアンサー

 楕円の方程式を x^2/p^2+y^2/q^2=1 とします。
 焦点の座標が(±1,0)なので、
  p^2-q^2=1 ∴p^2=1+q^2
を得ます。
 次に、点(1,1/√2)を通ることから、
  q^2=1  ∴p^2=2
を得て、楕円の方程式が次のように決まります。

   x^2/2+y^2=1

 次に、点P(a,b)がこの楕円を通ることから、次式を得ます。
  b^2=1-a^2/2   ・・・・(1)

 ここで、線分PF、PF’の長さを求めますと、次のようになります。
  PF =√{(a-1)^2+b^2}=√{a^2/2-2a+2}=|a-2|/√2
  PF’=√{(a+1)^2+b^2}=√{a^2/2+2a+2}=|a+2|/√2

 この線分の長さの差を求めますと、次のようになります。

 |PF-PF'|
=| |a-2|/√2 - |a+2|/√2 |
=| |a-2|-|a+2| |/√2

 ここで、aは楕円上の点のx座標なので、-√2≦a≦√2 の範囲にあります。
 従って、上の式は、次のように計算されます。

 |PF-PF'|
=| -(a-2)-(a+2) |/√2
=√2|a|


> |PF-PF’|をaの1次式で表せ。

 この計算結果も1次式と言えるのか、分かりませんが。

 楕円の方程式を x^2/p^2+y^2/q^2=1 とします。
 焦点の座標が(±1,0)なので、
  p^2-q^2=1 ∴p^2=1+q^2
を得ます。
 次に、点(1,1/√2)を通ることから、
  q^2=1  ∴p^2=2
を得て、楕円の方程式が次のように決まります。

   x^2/2+y^2=1

 次に、点P(a,b)がこの楕円を通ることから、次式を得ます。
  b^2=1-a^2/2   ・・・・(1)

 ここで、線分PF、PF’の長さを求めますと、次のようになります。
  PF =√{(a-1)^2+b^2}=√{a^2/2-2a+2}...続きを読む

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・点Aから円弧に沿って時計回りに点Bへ向かう途中
・点Aから円弧に沿って反時計回りに点Bへ向かう途中

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プログラムの都合上、θ1やθ2は-π<θ1≦πや-π<θ2≦πを満たしているとは限りません。
(-2π<θ1≦2πや-2π<θ2≦2πくらいに収まっているとは思いますが…)

なるべくスマートな判別方法をお教えください。
A,B,Cが一致することはないものとして結構です。

Aベストアンサー

(θ1-θ2)*(θ2-θ3)*(θ3-θ1) の符号を調べればいいのではないですか?

もし正であれば
 θ1<θ2<θ3 または θ2<θ3<θ1 または θ3<θ1<θ2
つまり、点Aから円弧に沿って時計回りに点Bへ向かう途中にCがあることを示し、
逆に負であれば
 θ1<θ3<θ2 または θ2<θ1<θ3 または θ3<θ2<θ1
つまり、点Aから円弧に沿って反時計回りに点Bへ向かう途中にCがあることを示すと思います。


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