レポートで解いてこいと言われたのですが全くわかりません。力をかして下さい。

問題:あるm≧1によりAのm乗=0となるような行列Aは巾零行列であるという。n次行列Aについて、『Aは巾零⇔Aの固有値はすべて0⇔Aのn乗=0』を示せ

A 回答 (3件)

akio_02 さんこんにちは。

レポートということなのでヒントだけ

(1)Aは巾零 ⇒ Aの固有値はすべて0

対偶を示します。Aが0でない固有値λを持つとします。その固有値λに対する固有ベクトルをxとすると、すべてのm≧1に対してA^m x =λ^m x となります。xは0ベクトルではなく、λ^mも0ではないので右辺は0ベクトルではありません。よってA^m は零行列ではありません。すなわち…

(2)Aの固有値はすべて0 ⇒ Aは巾零

ケーリー・ハミルトンの定理を使います。Aはn次行列で固有値がすべて0なので、Aの固有多項式は
λ^n=0
となります。そこでλの代わりにAを固有多項式に代入すると……

(3)Aの固有値はすべて0 ⇒ A^n=0

(2)と全く同様。

(4)A^n=0 ⇒ Aの固有値はすべて0

これも対偶を示します。示し方は(1)と全く同様。
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任意の正方行列は三角行列に相似であるというのを使えば直ちに求まるのではないでしょうか?

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レポートは大変です。

私は部分分数分解の定理の証明とガンマ関数とベータ関数の関係から(1/2)!を求めるように言われました。この2つを解決すれば35+35=70点くれるので頑張っています。一石二鳥の方法として複素関数論を独学で学んでいます。ちなみに私は電気科なんでオイラーの公式をフルに使っているんですが、この公式の証明や、複素変数の関数の微積分については、数学の方で保障されているんだと割り切って使っていました。しかし複素関数論を学べばこれらのことも自然と理解できるはずですよね。一石三鳥とはまさにこのこと。
レポートの問題は、教えて!gooでは一番嫌われるので自分で考えて解いた方がいいですよ。で、回答がつくには自分はどこどこまで解いたとか載せた方がよいです。回答する方も大変なんで。それからこれから受検シーズンでいろいろレベルの低い質問が来るかも知れませんが(ていうかもう来てるが…)、受験生を甘やかしてはいけません。よほど高度な知識を要する質問以外は自分で考えさせましょう。
どうも私だけが厳しいこと言ってるみたいなんでつらいんです。別に悪意はないんだけどねぇ。ハハハ。
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