∫{ー∞~+∞}exp(-ax^2)dx を円筒関数を用いて
といていただきたいのです。
おそらく、X^2+Y^2=R^2を用いて
exp{-a(X^2+Y^2}から
exp{-ar^2}rdrとしてとくのだとおもうのですが、、、、
よろしくお願いします。

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A 回答 (3件)

円筒関数を用いてではありませんが、あなたのヒントに従っての求め方です。



I=∫{-∞~+∞}exp(-ax^2)dx
I=∫{-∞~+∞}exp(-ay^2)dy
ゆえに、
I^2=∫∫{-∞~+∞}exp(-a(x^2+y^2))dxdy

x=rcosθ、y=rsinθと置くとdxdy=rdθdrで、
積分範囲は、θについて0から2π、rについて0から∞ですから
I^2=∫∫exp(-ar^2)rdθdr
  =∫{0~+∞}exp(-ar^2)rdr∫{0~2π}dθ
  =(1/2a)(2π)
  =π/a
I=√(π/a)

円筒関数というとBessel関数ですよね、反って難しいのではないでしょうか?
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この回答へのお礼

さっそくのお返事本当にありがとうございます。
Bessel関数についてはならってはいないのですが、
教授がうるさいのもので、ついつい奥深くまで追求してしまいました。
本当にありがとうございました。

お礼日時:2001/12/27 03:53

積分の解法はもうじゅうぶんと思われるので、siegmundさんのおっしゃる、この積分のお話をほんの少し。

(大学教養程度の確率のお話です)

(1)ガンマ関数について、Γ(1/2)=√πです。
∫{0~+∞}exp(-x^2)dx で x^2=y とおくと、
√π/2 = ∫{0~+∞}exp(-x^2)dx = ∫{0~+∞}exp(-y)*(1/2)y^(-1/2)dy = (1/2) Γ(1/2)
(2)正規分布の確率密度関数f(x)=c*exp{-(x-μ)^2/(2σ^2)}の係数cが1/sqrt(2πσ^2)であることは、この積分を用いて直ちに示せますね。

これより高等なことは私にはわかんないですが。。。(汗)
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この回答へのお礼

お返答とてもうれしかったです。
ありがとうございました。
これからも分からない事が多いと思いますので、
よろしくお願いします。
ありがとうございました。

お礼日時:2001/12/28 00:00

どうやら,円筒関数というより,円筒座標あるいは2次元極座標を用いて,


ということらしいですね.
円筒座標を使う方法はもう一つの ka-kunn さんの質問
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=190962
に答えた話の
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=185532
がまさにそれになっていますね.

せっかくですから,別法を書いておきます.
なんだか,回答が入れ違ったみたいになっちゃいましたがね.

a は変数変換で消せるから
(1)  I = ∫{0~∞} exp(-x^2) dx
が計算できればよい.
あとの正負分類の煩わしさを避けるため,積分区間を 0~∞ と半分にしている.
(2)  x = yz,  dx = z dy
とおいて
(3)  I = ∫{0~∞} z exp(-y^2 z^2) dy
また,
(4)  I = ∫{0~∞} exp(-z^2) dz
と書けるから,(3)(4)より
(5)  I^2 = ∫{0~∞} exp(-z^2) dz ∫{0~∞} z exp(-y^2 z^2) dy
      = ∫{0~∞} dy ∫{0~∞} z exp[-(1+y^2)z^2] dz
となり,(5)の z 積分は
(6)  ∫ z exp[-(1+y^2)z^2 dz = - exp[-(1+y^2)]/2(1+y^2)
と不定積分ができるので,
(7)  ∫{0~∞} z exp[-(1+y^2)z^2 dz = 1/2(1+y^2)
になる.したがって
(8)  I^2 = (1/2) ∫{0~∞} dy/(1+y^2)
だが,この不定積分は
(9)  ∫ dy/(1+y^2) = arctan y
なので,(8)は
(10)  I^2 = (1/2) ∫{0~∞} dy/(1+y^2) = π/4
と計算できる.よって
(11)  I = √π/2
あるいは
(12)  ∫{-∞~∞} exp(-x^2) dx = √π

この定積分(ガウス積分)はあちらこちらで出てくる有名な積分です.
結果が√πであることはぜひ記憶しておいてください.
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この回答へのお礼

またもやすばやい回答に心から感謝申し上げます。
本当に助かりました。ありがとうございます。
またなにかあれば、助けていただきたいと思います。
ありがとうございました。

お礼日時:2001/12/27 03:50

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---
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Qlim{x→∞}x∫{0~x}exp(t^2-x^

lim{x→∞}x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt

(∫{0~x}の部分はこういう表記の仕方がよくわからないのですが、0が下でxが上です)

答えが一応出たのですが、解答解説がついていないためチェックしていただけますか?

lim{x→∞} x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt

exp(x^2)はtによらないので、
=lim{x→∞} x∫{0~x}exp(t^2)dt /exp(x^2)

exp(t^2)の0~無限大の積分は明らかに無限大に発散するので、ろぴたるの定理をつかう
=lim{x→∞} {∫{0~x}exp(t^2)dt+xexp(x^2)}/exp(x^2)2x
=lim{x→∞} ∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt/2x +1/2

これを最初の式と比べる
lim{x→∞}x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt =lim{x→∞}∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt/2x +1/2

lim{x→∞}x(1-1/2x^2)∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt = 1/2
lim{x→∞}x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt =x^2 / (2x^2-1)=1/2

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lim{x→∞}x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt

(∫{0~x}の部分はこういう表記の仕方がよくわからないのですが、0が下でxが上です)

答えが一応出たのですが、解答解説がついていないためチェックしていただけますか?

lim{x→∞} x∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt

exp(x^2)はtによらないので、
=lim{x→∞} x∫{0~x}exp(t^2)dt /exp(x^2)

exp(t^2)の0~無限大の積分は明らかに無限大に発散するので、ろぴたるの定理をつかう
=lim{x→∞} {∫{0~x}exp(t^2)dt+xexp(x^2)}/exp(x^2)2x
=lim{x→∞} ∫{0~x}exp(t^2-x^2)dt/2x +1/2

これを最初の式と比...続きを読む

Aベストアンサー

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∫∫【D】2x|y|dxdy, D={x^2+y^2≦1,x^2+y^2≦2x}
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言葉が下手で、伝わりにくい文章ですみません。

Aベストアンサー

>この場合では、領域がx軸に関して対称だから、前者の場合も後者の場合もたまたま答えが同じになるけれど

本当にそうなります?
2xyはyについて奇関数、2x|y|はyについて偶関数です。
前者をx軸について対称な領域で積分すると"0"に、後者を同じ領域で積分するとx軸よりも上側の領域での積分の2倍になります。

Q円筒度を求めたい

教えて下さい。
円筒度を求めたいです。
対象物は円筒形状の金属棒です。
例えば、外径5mm高さ10mmとします。
INPUT情報としては、
ある点において真円度を測定し、その点における円情報があります。
それを高さ方向に対して、数点行います。
この情報でこの円筒物の円筒度を求めたいのです。
方法を教えて下さい。
また、参考URLなどがありましたら教えて下さい。

ちなみに私は、数点の円情報から最小自乗法により近似円筒を求め、その外径と、数点の円情報の外径のP-Pが円筒度になるのではないかと、考えています。
この方法が正しいものなのかどうかもわかりません。
それと、円情報から最小事乗法により近似円筒を求める方法も分かりません。

たくさん質問してしまいましたが、教えて下さい。

Aベストアンサー

以下URLサイトに円筒度交差の定義があります。
参考までに
http://www.coguchi.com/
幾何公差の種類と記号・定義
http://www.coguchi.com/data_s/kika/kika3/
http://www.coguchi.com/data_s/kika/kika1/

Qexp{-a(x^2+y^2)}のフーリエ変換

exp{-a(x^2+y^2)}のフーリエ変換を行うとどのような関数になるのか教えてください。いろいろ調べたのですが、変数が一つ(xだけ)の場合はいろいろなとこで載っていたのですが、これは見つかりませんでした。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

xとyが独立なら、xとyはそれぞれ相手から見ると定数として扱えるから、
exp{-a(x^2+y^2)}=exp(-ax^2)×exp(-ay^2)
に分解して、それぞれのフーリエ変換を掛け合わせ、
⇒ exp(-X^2/4a)/√(2a)×exp(-Y^2/4a)/√(2a)
 =exp{-(X^2+Y^2)/4a}/2a
にしたらいいと思います。


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