生徒に、過去問題二年分を解いてくれと頼まれたのですが、この問題だけ解けません。解答がないので考え方も分かりません。
その問題とは、
『要素の個数が100である集合Uと、集合Uの部分集合A,B,Cを考える。集合A,B,Cの要素の個数は、それぞれ、48,10,38である。このとき、集合B∪(Cのバー)の要素の個数をnとすると、nの取りうる値は、□□≦n≦□□である。また、集合(A∪B)∩(Cのバー)の要素の個数をmとすると、mの取りうる値は、□□≦m≦□□である。ただし、(Cのバー)は、Uに関するCの補集合とする。』
という問題です。日本社会事業大学の問題だった気がします。出来だけ早急にお願いします。

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A 回答 (2件)

まず、議論を簡単にするため、以下の表記を使用します。


・#(S):集合Uの部分集合Sの要素数
・~C:Uに関するCの補集合
・max(a,b):数値aおよびbのうち大きい値

すると、Uの部分集合RとSに対して以下の式が成り立ちます。
#(R∪S)=#(R)+#(S)-#(R∩S), …(1)
#(~R)=#(U)-#(R) …(2)
したがって、
#(R∪S)≦#(R)+#(S)、等号はR∩S=φのとき …(3)
となります。
また、R⊃Sのとき、
#(R∪S)=#(R)+#(S)-#(R∩S)
    =#(R)+#(S)-#(S)
    =#(R)
となります。S⊃Rのときも同様にして#(R∪S)=#(S)となります。ここで、R⊃Sなら#(R)≧#(S)ですし、S⊃Rなら#(S)≧#(R)ですから、
max(#(R),#(S))≦#(R∪S)、等号はR⊃SまたはS⊃Rのとき …(4)
となります。
(3)と(4)を合わせて、
max(#(R),#(S))≦#(R∪S)=#(R)+#(S)-#(R∩S)≦#(R)+#(S) …(*)
が出てきます。

ここで、以下に何回か登場する#(~C)の値をあらかじめ計算しておきます。
#(~C)=#(U)-#(C)
   =100-38
   =62

(a)(*)をnの場合に当てはめると、
(*)の左辺=max(#(B),#(~C))
      =max(10,62)
      =62、
(*)の右辺=#(B)+#(~C)
      =10+62
      =72
となります。(3)および(4)の等号条件が成り立つ可能性はありますので、
62≦n=#(B∪~C)≦72
となります。

(b)(*)をmのA∪Bの部分に当てはめると、
(*)の左辺=max(#(A),#(B))
      =max(48,10)
      =48、
(*)の右辺=#(A)+#(B)
      =48+10
      =58
となります。(3)および(4)の等号条件が成り立つ可能性はありますので、
48≦#(A∪B)≦58
となります。#(~C)=62ですから、#(A∪B)=48の場合でも#((A∪B)∩~C)は10未満になることはありません。 …
∵)#((A∪B)∩~C)<10と仮定すると、(1)より、
 #((A∪B)∪~C)=#(A∪B)+#(~C)-#((A∪B)∩~C)≧48+62-#((A∪B)∩~C)>110-10=100
 となり、集合Uの部分集合である(A∪B)∪~Cの要素数が集合Uの要素数よりも多くなるという矛盾が発生する。
 この矛盾は#((A∪B)∩~C)<10として発生したため、背理法によって#((A∪B)∩~C)≧10となる。
一方、要素数の差から(A∪B)⊃~Cとはなりえませんが、~C⊃(A∪B)とはなりえます。この~C⊃(A∪B)のときが#((A∪B)∩~C)が最大になる場合で、この時は
#((A∪B)∩~C)=#(A∪B)≦58 …(6)
となります。
(5)と(6)を合わせると、
10≦m=#((A∪B)∩~C)≦58
となります。
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余事象を考えるようにその生徒に言ってください。

この程度の問題は自分で考えないといつまで経っても上達しません。chemoさんもこの程度の問題をあっさり解けないと生徒になめられますよ。
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