100種類のカードが、50枚づつある場合に(カードは全部で5,000枚)
その中から、
10枚選んだ場合
50枚選んだ場合
70枚選んだ場合
カードの種類が何種類になるかを、
確率の数式で解くことは可能でしょうか?
教えてください。

A 回答 (3件)

まず10枚、50枚の場合と、70枚の場合では問題の難易度が異なります。


ここでは10枚の場合について、やってみます。(50枚の場合も、同じようにできますよ)

方針としては、以下のとおりです。
・100*50=5000枚のカードをすべて違うものとして扱う(1から100までのカードが50枚ずつあるという前提で、これらのカードを1-1,1-2,...,1-50,2-1,......,100-50と番号付けする)
・カードを10枚選ぶのと、取り出したカードを戻さずに1枚ずつ10回取り出すこととは同義により、1枚ずつ10回取り出して順に並べる「順列的思考」を用いる

表記方法:順列nPr=permut(n,r), 組み合わせnCr=combin(n,r)(Excelの表記と同じ)

(全体の取り出し方)これはそのまんまpermut(5000,10)
(ちょうどk種類ある取り出し方)
特定のk種類(ここでは1~kまでと考えましょうか)がすべて出現する並べ方をa(k)通りとします。
a(1)=permut(50,10)(50枚の「1」の中から10枚を取り出して並べる順列)
a(k)=permut(50k,10)-sum{j=1~(k-1)}combin(k,j)*a(j)
この式は、まずk種類のカード計50k枚の中から10枚を1列に並べたあと、k種類全部は使われていないもの(すべて「1」となっているものなど)を除外する、という考え方によりできています。
もう少し具体的にいくと、ちょうどj種類しか使われていないものが、「k種類のうちj種類を選ぶ組み合わせ」×「そのj種類を用いた並べ方」を、j=1,2,...,k-1まで考えて和をとっているというものです。
よって、ちょうどk種類を使っている並べ方は、100種類の中からk種類を選ぶ選び方を考えて、combin(100,k)*a(k)

従ってちょうどk種類となる確率は、combin(100,k)*a(k)/permut(5000,10)

計算するとだいたい1種類となる確率から順に、
3.85E-19, 3.21E-14, 6.78E-11, 2.63E-08, 3.34E-06
1.78E-04, 4.46E-03, 5.44E-02, 3.07E-01, 6.34E-01
となりました。

#難しいぞ・・・(汗)
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No.1さんのおっしゃるとおり、これは問題としては不適切です…このままでは。



しかし、平均何種類になると予測できるか、と聞かれているとすると、数式で解くことは可能です。

期待値を計算する、というのですが、
 ある種類数になる確率×その種類数
を考えられる種類数ぶん計算し、それらを合計してやれば求める値が出てきます。
では、ためしに10種類の場合を、



ここまで書いて、実際にやってみて死にました。
なぜかというと、場合分けが恐ろしいことになりました。
というわけで、「可能は可能だけど…やらなくっちゃだめ?」を回答にさせてください(;_;)
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これは問題として不適切といえます。


例えば10枚選んだ場合、全部違う確率は?とか同じカードが選ばれる確率は?とかでないとただ漠然とカードの種類が何種類になるかという確率は計算できません。
ですので、種類が1種類~10種類になる確率なら解答は見つかると思います。
確率の問題は命題に対しての確率を算出することはできても、命題自体が不確定なものに対しては算出できないと思います。
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