数え上げの工夫の
  自然数の列の和を求める問題 で
11、13、15、17、19、・・・・・・、49の
答えは 1159だと思うのですが合ってますでしょうか
是非教えて下さい。よろしくお願いします。

A 回答 (1件)

答えは、600。



  11、13、15、…、47、49
  49、47、45、…、13、11 ← 列をさかさまにして足す
+)________________
  60、60、60、…、60、60 ← 求めたい列の二倍

求める列の和は、60×((49-11)÷2+1)÷2 = 600
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この回答へのお礼

またありがとうございます。
自信があったのですが間違ってましたか・・・。

お礼日時:2001/12/26 21:40

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> n=Σ1ということがいまひとつピンときません・・・
1を3個足したら3になるし、365個足したら365になるんですから、1をn個足したらnになるという意味です。これが成り立たないようだと、そもそも数が数えられないと思いますが。

>>(初項n(n+1)+1、公差2、項数nの等差数列の和を求めてみてださい)

>↑ S=n/2[{n(n-1)+1}+(n-1)×2]
>=n/2{n^2-n+1+2n-2}
>   =n/2{n^2+n-1}
>   =(n^3+n^2-n)/2  ですよね?

これはN0.3で訂正しています。
また、公式を正しく記憶していないようですが、S=n/2(「2」a+(n-1)d)ですよ。
初項(n-1)n-1、公差2、項数nの等差数列の和を求めると、

S=n/2[2{n(n-1)+1}+(n-1)×2]
=n[{n(n-1)+1}+(n-1)](約分)
=n[{n^2-n+1+n-1]
=n^3

1^3=1
2^3=3+5
3^3=7+9+11
4^3=13+15+17+19
...
n^3={(n-1)n+1}+.....+{(n(n+1)-1}
なので、
Σk^3=1+(3+5)+(7+9+11)+(13+15+17+19)+...+{(n-1)n+1+.....+(n(n+1)-1}

よって、n^3乗の和は、1から n(n+1)-1 までの奇数を足したものに等しいです。

奇数を足す場合は、以下のような配列で考えると、計算がしやすいのですが、
○●▲○△□●▲■◆
●●▲○△□●▲■◆
▲▲▲○△□●▲■◆
○○○○△□●▲■◆
△△△△△□●▲■◆
□□□□□□●▲■◆
●●●●●●●▲■◆
▲▲▲▲▲▲▲▲■◆
■■■■■■■■■◆
◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆

左上から、○が1、●が3、▲が5、○が7、△が9、□が11、●が13、▲が15、■が17、◆が19...と奇数個で並べていくと、正方形上に○等をを並べることができます。
あとは、1+(3+5)+(7+9+11)+...のようにグループに区切っていくと、(この図では白抜きと塗りつぶしで表現しています)、横も縦も1+2+3+...+n個になります。

どうしてもわからないのなら、自分で図を書いて、nを一つずつ増やしていってみてください。

> n=Σ1ということがいまひとつピンときません・・・
1を3個足したら3になるし、365個足したら365になるんですから、1をn個足したらnになるという意味です。これが成り立たないようだと、そもそも数が数えられないと思いますが。

>>(初項n(n+1)+1、公差2、項数nの等差数列の和を求めてみてださい)

>↑ S=n/2[{n(n-1)+1}+(n-1)×2]
>=n/2{n^2-n+1+2n-2}
>   =n/2{n^2+n-1}
>   =(n^3+n^2-n)/2  ですよね?

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(1)1から8までの数字が書かれたカードの2つの組のうち、一方の組からひいた数をx、もう一方からひいた数をyとします。
題意から、 x>yのときX=2x-y、x=yのときX=x=y、x<yのときX=2y-x です。
これを表にすると添付した図のとおりです。すべての組み合わせは8^2=64通りあり、選ぶ確率は1/64でみな同じです。
このうちx=7となるのは次の7通りです。(x,y)=(1,4),(4,1),(3,5),(5,3),(5,6),(6,5),(7,7)
したがって求める確率は7/64です。

(2)図を見るとx=yの組み合わせ(水色)をはさんで数字が対称になっています。
このうち右下の(x>y)の部分を右下から左上、そこから真下に読むと次の通り非常に規則的であることがわかります。(□は文字位置を揃えるため)
3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15
□□5,6,7,8,9,10,11,12,13
□□□□ 7,8,9,10,11
□□□□□□9
この部分の和を求めると、
(3+4+14+15)+(5+6+12+13)・2+(7+8+10+11)・3+9・4
=36+36・2+36・3+36=36・7=252
また1+2+3+4+5+6+7+8=9・4=36 だから
64通りのXの値の総和は、252・2+36=540となり
求める期待値は540/64=135/16 です。

※(2)は(1)と同様にX=1からX=15までの確率をすべて求めて、それぞれのXの値に乗じて加える方法が基本かもしれませんが、初めにXの総和を求める方が計算ミスのおそれが少ないと考えました。

(1)1から8までの数字が書かれたカードの2つの組のうち、一方の組からひいた数をx、もう一方からひいた数をyとします。
題意から、 x>yのときX=2x-y、x=yのときX=x=y、x<yのときX=2y-x です。
これを表にすると添付した図のとおりです。すべての組み合わせは8^2=64通りあり、選ぶ確率は1/64でみな同じです。
このうちx=7となるのは次の7通りです。(x,y)=(1,4),(4,1),(3,5),(5,3),(5,6),(6,5),(7,7)
したがって求める確率は7/64です。

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