模範解答と計算が合わないのです・・・。
比較してみて下さい。

3次元ポテンシャルと極座標表示の分野で、
シュレーディンガー方程式に使う為の変換です。

△(x、y、z)=(∂^2/∂x^2)+(∂^2/∂y^2)+(∂^2/∂z^2)
という式を
x=rsinθcosψ、y=rsinθsinψ、z=rcosθ
の変数変換をする。
∂/∂x=(∂r/∂x)(∂/∂r)+(∂θ/∂x)(∂/∂θ)+(∂ψ/∂x)(∂/∂ψ)
∂/∂y=(∂r/∂y)(∂/∂r)+(∂θ/∂y)(∂/∂θ)+(∂ψ/∂y)(∂/∂ψ)
∂/∂z=(∂r/∂z)(∂/∂r)+(∂θ/∂z)(∂/∂θ)+(∂ψ/∂z)(∂/∂ψ)
と表され、
r=√(x^2+y^2+z^2)、tanθ={√(x^2+y^2)}/z、tanψ=y/x
の関係から各係数を計算して
(∂r/∂x)=x/r=sinθcosψ、(∂r/∂y)=y/r=sinθsinψ、(∂r/∂z)=z/r=cosθ
(∂θ/∂x)=cosθcosψ/r、(∂θ/∂y)=cosθsinψ/r、(∂θ/∂z)=-sinθ/r
(∂ψ/∂x)=-sinψ/rsinθ、(∂ψ/∂y)=cosψ/rsinθ、(∂ψ/∂z)=0
となるので、これをずーっと計算すると
△(r、θ、ψ)=(∂^2/∂x^2)+(∂^2/∂y^2)+(∂^2/∂z^2)
      =(1/r^2)(∂/∂r)(r^2・∂/∂r)
      +(1/r^2sinθ)(∂/∂θ)(sinθ∂/∂θ)
      +(1/r^2sin^2θ)(∂^2/∂ψ^2)       ―――(1)

となるそうなのですが、
私がちまちま計算しましたところ、

△(r、θ、ψ)=(∂^2/∂r^2)+(1/r^2)(∂^2/∂θ^2)+(1/r^2sin^2θ)(∂^2/∂ψ^2)

という形になりました。
同じようで、微妙に違うのですが
これはどういうことなのでしょうか?
そのまま(1)式に拡張して良いのか、
計算が途中で間違えたのか、如何でしょう。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (4件)

 


  それはラプラシアンの極座標表示ですが、以下のURLに、式の導出計算の過程を一応一通り書いてありますが、結論は、提示されている公式の通りです。わたしは、そんな計算をすることは長らくしていないし、時間がかかるのも明らかなので、以下の参考ページを見て、どこで計算を間違えたのか、自分の計算ノートと比較して考えてみてください。
  
  こういう膨大な計算の場合、よく間違いを犯します。(そんなに膨大でないのかも知れません。微分方程式の解で、もっと長々した計算が必要なものが一杯あったはずです(教科書では、この式を展開するとこうなる、と書いてあって、実際に検算してみると、2時間とか3時間とか、かかるとか)。
 

参考URL:http://chiron.mtk.nao.ac.jp/~daisuke/ja/Research …
    • good
    • 1

昨日の回答で、用語のウソに気がつきました。

合成関数の微分ではなく、関数の積の微分です。ようするに、

∂/∂θ{f(θ)∂/∂θ}=∂f(θ)/∂θ・∂/∂θ+f(θ)∂^2/∂θ^2

ということです。ごめんなさい。
    • good
    • 0

二階微分にするときにたとえば、



{(cosθcosψ/r)∂/∂θ}{(cosθcosψ/r)∂/∂θ}

という演算が出てきますが、そのとき、後ろの中カッコの微分が合成関数の微分になっていることを忘れるとpowerlessさんの答えになります。

#私もやったことがあります。

膨大な計算です。がんばってください。
    • good
    • 0

 


  追加です。
  参考URLの式を見ていると、最初の九個の式を計算する時、記号を書き間違えていますね。参考URLでは、(18)式は、
 
  (∂ψ/∂y)=cosθ/rsinθ になっていますが、正しくは貴方が書かれている、
  (∂ψ/∂y)=cosψ/rsinθ です。
 
  実際、(18)式を代入する時に、正しい式を代入しています。しかし、計算途上、このように変数文字を一つ書き間違えるだけで、後の計算は失敗するでしょう。
 
    • good
    • 1

このQ&Aに関連する人気のQ&A

計算 記号」に関するQ&A: ルート(√)の計算

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q画像処理 (3次元のモデルと画像のマッチングのアルゴリズムについて)

画像処理を勉強しているものなのですが、
現在2次元画像同士のマッチング(テンプレートマッチング)などはプログラムが組めるのですが
計算機内に作った3次元のモデルと画像のマッチング、つまり3次元物体の姿勢推定のアルゴリズムがよくわかりません。簡単でいいので教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

アドホックですがX、Y,Zそれぞれで3次元モデルの画像(無限遠から見た画像)を作成して2分探索的にマッチングをかけていけばいつかは終わるのではないでしょうか?
対象物の色やテクスチャなどの特徴があればある程度探索空間を減らせるとは思いますが汎用的でなくなる可能性があります。

Q物理です x^2+y^2<=1 x>=0 y>=0で与えられる重心を 求める問題で重心のx座標を

物理です
x^2+y^2<=1 x>=0 y>=0で与えられる重心を
求める問題で重心のx座標を
1/S∮(0→1)x√1-x^2となっているのですが
なぜこうなるのかがよく分かりません
解説お願いします

Aベストアンサー

重心は、任意の点の周りのモーメントを考えたときに、「微小部分の重量のモーメントの総和=全重量が重心位置にある場合のモーメント」となる点です。

 与えられたのは、半径 1 の 1/4 円の扇型です。その「微小部分」を、x座標を x ~ x+dx の「縦割り」部分にすると、面積は「高さ」が √(1 - x) 、幅が dx ですから
 ΔS = √(1 - x)*dx
です。
 この部分原点回りのモーメントの「腕の長さ」は x ですから、物理的な「力」を考えるために密度を ρ として、モーメントは
  ρ*xΔS = ρ*x√(1 - x)*dx
です。従って、「微小部分の重量のモーメントの総和」は
  ∫[0~1] ρ*x√(1 - x) dx    (1)
です。

 これに対して、「全重量が重心位置にある場合のモーメント」は、重心の x 座標を x0 とすると
  ρ*S*x0     (2)

(1)と(2)が等しくなるので
  ρ*S*x0 = ∫[0~1] ρ*x√(1 - x) dx

 従って
  x0 = (1/S)∫[0~1] x√(1 - x) dx

 S は 1/4 円なので
   S=(1/4)パイr^2 = パイ/4
ですね。

重心は、任意の点の周りのモーメントを考えたときに、「微小部分の重量のモーメントの総和=全重量が重心位置にある場合のモーメント」となる点です。

 与えられたのは、半径 1 の 1/4 円の扇型です。その「微小部分」を、x座標を x ~ x+dx の「縦割り」部分にすると、面積は「高さ」が √(1 - x) 、幅が dx ですから
 ΔS = √(1 - x)*dx
です。
 この部分原点回りのモーメントの「腕の長さ」は x ですから、物理的な「力」を考えるために密度を ρ として、モーメントは
  ρ*xΔS = ρ*x√(1 - x)*dx
です。従っ...続きを読む

Qある物体を描いた画像から3次元におけるその物体の座標を求めたいのですが

画像処理・画像分析のことで質問があります。
複数あるいは1枚の画像から、その画像の中に描かれている物体を現実世界の空間に置いて立体として考えた時のその物体の座標を求めたいのですが・・・。そういったことを研究している分野はあるでしょうか。
文章が下手なので具体例で説明します。
例えば、ある車を斜めから撮った画像があるとします。そうしたら画像は2次元ですよね。そこで、その車を3次元で考えて、例えば4本のタイヤのそれぞれの中心座標は(4,4,1),(0,0,1)・・・などということを求めたいのです。
こうしたことを研究している分野はあるでしょうか。またそういったことを書いた書籍等があったら教えていただけるとうれしいです。

Aベストアンサー

前者回答にもありますように1枚の画像から3次元空間を作りだすのは不可能ですが、違う角度から物体を2枚以上撮れば1台のカメラでも3次元座標を求めることができます。

ただし1台で撮影する場合は静止物体に限ります。物体が動いている場合は2台以上のカメラが必要になります。

一番簡単な方法としては視差という方法を用いて計算することができます。
例えば2台のカメラを水平にdの距離だけ離して置き撮影します。 ある物体がカメラAでは角度αの位置にありカメラBでは角度βにあったとき、カメラと物体を結ぶ2直線の交点をCとします。水平軸と交点Cの垂直線の長さとカメラの距離dから、ある物体の距離(3次元成分)を算出することが可能です。

ヒトの眼が2つあるのは、こうした物体との距離を測るためです。
こういった研究は視差という手法以外にもかなり盛んに行われています。以下に例として一つ論文を取り上げておきます。

参考になれば幸いです。

https://www.jstage.jst.go.jp/article/kikaib1979/55/510/55_510_404/_pdf

前者回答にもありますように1枚の画像から3次元空間を作りだすのは不可能ですが、違う角度から物体を2枚以上撮れば1台のカメラでも3次元座標を求めることができます。

ただし1台で撮影する場合は静止物体に限ります。物体が動いている場合は2台以上のカメラが必要になります。

一番簡単な方法としては視差という方法を用いて計算することができます。
例えば2台のカメラを水平にdの距離だけ離して置き撮影します。 ある物体がカメラAでは角度αの位置にありカメラBでは角度βにあったとき、カメラと物体を...続きを読む

Qラグランジェの未定係数を使ってX^2+Y^2+Z^2=1 XYZの最大

ラグランジェの未定係数を使ってX^2+Y^2+Z^2=1 XYZの最大値は?ただし0<X<1 0<Y<1 0<Z<1である  さっぱり分からなくて四苦八苦しています。皆様の知恵をお貸し頂けないでしょうか?

Aベストアンサー

下記に参考URLを添付します。

問題では、
f(x)=xyz
g(x)=x^2+y^2+z^2
として解けばよいのではないでしょうか?

参考URL:http://moondial0.net/archives//www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/lagrangeUndetermin/index.html

QVB6で3次元のフレームワークの画像

VB6で3次元のフレームワークの画像を作成したいのですが、何か良い見本はありますか?

たとえば、立法体や三角錐や球体などを見る角度によって表示させたいです。

将来的には、スターウォーズで出てくる、銀河帝国軍の主力戦闘機TIEファイターの動画をフレームワークで表示させたいです。

http://www.starwars.jp/databank/machine/empire2.html

Aベストアンサー

それって自分で計算して表示したいって事?
それとも既存のライブラリ(OpenGL,DirectX)の使用?

Q(∂U/∂V)_t=T(∂P/∂T)_v-P

大学の講義で (∂U/∂V)_t=T(∂P/∂T)_v-P
をマクスウェルを使わずに証明していたのですが
写真の?の部分の意味がわからないです…
教えてくださいm(__)m

Aベストアンサー

意味としてはマックスウェルの関係式と同じものですね。

df = fx dx + fy dy

が完全微分である条件は

∂fx/∂y = ∂fy/∂x

という数学の定理。

より一般に,3変数なら

df = fx dx + fy dy + fz dz

fx, fy, fzをベクトルFの成分としたとき,dfが完全微分である条件は

rot F = 0

このとき,ベクトルFを導くスカラーポテンシャルφが存在し

F = grad φ

となるので,

fx = ∂φ/∂x,fy = ∂φ/∂y

したがって,冒頭の

∂fx/∂y = ∂fy/∂x

という条件は

∂(∂φ/∂x)/∂y = ∂(∂φ/∂y)/∂x

Q4次元 = 3次元+時間 はウソですか?

理系の友人と話をしていた所、
「4次元 = 3次元+時間というのはウソだよ。」
と言われました。

「日本人はSFやマンガのドラえもんなどで4次元は時間だと誤解してる。
四次元空間を限りなく薄くして行った極限が三次元だ。
人間の目には三次元の姿しか写らないので、すぐ近くに四次元空間があったとしても、人間の感覚では捕らえることができない。」
というような説明を受けました。


4次元 = 3次元+時間というのはウソですか?
4番目の次元が時間でないとしたら、何なんでしょうか?
4番目の次元は人間の感覚では捕らえることはできないのでしょうか?

Aベストアンサー

>四次元空間を限りなく薄くして行った極限が三次元だ。

3次元の中で、
2次元を描くと、「鉛筆の高さ」があります。
1次元の線を引くと、炭素と鉛の元素の幅と高さがあります。

3次元の中には他次元は介入出来ません。
介入可能なのが、SFマンガや異次元ポケットです。

そこに異次元があるならば、人間の目で捉える事が出来なくても、光の干渉縞で空間の運動を捉える事が出来ます。

http://www.px.tsukuba.ac.jp/home/ecm/onoda/butsurib1/node78.html

Q物理学ですこの問題の考え方が分かりません 答えはR=√(R0^2+X0^2)です お願いします

物理学ですこの問題の考え方が分かりません
答えはR=√(R0^2+X0^2)です
お願いします

Aベストアンサー

電力Pは

P=|I|^2・R=(E^2)R/{(R0+R)^2+X0^2}

PをRで微分すると

dP/dR=E^2(R0^2+X0^2-R^2)/{(R0+R)^2+X0^2}^2

従って、Pの最大値は dP/dRの分子が0になるところなので

R0^2+X0^2-R^2=0 → R=√(R0^2+X0^2)

QAutoCAD2000のデータをPhotoshopで3次元CGにするには?

使用CADはタイトルの通り、AutoCAD2000です。今度仕事で2000で書いた図面をPhotoshopに取り込んで三次元CGにしてほしい、と言われたのですが、いまいちわかりません。
というのが、Photoshopというソフト自体、二次元のソフトだと思っていたのですが、違いますか?
私がその話を聞いて思ったのは、AutoCAD2000で三次元の絵をある程度作っておいて、その画面をコピーしてPhotoshopに読み込んで使うのかな?ということでした。ネットでいろいろ検索してみたのですが、どうもみなさんは元から三次元のCGソフトを使って作成していらっしゃるみたいで、私が使えるソフトは上記の二種類と限定されてしまっています。
どなたかお教えください。

Aベストアンサー

参考URL(mura's room)→AutoCAD掲示板→mura's home AutoCAD掲示板→Photoshopで検索→3Dデータを画像ファイルとして取り込むには?

参考になりますでしょうか。

参考URL:http://www.mura.sh/

Qdivで『Ex(x+Δ、y+Δ、z+Δ)-Ex(x+Δ、y、z)』は無視できる?

div(発散)の定義の途中過程についてです。

P(x、y、z)の近くに各座標軸に沿った長さがΔx、Δy、Δzの微小直方体を考える。
その微小直方体のyz平面に平行な面をそれぞれA、Bとする。
(Aのx座標がx、Bのx座標が(x+Δx))
E(Ex、Ey、Ez)とする。
∫(A+B)Exds={(Ex(x+Δx、y、z)-Ex(x、y、z))/Δx}ΔxΔyΔz
『ここでy、z座標の値も面内で変化しているが、それはΔy、Δzについ
高次の寄与しか与えない。』・・・※

この最後の1文についてなのですが、
私は〈微小直方体におけるExのy方向、z方向の変化量『Ex(x+Δx、y+Δy、z+Δz)-Ex(x+Δx、y、z)』は
x方向の変化量『Ex(x+Δx、y、z)-Ex(x、y、z)』に比べると無視できる〉つまり
『Ex(x+Δx、y、z)-Ex(x、y、z)>>Ex(x+Δx、y+Δy、z+Δz)-Ex(x+Δx、y、z)』と解釈しました。

そこで質問なのですが、
自分には『Ex(x+Δx、y、z)-Ex(x、y、z)>>Ex(x+Δx、y+Δy、z+Δz)-Ex(x+Δx、y、z)』はちっとも明らかには思えないのですが、
なぜこれが成り立つのでしょうか?
ここら辺の説明が詳しく載っている参考書がなくて困っています。
(どの参考書でも明らかとしてサラッと流されている。)

どなたかよろしくお願い致します。

以下参考HPです。
http://www.ese.yamanashi.ac.jp/~itoyo/lecture/denkigaku/denki01/denki01.htm#発散

div(発散)の定義の途中過程についてです。

P(x、y、z)の近くに各座標軸に沿った長さがΔx、Δy、Δzの微小直方体を考える。
その微小直方体のyz平面に平行な面をそれぞれA、Bとする。
(Aのx座標がx、Bのx座標が(x+Δx))
E(Ex、Ey、Ez)とする。
∫(A+B)Exds={(Ex(x+Δx、y、z)-Ex(x、y、z))/Δx}ΔxΔyΔz
『ここでy、z座標の値も面内で変化しているが、それはΔy、Δzについ
高次の寄与しか与えない。』・・・※

この最後の1文についてなのですが、
私は〈微小直方体におけるExのy方向、z方向の変化量『Ex(x+...続きを読む

Aベストアンサー

『ここでy、z座標の値も面内で変化しているが、それはΔy、Δzについて高次の寄与しか与えない。』

というのは言葉足らずで、
『ここでy、z座標の値も面内で変化しているが、平面A、B間におけるΔy、Δz、それぞれの変化
については、高次の寄与しか与えない。』ということだと思います。

式で表わせば、
{Ex(x+Δx、y+Δy、z)-Ex(x+Δx、y、z)}
-{Ex(x、y+Δy、z)-Ex(x、y、z)}
={∂Ex(x+Δx、y、z)/∂y}・Δy
-{∂Ex(x、y、z)/∂y}・Δy
={∂^2Ex(x、y、z)/∂x∂y}・ΔxΔy
(zについても同様)
となるからです。

因みに、
Ex(x+Δx、y、z)-Ex(x、y、z)
=∂Ex(x、y、z)/∂x}・Δx
であり、
Ex(x+Δx、y+Δy、z+Δz)-Ex(x+Δx、y、z)
={Ex(x+Δx、y+Δy、z+Δz)-Ex(x+Δx、y+Δy、z)}
+{Ex(x+Δx、y+Δy、z)-Ex(x+Δx、y、z)}
=∂Ex(x+Δx、y+Δy、z)/∂z}・Δz
+∂Ex(x+Δx、y、z)/∂y}・Δy
となるので、
Ex(x+Δx、y、z)-Ex(x、y、z)>>Ex(x+Δx、y+Δy、z+Δz)-Ex(x+Δx、y、z)
は言えそうにありません。

『ここでy、z座標の値も面内で変化しているが、それはΔy、Δzについて高次の寄与しか与えない。』

というのは言葉足らずで、
『ここでy、z座標の値も面内で変化しているが、平面A、B間におけるΔy、Δz、それぞれの変化
については、高次の寄与しか与えない。』ということだと思います。

式で表わせば、
{Ex(x+Δx、y+Δy、z)-Ex(x+Δx、y、z)}
-{Ex(x、y+Δy、z)-Ex(x、y、z)}
={∂Ex(x+Δx、y、z)/∂y}・Δy
-{∂Ex(x、y、z)/∂y}・Δy
={∂^2Ex(x、y、z)/∂x∂y}・ΔxΔy
(zについても同様)
となるからです。
...続きを読む


人気Q&Aランキング

おすすめ情報