以下の問題は早急に解きたいんですが、積分の仕方を忘れてしまい、解く事ができません。部分積分すると思ったのですが…。どなたか解いて頂けませんか?
(1)∫(1-k^2sinφ^2)^(1/2) dφ   と、
(2)∫1/[(1-k^2sinφ^2)^1/2] dφ
の二問です。
よろしくお願いします。

A 回答 (5件)

また、間違いました、被積分関数をMaclauin展開してください。


ご存知と思いますが、一応公式を書いておきます。

マクローリン展開(テイラー展開)は
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2*x^2+f'''(0)/3!*x^3+...
です。

+と-を間違えていたようです。

(1+x)^1/2=1+x/2-(x^2)*(1*1)/(2*4)+(x^3)*(1*3)/(2*4*6)-.....

1/(1+x)^1/2=1-x/2+(x^2)*(1*3)/(2*4)-.....

x=-(ksinφ)^2を代入して、各項積分です。

もう!自信なしです。

m(__)m
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この回答へのお礼

計算の細かいところまで教えて頂き、
ありがとうございました。
後は、何とか積分を頑張って近似値を出していきたいと思います。

お礼日時:2001/12/29 00:17

> 積分さえできれば後は代入するだけですよね?


> 積分の解を算出して頂けないでしょうか?

No.4 の回答に書きましたように,
初等関数(の組み合わせ)では楕円積分は表現できません(k=0,1 の場合を除く).
もちろん,a,b,c が決まれば k とαは確定して楕円積分の値も確定,
表面積も決まります
しかし,その楕円積分の値とk,αの関数関係が初等関数の組み合わせでは
表現できないと言うことなのです.

なお,0≦α≦2 と書かれていますが
a≧b≧c で α=sin^{-1}√(1-c^2/a^2) ですから
0≦α≦π/2 ですね.
ミスプリかも知れませんが,念のため.
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
よく理解できていませんでした。
近似値は得られるということですよね?
何とか積分頑張ってみます。

お礼日時:2001/12/29 00:14

> 回転楕円体の表面積の公式に使われているものです。



回転楕円体の表面積ならこの楕円積分は k=1 の場合になりますので,
簡単な積分に帰着されます
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=191215
の私の回答(No.4),および Qtaro35 さん(No.3)ご紹介の
http://www.asahi-net.or.jp/~jb2y-bk/math/daenmen …
をご覧下さい.
一般の楕円体の表面積なら k≠1 の楕円積分が現れます.

積分範囲がφ=0 からφ=θまでのとき,楕円積分(結果は k とθの関数),
積分範囲がφ=0 からφ=π/2までのとき,完全楕円積分(結果は k の関数),
と称しています.
後者の場合を単に楕円積分という場合もあるようです.
brogie さんの
> 0~1/πまでの定積分の場合、
はミスタイプでしょう.

第1種,第2種の区別は brogie さんの書かれているとおり.
完全楕円積分でも,k=0,1 以外の場合は初等関数で表現できないことが
知られています.

この回答への補足

実は以下のURLを参考に、一般の楕円体の公式を見て、解が知りたくて質問させて頂いたのです。
URL:http://www.asahi-net.or.jp/~jb2y-bk/math/daenmen …
その公式の中のk^2とαについては算出してあり、k^2<1と0≦α≦2となりました。積分さえできれば後は代入するだけですよね?

甘え過ぎだということは十分承知しているのですが…、積分の解を算出して頂けないでしょうか?
よろしくお願いします。

補足日時:2001/12/28 20:31
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御免なさい、間違いました。

つぎの式が正しいです。

(1-x)^1/2=1+x/2-(x^2)*(1*1)/(2*4)+(x^3)*(1*3)/(2*4*6)-.....

1/(1-x)^1/2=1-x/2+(x^2)*(1*3)/(2*4)-.....

この式のxに(ksinφ)^2を代入して、各項別に積分して下さい。
上の式は1を除いて、Σを用いて書くことも出来ます。
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おはよう御座います。


級数に展開して、積分するのですが、0~1/πまでの定積分の場合、楕円積分になります。ただし、k^2<1。(1)を第2種完全楕円積分、(2)を第1種完全楕円積分です。

被積分関数の展開は、つぎの式を使うと良い。

(1+x^2)^1/2=1+x/2-(x^2)*(1*1)/(2*4)+(x^3)*(1*3)/(2*4*6)-.....

1/(1+x^2)^1/2=1-x/2+(x^2)*(1*3)/(2*4)-.....

これをそれぞれ積分すると良いでしょう。

この回答への補足

おはようございます。
確かにこの積分式は、回転楕円体の表面積の公式に使われているものです。
ところで、回答頂いた式には sin^2(φ)がありませんが、使わなくてもよいのでしょうか?

補足日時:2001/12/28 08:23
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>2)この式では∫0~1xdxを積分すると1/2になるという説明でおかしくないでしょうか?
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と言う風に変型して、

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これ以上解き方が全く思い浮かばないので
ヒント等あればぜひ教えていただきたいです。
よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

それでいいんじゃないですか?
そのまま計算を進めて…

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  ↓
(d/dr){ r・dφ/dr } = 0
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