レポートで解いてこいと言われたのですが全くわかりません。力をかして下さい。

問題:あるm≧1によりAのm乗=0となるような行列Aは巾零行列であるという。n次行列Aについて、『Aは巾零⇔Aの固有値はすべて0⇔Aのn乗=0』を示せ

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A 回答 (3件)

akio_02 さんこんにちは。

レポートということなのでヒントだけ

(1)Aは巾零 ⇒ Aの固有値はすべて0

対偶を示します。Aが0でない固有値λを持つとします。その固有値λに対する固有ベクトルをxとすると、すべてのm≧1に対してA^m x =λ^m x となります。xは0ベクトルではなく、λ^mも0ではないので右辺は0ベクトルではありません。よってA^m は零行列ではありません。すなわち…

(2)Aの固有値はすべて0 ⇒ Aは巾零

ケーリー・ハミルトンの定理を使います。Aはn次行列で固有値がすべて0なので、Aの固有多項式は
λ^n=0
となります。そこでλの代わりにAを固有多項式に代入すると……

(3)Aの固有値はすべて0 ⇒ A^n=0

(2)と全く同様。

(4)A^n=0 ⇒ Aの固有値はすべて0

これも対偶を示します。示し方は(1)と全く同様。
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任意の正方行列は三角行列に相似であるというのを使えば直ちに求まるのではないでしょうか?

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レポートは大変です。

私は部分分数分解の定理の証明とガンマ関数とベータ関数の関係から(1/2)!を求めるように言われました。この2つを解決すれば35+35=70点くれるので頑張っています。一石二鳥の方法として複素関数論を独学で学んでいます。ちなみに私は電気科なんでオイラーの公式をフルに使っているんですが、この公式の証明や、複素変数の関数の微積分については、数学の方で保障されているんだと割り切って使っていました。しかし複素関数論を学べばこれらのことも自然と理解できるはずですよね。一石三鳥とはまさにこのこと。
レポートの問題は、教えて!gooでは一番嫌われるので自分で考えて解いた方がいいですよ。で、回答がつくには自分はどこどこまで解いたとか載せた方がよいです。回答する方も大変なんで。それからこれから受検シーズンでいろいろレベルの低い質問が来るかも知れませんが(ていうかもう来てるが…)、受験生を甘やかしてはいけません。よほど高度な知識を要する質問以外は自分で考えさせましょう。
どうも私だけが厳しいこと言ってるみたいなんでつらいんです。別に悪意はないんだけどねぇ。ハハハ。
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Aが冪零行列でA^m = Oのとき,(I -A)(I +A+A^2 +? ? ?+A^(m-1)) を求めよ。という問題なのですが、解き方がわからなくてこまっています。どなたか解き方をわかりやすく教えていただけないでしょうか?

Aベストアンサー

(I -A)(I +A+A^2 +....+A^(m-1))
=(I +A+A^2 +....+A^(m-1)) - A (I +A+A^2 +....+A^(m-1))
=(I +A+A^2 +....+A^(m-1)) -(A + A^2 + ...... A^m)
=(I +A+A^2 +....+A^(m-1)) -(A + A^2 + ...... A^(m-1))
=I

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1/1^p≧1/2^p≧…≧0且つlim[n→∞]1/n^p=0
よって定理「Σ[n=1..∞]a_n∈Rで{b_k}は単調且つlim[n→∞]b_n=0⇒Σ[n=1..∞]a_kb_kも収束」より
Σ[n=1..∞]a_n/n^p∈R
(ii) p=1の時
Σ[n=1..∞]a_n/n^p=Σ[n=1..∞]a_nで収束(∵仮定)
(iii) p<0の時
が分かりません。
どのようにして判定すればいいのでしょうか?

Aベストアンサー

簡単な判定方法はありません。
Σ[n=1..∞]a_n/n^p
のタイプの級数をディリクレ級数といいます。冪級数の収束半径のようなものがあり、pの実部がσより大きいと収束し、pの実部がσより小さいと発散するような実数σが存在します。pの実部がσのときは収束することもあれば発散することもあります。
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lim[n→∞](a_n-1)/(a_n+1)=0⇒lim[n→∞]a_n=1
を示すのに困っています。
定義に従って書くと仮定は
0<∀ε'∈R,∃m'∈N;m'<k⇒|(a_k-1)/(a_k+1)-0|<ε'…(*)
となり、
これから
0<∀ε∈R,∃m∈N;m<k⇒|a_k-1|<ε…(**)
を導かねばならないのですがなかなか(*)から(**)を導けません。
どのようにして導けますでしょうか?

Aベストアンサー

対偶を使えばいいでしょ。つまり(**)の否定から(*)の否定を導けば良い。

 (**)を略記なしに書くと、
∀ε((ε∈R∧0<ε)⇒∃m(m∈N∧∀k((k∈N∧m<k)⇒|a_k-1|<ε)))
であり、その否定は
∃ε((ε∈R∧0<ε)∧∀m(m∈N⇒∃k((k∈N∧m<k)∧((a_k-1)≧ε∨-(a_k-1)≧ε)))
です。質問者さん流に書けば
0<∃ε∈R,∀m∈N, m<∃k∈N;((a_k-1)≧ε∨-(a_k-1)≧ε)…~(**)
とでもなりますか。すると(*)の否定は
0<∃ε'∈R,∀m∈N, m<∃k∈N;((a_k-1)/(a_k+1)≧ε'∨-(a_k-1)/(a_k+1)≧ε')…~(*)
となりましょう。

 で、~(**)⇒~(*)を証明すりゃ良い。まず~(**)だとすると、ε, m, kを固定したとき、
[1] (a_k-1)≧εの場合、(ANo.1の計算を利用すると)
(a_k-1)/(a_k+1) = 1-2/(a_k +1)≧1-2/(2+ε)>0
[2] -(a_k-1)≧εの場合も同様に、
-(a_k-1)/(a_k+1) = -(1-2/(a_k +1))≧2/(2-ε)-1>0
です。
 さてここで、
0<ε'∧((a_k-1)/(a_k+1)≧ε'∨-(a_k-1)/(a_k+1)≧ε')
が成り立つようなε'(ただしε'は、m, kに依らずεだけで決まる)の具体例をひとつ構成すれば良いわけです。

対偶を使えばいいでしょ。つまり(**)の否定から(*)の否定を導けば良い。

 (**)を略記なしに書くと、
∀ε((ε∈R∧0<ε)⇒∃m(m∈N∧∀k((k∈N∧m<k)⇒|a_k-1|<ε)))
であり、その否定は
∃ε((ε∈R∧0<ε)∧∀m(m∈N⇒∃k((k∈N∧m<k)∧((a_k-1)≧ε∨-(a_k-1)≧ε)))
です。質問者さん流に書けば
0<∃ε∈R,∀m∈N, m<∃k∈N;((a_k-1)≧ε∨-(a_k-1)≧ε)…~(**)
とでもなりますか。すると(*)の否定は
0<∃ε'∈R,∀m∈N, m<∃k∈N;((a_k-1)/(a_k+1)≧ε'∨-(a_k-1)/(a_k+1)≧ε')…~(*)
となりましょう。

 で、~(**)⇒~(*)を証明すりゃ良い。まず~(**)...続きを読む

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置換と転置の意味を知ってて
行列式の定義を書けば自明なんだが・・・
書くのがつらいだけなのでURLを

http://www22.atwiki.jp/linearalgebra/pages/42.html

Q数列a[n+1]=a[n]/(1+a[n])^2,a[1]=1/2

数列a[n+1]=a[n]/(1+a[n])^2,a[1]=1/2
のとき、
lim[n->∞](a[1]+・・・・+a[n])/n の値を求めよ。
(小問で、1/a[n]>2nは解決済み。)

はさみうちをするのだとは思うのであるが、その前のひと工夫がわからない。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>はさみうちをするのだとは思うのであるが、その前のひと工夫がわからない。

ひと工夫ってこんなこと?小問の利用?

0<(1/n)Σ[k=1,n]a[n]/n<(1/n)Σ(1/2k)=(1/2n)(∫[1,n]dx/x+1)
これで、n→∞ とすればよい。


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