経済成長率

経済成長率を算出するとき、なぜ相加平均ではなく相乗平均を使うのかわかりません。。困ってるので回答よろしくお願いいたします。

No.1 回答者： at9_am 回答日時： 2006/01/24 22:30

相加平均も相乗平均も、何れも OK ですよ。

今、GDP が Y 円だったとしましょう。このとき、a% の成長をしたとすれば GDP は
Y(1+a)
になっています。更にこの後 b% 成長したとすれば
Y(1+a)(1+b)
円になっているはずです。ここで、
Y(1+a)(1+b) = Y(1+c)
と書くことにしましょう。つまり
c = (1+a)(1+b)
です。すると、二期かけて c% 成長したことになります。平均成長率は同じ成長率で二期成長した結果 c% 成長したということになるので、
(1+c) = (1+d)^2
となるように平均成長率 d% は求まります。ここから
(1+d) = √{(1+a)(1+b)}
となり、相乗平均になります。

一方、この両辺に対数をとると、r が小さければlog(1+r)=r と近似できますから、
d = 1/2(a+b)
となり、相加平均で近似的に計算できる、ということになります。長期間になったりした場合などは、相乗平均の計算が大変なので、こちらを使うことが多いですね。