100種類のカードが、50枚づつある場合に(カードは全部で5,000枚)
その中から、
10枚選んだ場合
50枚選んだ場合
70枚選んだ場合
カードの種類が何種類になるかを、
確率の数式で解くことは可能でしょうか?
教えてください。

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A 回答 (3件)

まず10枚、50枚の場合と、70枚の場合では問題の難易度が異なります。


ここでは10枚の場合について、やってみます。(50枚の場合も、同じようにできますよ)

方針としては、以下のとおりです。
・100*50=5000枚のカードをすべて違うものとして扱う(1から100までのカードが50枚ずつあるという前提で、これらのカードを1-1,1-2,...,1-50,2-1,......,100-50と番号付けする)
・カードを10枚選ぶのと、取り出したカードを戻さずに1枚ずつ10回取り出すこととは同義により、1枚ずつ10回取り出して順に並べる「順列的思考」を用いる

表記方法:順列nPr=permut(n,r), 組み合わせnCr=combin(n,r)(Excelの表記と同じ)

(全体の取り出し方)これはそのまんまpermut(5000,10)
(ちょうどk種類ある取り出し方)
特定のk種類(ここでは1~kまでと考えましょうか)がすべて出現する並べ方をa(k)通りとします。
a(1)=permut(50,10)(50枚の「1」の中から10枚を取り出して並べる順列)
a(k)=permut(50k,10)-sum{j=1~(k-1)}combin(k,j)*a(j)
この式は、まずk種類のカード計50k枚の中から10枚を1列に並べたあと、k種類全部は使われていないもの(すべて「1」となっているものなど)を除外する、という考え方によりできています。
もう少し具体的にいくと、ちょうどj種類しか使われていないものが、「k種類のうちj種類を選ぶ組み合わせ」×「そのj種類を用いた並べ方」を、j=1,2,...,k-1まで考えて和をとっているというものです。
よって、ちょうどk種類を使っている並べ方は、100種類の中からk種類を選ぶ選び方を考えて、combin(100,k)*a(k)

従ってちょうどk種類となる確率は、combin(100,k)*a(k)/permut(5000,10)

計算するとだいたい1種類となる確率から順に、
3.85E-19, 3.21E-14, 6.78E-11, 2.63E-08, 3.34E-06
1.78E-04, 4.46E-03, 5.44E-02, 3.07E-01, 6.34E-01
となりました。

#難しいぞ・・・(汗)
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No.1さんのおっしゃるとおり、これは問題としては不適切です…このままでは。



しかし、平均何種類になると予測できるか、と聞かれているとすると、数式で解くことは可能です。

期待値を計算する、というのですが、
 ある種類数になる確率×その種類数
を考えられる種類数ぶん計算し、それらを合計してやれば求める値が出てきます。
では、ためしに10種類の場合を、



ここまで書いて、実際にやってみて死にました。
なぜかというと、場合分けが恐ろしいことになりました。
というわけで、「可能は可能だけど…やらなくっちゃだめ?」を回答にさせてください(;_;)
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これは問題として不適切といえます。


例えば10枚選んだ場合、全部違う確率は?とか同じカードが選ばれる確率は?とかでないとただ漠然とカードの種類が何種類になるかという確率は計算できません。
ですので、種類が1種類~10種類になる確率なら解答は見つかると思います。
確率の問題は命題に対しての確率を算出することはできても、命題自体が不確定なものに対しては算出できないと思います。
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Q確率でグループ分け問題のコンビネーションの使い方について

15人をA組、B組、C組の各組5人ずつのグループに分ける時の場合の

数は、15C5・10C5通りですが、組の区別がない時は上記の数を3!で割

ると答えが求まります。

組み合わせのC(コンビネーション)はどういう特徴のためにA組B組のよ

うな、組の区別があるものしか答えが求められないのでしょか?

Aベストアンサー

質問者さんの疑問?は、コンビネーションの特徴が起因しているのではないと思います。#1さんのお話と同じなんだと思うんですが、うまく説明できるかな・・・。

この問題は、
1) 15人から5人を選び出す  ・・・ コンビネーション 15C5
2) それをAグループとする   ・・・ ???
3) 10人から5人を選び出す  ・・・ コンビネーション 10C5
4) それをBグループとする   ・・・ ???
5) 残った5人をCグループとする ・・・ 1通り

という手順で、グループに分ける場合の数は、上の1)、3)、5)を掛算して得られる。ここで、疑問の「組の区別がある/ない」は、1)、3)のコンビネーションによって発生しているのではなく、2)、4)、5)の「取り出した順に並べる」という手順にしたがって1)、3)、5)を「掛け合わせる」という計算によって発生しています。で、「場合の数を掛け合わせて得られる」のが順列ですよね。
通常、順列というと、例えば「1から9の数字から3つを順に選んで並べる」とすると、1つめの数字の選び方が9通り、2つめの選び方が8通り、3つめが7通りですから、順列は9×8×7。ですが、何か特別な条件をつけて、1つめの数字の選び方が5通り、2つめも5通り、3つめが4通りなどとなることも有り得るわけで、その場合の順列は5×5×4です。というように、「場合の数を掛け合わせていく」のが順列ですよね。この問題も、1つ目の選び方が15C5通り、2つ目の選び方が10C5通りで、3つ目の選び方が1通りだから、順列は15C5 × 10C5 × 1 なわけです。

ということで、コンビネーションの計算がグループを区別している原因なのではなく、(コンビネーションで)取り出した人のグループを並べたという順列の行為(場合の数を掛け合わせたという計算)が区別の原因です。

質問者さんの疑問?は、コンビネーションの特徴が起因しているのではないと思います。#1さんのお話と同じなんだと思うんですが、うまく説明できるかな・・・。

この問題は、
1) 15人から5人を選び出す  ・・・ コンビネーション 15C5
2) それをAグループとする   ・・・ ???
3) 10人から5人を選び出す  ・・・ コンビネーション 10C5
4) それをBグループとする   ・・・ ???
5) 残った5人をCグループとする ・・・ 1通り

という手順で、グループに分...続きを読む

Q50枚を1枚ずつ引いて100回、全部を選ぶ確率

確率のことで質問です。

実際に知りたい確率は下の場合。

(1)50枚のカードがあり、これを毎回5枚ずつ引き、選びます。
(2)先ほど引いた5枚はまた元に戻し、シャッフルする。
(3)5枚選ぶ作業を計20回繰り返します。(全部で100枚)

この時、50枚のカードを全て選ぶ確率はどのように求めればいいかが
わかりません。


考えていったのですが、
そもそも50枚から1枚を選んで100回繰り返し、全部選ぶ確率の
求め方もわからなくなってきました。
50/50 × 49/50 × 48/50・・・× 1/50=x
だとしたら50回で50枚全部選ぶ時の確率ですよね。

アドバイスをお願いします。

Aベストアンサー

問題の意味が理解しづらいです...
あまり得意ではないですが、挑戦してみます。

50枚のカード
・5枚選ぶ
 ↓
・戻す
(この「選んで戻す」を20回)

選ぶカードは累計100枚、この中に50枚すべてが入っている確率ということでしょうか。

数を減らして簡単な計算で考えてみるとわかりやすいような気もします...
3枚(A,B,C)から「1枚選んで戻す」を3回繰り返したとき、3^3=27通りあります。
AAA,AAB,AAC,
ABA,ABB,ABC,
ACA,ACB,ACC,
BAA,BAB,BAC,
BBA,BBB,BBC,
BCA,BCB,BCC,
CAA,CAB,CAC,
CBA,CBB,CBC,
CCA,CCB,CCC,
このうちA,B,Cの組み合わせでできているのは6つで、確率は6/27=2/9です。
これは3/3 * 2/3 * 1/3と同じです。

では「1枚選んで戻す」を4回繰り返したとき、どうなるでしょうか。
AAAA,AAAB,AAAC,
AABA,AABB,AABC.....
となり、選び方は3^4=81通りです。
このうちA,B,Cすべてを含む組み合わせは、ABCA,ABCB,ABCCの並び方の数だけあるので、(4!/2!)*3 = 36個です。
よって確率は、36/81=4/9です。...さっきの2倍ですね。

5回繰り返したときは、
選び方:3^5=243、ABCを含む組み合わせ:150
確率:150/243=50/81
ABCを含む組み合わせは、ABCを含まない組み合わせから考えたほうが早いかもしれません。
すべてA,B,C→3通り
1つだけ違う→(5!/4!)*6=30通り(4つ違うも含めて)
2つ違う→(5!/3!2!)*6=60通り(3つ違うも含めて)
243-93=150個

50枚から「1枚を選んで戻す」を50回繰り返すと、
50/50 * 49/50 * 48/50 .....1/50
50枚から「1枚を選んで戻す」を100回繰り返すと、
選び方:50^100通り
そのうち50枚すべては含まないもの
すべて同じカード→100通り
1枚だけ違うカードがあり、99枚は同じカード→100C1*100*99=100*100*99=990000通り
2枚違うカード→100C2*100*99^2
3枚違うカード→100C3*100*99^3
↓(省略)
49枚違うカードがあり、51枚は同じカード→100C49*51C2*100P2*98^49
↓(つづく)

...これだと場合分けが不十分なような気もします..
参考にならないかもしれません。申し訳ないです。

問題の意味が理解しづらいです...
あまり得意ではないですが、挑戦してみます。

50枚のカード
・5枚選ぶ
 ↓
・戻す
(この「選んで戻す」を20回)

選ぶカードは累計100枚、この中に50枚すべてが入っている確率ということでしょうか。

数を減らして簡単な計算で考えてみるとわかりやすいような気もします...
3枚(A,B,C)から「1枚選んで戻す」を3回繰り返したとき、3^3=27通りあります。
AAA,AAB,AAC,
ABA,ABB,ABC,
ACA,ACB,ACC,
BAA,BAB,BAC,
BBA,BBB,BBC,
BCA,BCB,BCC,
CAA,CAB,...続きを読む

Q条件付き確率の問題です。 赤玉7個、白玉3個が入った袋の中から、先ず2個を取り出し、元に戻さず続け

条件付き確率の問題です。

赤玉7個、白玉3個が入った袋の中から、先ず2個を取り出し、元に戻さず続けて1個取り出す時の、次の確率を求めなさい。

初めの2個がともに赤であった時、次の1個が白である確率。

C(コンビネーション)を使ったやり方で解説されているのですが、なぜコンビネーションなのかわかりません(^_^;)

解答は8C1分の3C1となっています。

Aベストアンサー

どうせ 1個しか取り出さないんだから, コンビネーションでもパーミュテーションでも同じことだよね.

Q確率(10枚のカードから2枚選んで数を作るパターン)

「0から9まで10枚のカードから1枚を選び、それを元に戻さずにもう1枚選んで2枚のカードで数を作る。」
って問題で一応自分でやったんですが不安なのであってるか見てください。もし間違いがあれば簡単な説明お願いします。

1.9の倍数
=4/9
2.7の倍数
=2/15
3.奇数
わかりませんでした。簡単な説明お願いします
4.10の位も1の位も偶数
=2/9

Aベストアンサー

No.1、No.2のお二方もおっしゃられているとおり、質問文の条件がいまいちよく分かりませんが、「4」から「1枚目が10の位、2枚目が1の位」と仮定して回答させていただきます。

1. 上記の条件で作成できる9の倍数は「09,18,27,36,45,54,63,72,81,90」の10個です。(「99」は9を2つ使わなければならないので除外。)
一方作成できる数は「10の位は10枚のカードから、1の位は残りの9枚から選ぶ」ので、「10×9=90」ということで「90とおり」です。
よって、「10/90=1/9」で「1/9」となります。

2. 1.と同じ考え方で作成できる7の倍数が「07,14,21,28,35,42,49,56,63,70,84,91,98」の13個(「77」はやはり作成不可能なので除外)ですから、
答えは「13/90」となります。

3. 奇数はつまるところ「1の位が奇数であればそれより上の位が何であっても奇数」ですから、「2枚目に奇数を引く確立」を求めることになります。
すると、「1枚目で奇数のカードを引いた場合」と「引かなかった場合」の2つのケースを考える必要があります。
まず「1枚目で奇数のカードを引いた場合」ですが、
・1枚目で奇数を引く確立は(奇数は10枚中5枚ありますので)「5/10=1/2」
・2枚目も奇数を引く確立は(残り9枚で奇数は1枚使われて4枚なので)「4/9」
以上から、「1/2×4/9=4/18」で「4/18」となります。
同様に「引かなかった場合」では、
・1枚目で奇数を引かない確立は(奇数でない(=偶数)カードは奇数とと同じく10枚中5枚ありますので)「5/10=1/2」
・2枚目で奇数を引く確立は(残り9枚で奇数は5枚ともありますので)「5/9」
以上から、「1/2×5/9=5/18」で「5/18」となります。
後は両方のケースの確立を足して、「4/18+5/18=9/18=1/2」ですから、答えは「1/2」です。

4. 3.で「両方とも奇数を引く確立」を求めてしまっているのでもう答えは出ているようなものですが、一応検討してみると、
・1枚目で偶数を引く確立は(偶数は10枚中5枚ありますので)「5/10=1/2」
・2枚目も偶数を引く確立は(残り9枚で偶数は1枚使われて4枚なので)「4/9」
よって、「1/2×4/9=4/18=2/9」で答えは「2/9」となります。

No.1、No.2のお二方もおっしゃられているとおり、質問文の条件がいまいちよく分かりませんが、「4」から「1枚目が10の位、2枚目が1の位」と仮定して回答させていただきます。

1. 上記の条件で作成できる9の倍数は「09,18,27,36,45,54,63,72,81,90」の10個です。(「99」は9を2つ使わなければならないので除外。)
一方作成できる数は「10の位は10枚のカードから、1の位は残りの9枚から選ぶ」ので、「10×9=90」ということで「90とおり」です。
よって、「10/90=1/9」で「1/9」となります。

2. 1.と同じ考え...続きを読む

Q数A確率m個からn個を取り出す

こんにちは。

5個の玉(それぞれ1~5の数字が書かれています)があるとします。この中から同時に2個を選ぶ確率を教えてください。


すべての選び方は5C2通り、場合の数も5C2で、確率は1になってしまうんですが、そんなことないですよね・・・?
どこが違っていますか??

あと、5個の白玉から1個を無作為に選ぶときの確率を、上のようにコンビネーションを使って分数形で表すとどうなりますか?。(コンビネーションを使わないで表せば確率は、1/5になりますか?)


間違いを指摘して、正しい解答を教えていただきたいです。
ご回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

5個の玉から2個取り出す確率、と書くと条件がないため、確率は100%(どんな時も2個取れる)になります。

2個取り出す玉に条件をつけると確率は変化します。
例えば書いている数字の合計が5になる、1の玉が含まれる、取り出した合計が残ってる合計以上になる、などなど。

白玉1個を取り出す確率は5分の1ながら、こちらも明確な条件がなければ、結局はどれを引いても同じにしか見えません。1(5)分の1(5)となんら変わりのない結果となってしまいます。

QAAABBCCのカードがある時、4枚選ぶ方法は何通りありますか?

AAABBCCのカードがある時、4枚選ぶ方法は何通りありますか?

Aベストアンサー

同じアルファベットのカードを区別しないとして、
Aが3枚のときは、2通り。
Aが2枚のときは、3通り。
Aが1枚のときは、2通り。
Aが0枚のときは、1通り。

あわせて8通りだけど、、、
式で表すとなると、よくわからない。

Q確率の問題で

確率の問題で「トランプ52枚から3枚引いて、そのうち2枚がハートの確率を求めよ」とあり、答えは
(13C2*39C1)/52C3=117/850ですが、
私は、
一回目ハート、2回目ハート、三回目その他=(13/52)*(12/51)*(39/50)
だと思いました。一回目がその他でも掛け算なので影響しないかと・・・
確率の問題のコンビネーションの使い方を教えてください。また私のような解き方で解く問題はどういったものでしょう?

Aベストアンサー

質問者さんの言われるのは順列です。
並び方を考えています。
1番、2番、3番がハート、ハート、その他に限定されると順列です。
入れ替えを許して
ハート、その他、ハート
その他、ハート、ハート
を同じものと考えると組み合わせとなります。

Q袋の中に1と書かれたカードが1枚,2と書かれたカードが2枚,3と書かれ

袋の中に1と書かれたカードが1枚,2と書かれたカードが2枚,3と書かれたカードが2枚,4と書かれたカードが1枚,合計6枚入っている。この袋の中から1枚のカードを取りだし,数字を記録してから元に戻す。この操作を2回繰り返し,一回目に記録された数字をX,2回目に記録された数字をYとする。この時,次の問いに答えよ。

(1)X=Y=1となる確率
(2)X=Yとなる確率
(3)|X-Y|となる確率
(4)|X-Y|の値の期待値

分かる方お願いします。

Aベストアンサー

(1) 1/6×1/6=1/36
(2) 1/36+4/36+4/36+1/36=10/36=5/18
(3) 意味不明
(4) 0×10/36+1×16/36+2×8/36+3×2/36=38/36=19/18

Q数学 確率の問題

9枚のカードがあり、カードの表にはそれぞれ「2」「3」「4」「5」「6」「7」「8」「9」「10」の数が書かれている。
また、裏にはすべて「1」が書かれている。
これらのカードを投げたときに、それぞれのカードの表が上側になる確率と裏が上側になる確率は、ともに1/2であるとする。
9枚のカードすべてを同時に投げて、各カードの上側に現れた数をすべて掛けあわせた値を得点とする。
次の問に答えよ。

(1)得点が8点になる確率を求めよ。
(2)得点が偶数になる確率を求めよ。
(3)得点が8の倍数になる確率を求めよ。

という問題でコンビネーションが使えない理由を教えてください。
お願いします。

Aベストアンサー

ANo.1です。
済みません。(3)の場合分けをミスりましたので、
以下の通り訂正します。ご迷惑をおかけしました。
(3)得点が8の倍数になる確率を求めよ。
(ア)「8」が表の全ての場合:確率=1/2
(イ)「8」「6」「10」が裏、「4」「2」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(ウ)「8」「2」「10」が裏、「4」「6」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(エ)「8」「6」「2」が裏、「4」「10」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(オ)「8」「2」が裏、「4」「6」「10」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(カ)「8」「6」が裏、「2」「4」「10」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(キ)「8」「10」が裏、「2」「4」「6」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(ク)「8」「4」が裏、「2」「6」「10」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(ケ)「8」が裏、「2」「4」「6」「10」が表の場合
:確率=(1/2)^5
求める確率は以上の合計=(1/2)+8*(1/2)^5=24/32=3/4・・・答え

Q200枚から10枚選び、10回繰り返して重複せず

いま、パソコンのスクリーンセーバーのスライドショーがあり
200枚の画像のなかから、10枚ほどランダムに表示するようになっています。
200枚だから20回は違う画像が楽しめると思ったのですが、
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また10回再生したときに、画像が重複する確率を5%以下にするには
元の画像は何枚必要でしょうか?

Aベストアンサー

こっちだけ
「1回目と2回目で同じ画像が出てくる確率はどれくらいですか?」
まずは10枚再生した後 次の10枚を出す間に先の10枚の写真が一枚も出てこない確率を求めます
ただしそれぞれの10枚の中では同じ写真は「一度に引く」ので出てこないものとする

180/200 × 179/199 × 178×198・中略・・・171/191≒0.34≒34%
となると 「一枚でも同じ写真が出てくる確率」は100-34=66%
案外大きいですね


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