現在流体力学の勉強の復習をしています。拡散係数テンソルというものが理解できなくて困っています。たいていの流体力学の本ではフラックスはフィックの法則でおなじみの
F= -D(∂C/∂x -∂C/∂y -∂C/∂z)
という表現で拡散係数Dはテンソル量であるとの表記はないのに、日野幹夫著 流体力学(朝倉書店)ではDがテンソル量であると言っておきながらその解説がないのです。もちろん他書でも調べましたが載ってませんでした。
 なぜテンソル量なのか? どういう場合にDをテンソル量として扱うのか?など知っている方教えてください。またそういうことが書いてある本などありましたら紹介してください。

 ちなみに私、大卒です。学部の流体力学もろくに知らずに卒業できてしまった自分が恥ずかしいです。

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A 回答 (1件)

確かに,大抵の流体力学のテキストでは D は単なるスカラーとして


扱われているようです.
流体は専門じゃないので,あまり高度なテキストは見ていませんが...

でも,ちょっと考えてみれば,ベクトル量のフラックスとベクトル量の濃度勾配とが
線型で結ばれているのですから,
比例係数に相当する D は一般には2階のテンソル
(今は,3行3列の行列で表現できる)ですね.
応力テンソルなどの話を思い出して下さい.

あとは,対象とする系の性質の仮定によってテンソルの形が制限されることになります.
普通の意味の等方的な流体では D テンソルの対角成分のみ非零で,
しかも値は皆等しく,単なるスカラーと考えられます.
行列で表すなら,単位3行3列の単位行列の D 倍.
非等方性流体や粘弾性流体ですと,単なるスカラーでは済まないことになります.

負号を2度書いちゃったミスタイプと思いますが
F = - D ∇C
 = - D(∂C/∂x,∂C/∂y,∂C/∂z)
ですよね.
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この回答へのお礼

 なるほど。たいていの流体の本がDをスカラーとして扱っている理由がわかりました。スカラーでは済まない場合の具体例まで記述いただき助かりました。なんとなく分かってきました。

>負号を2度書いちゃったミスタイプと思いますが
F = - D ∇C = - D(∂C/∂x,∂C/∂y,∂C/∂z)
恥ずかしながら今気づきました。そうでした(汗)。 どうもありがとうございました。

お礼日時:2002/01/07 13:27

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Q数学 行列 テンソル について

テンソルについて教えて下さい。

2階のテンソルやn階のテンソルですが、これは3×3の正方行列以外のものもあるのですか?
何件か資料を調べてみたのですが、どれも3×3の正方行列での説明で気になりました。

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もう一点教えて下さい。
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例えば、
(a1)
(a2)
のように2次の列ベクトルは1階のテンソルと言えるのでしょうか?
また、列ベクトルではなく
(a1 a2)と行ベクトルも1階のテンソルと言っていいのでしょうか?

以上、ご回答よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

ベクトルは1階のテンソルです。
そして、
スカラーは0階のテンソルでございます。

普通、テンソルは、3×3ですけれど、2×2もあれば、4×4もあります。
1×1でも構いやしない(ニコニコ)。

Q流体力学に関して質問です。流体力学に関して勉強を始めた者です。

流体力学に関して質問です。流体力学に関して勉強を始めた者です。

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Aベストアンサー

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Q慣性行列(テンソル)について

長さh、半径r、密度p、の円柱の質量中心まわりの慣性テンソルを求めよ。ただし、長手方向をz軸とする.

という問題なので、図を描いてやっているのですが、どこから手をつけていいのかも分からない状態です。図を描いてやっているのです。

Aベストアンサー

ヒントを。。。
力学のテキストをよくご覧になられると慣性テンソルは
I11=∫(y^2+z^2)dm,I12=-∫xydm,I13=-∫zxdm
I21=-∫xydm,I22=∫(z^2+x^2)dm,I23=-∫yzdm
I31=-∫zxdm,I32=-∫yzdm,I33=∫(x^2+y^2)dm
(ただしdm=ρdxdydz)と書かれていますね。ここで剛体に固定した新しい座標軸(慣性主軸)をうまく選んでやると非対角成分を0にすることができ(←主軸変換),この結果慣性テンソルは次のように簡単化されます。
A=I'11=Ix=∫(y'^2+z'2)dm,B=I'22=Iy=∫(z'^2+x'2)dm,C=I'33=Iz=∫(x'^2+y'2)dm
ここでA,B,Cは主慣性モーメントと呼ばれます。
具体的なケースを見ましょう。
○板状の物体の場合:板面に直角にz軸をとり,板面内(z=0)に直角にx,y軸をとると,このx,y,z軸は慣性主軸となります。慣性モーメントは
Ix=∫y^2dm,Iy=∫x^2dm,Iz=∫(x^2+y^2)dm=Ix+Iy
○回転対称軸を持つ場合:回転対称軸をz軸にとり,それに直角にx,y軸をとるとx,y,z軸は慣性主軸となり,この場合Ix=Iy=∫(y^2+z^2)dm=∫(x^2+y^2)dmとなります。
ご質問のケースは回転対称軸をもつ場合にあたります。慣性モーメントを求める具体的な計算は力学のテキストを参照されるか,参考URLの力学のページを参照されればよいでしょう。

参考URL:http://www14.plala.or.jp/phys/

ヒントを。。。
力学のテキストをよくご覧になられると慣性テンソルは
I11=∫(y^2+z^2)dm,I12=-∫xydm,I13=-∫zxdm
I21=-∫xydm,I22=∫(z^2+x^2)dm,I23=-∫yzdm
I31=-∫zxdm,I32=-∫yzdm,I33=∫(x^2+y^2)dm
(ただしdm=ρdxdydz)と書かれていますね。ここで剛体に固定した新しい座標軸(慣性主軸)をうまく選んでやると非対角成分を0にすることができ(←主軸変換),この結果慣性テンソルは次のように簡単化されます。
A=I'11=Ix=∫(y'^2+z'2)dm,B=I'22=Iy=∫(z'^2+x'2)dm,C=I'33=Iz=∫(x'^2+y'2)dm
ここでA,...続きを読む

Q(∂U/∂V)_t=T(∂P/∂T)_v-P

大学の講義で (∂U/∂V)_t=T(∂P/∂T)_v-P
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Aベストアンサー

意味としてはマックスウェルの関係式と同じものですね。

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が完全微分である条件は

∂fx/∂y = ∂fy/∂x

という数学の定理。

より一般に,3変数なら

df = fx dx + fy dy + fz dz

fx, fy, fzをベクトルFの成分としたとき,dfが完全微分である条件は

rot F = 0

このとき,ベクトルFを導くスカラーポテンシャルφが存在し

F = grad φ

となるので,

fx = ∂φ/∂x,fy = ∂φ/∂y

したがって,冒頭の

∂fx/∂y = ∂fy/∂x

という条件は

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Q応力テンソル

応力テンソルってそもそもなんですか?教えて下さい。
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再びNo.1です。
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テンソルの主値すなわちd11,d22,d33の成分だけの応力テンソルによるものです。下記のHPを参照して下さい。

参考URL:http://topgun.gaea.kyushu-u.ac.jp/~kame/seismology/text/node12.html

Qrot H = j + ∂D/∂tの第2項

マクスウエルの4番目の式、rot H = j + ∂B/∂tの第2項のイメージについて質問です。
例えば平行平板コンデンサの電極に向かって電線から充電電流が流れて行く場合、電線の周囲に発生する磁場を決めるのが第1項でコンデンサの電極付近の磁場を決めるのが第2項になるのではないかと思うのですが、これは正しいでしょうか?
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正しくない場合、第1項、第2項のイメージを実感できる実例には、どのようなものがあるのでしょうか?

Aベストアンサー

>2)「∂D/∂tを無視したとき、コンデンサー回路などに対して、オームの法則が成り立つ」というのは、∂D/∂tはオームの法則で言うところの電流ではない、という意味だと捉えてよろしいでしょうか?

 そうです。∂D/∂tは真電流ではなく、従って荷電粒子の流れではありません。電場の時間変動に比例する量(比例定数は誘電率)です。しかしそれが磁場に対して、真電流と同じ効果を持つからには、∂D/∂tはたんなる数学的量ではなく、何らかの物理的実在を表していると考えざる得ない、というのが今の立場だと思います。それが、電磁場という物理的実在の電の側面を表している、という言い方です。

 お礼の1)(お礼を頂き、ありがとうございます)に関連するので、オームの法則について少し言わせて下さい。

 オームの法則はもちろん、オーム先生がR回路で導いたものです。R回路の電流は、起電力に比例し抵抗に逆比例する。抵抗は電線(導線)の長さに比例し、断面積に逆比例する、です。つまりオーム先生は最初から真電流の事しか相手にしていません。これは非常に良い近似である事が後にわかります(本当は電束電流∂D/∂tもあるから)。

 ところで、電池の+極から出発して-極にR回路を一周して戻った時、電圧は0になる必要がある事を、オームの法則の前半から導けます。そして導電材料が一様であれば、回路抵抗は導線の長さに比例するので、回路に沿った起電力の電圧降下は、回路長に比例する事を、後半から導けます。

 一方オームの法則と前後して、電圧とは、回路に沿った電場の積分値である事が知られます(積分パラメータは回路長)。従って電圧降下の傾きそのものが、電場だという事になります。電場の向きは、電圧降下を起こす方向、回路に沿った方向になり、導線内で電場は一定です。導線のような1次元材料でなく、3次元的に拡がった任意の導体内部の1点でも、局所的にこの状況が成り立つと仮定すると、導体材料内の任意の方向に対して、

  ρ j =E      (1)

が成り立ちます。ここでρは、3次元的に拡がった導体内部の一点で、「電流密度 j 」用に、回路抵抗値Rを、単位長さ単位断面積当たりに規格化した、電気抵抗率と言われる材料定数です。(Eは、その点での電場です)。ρとRには、オームの法則から、

  ρ=R・s/L

の関係があります。sは導線の断面積,Lは回路(一様抵抗)長です。ρの逆数σを電気伝導率と言い、(1)のρを移項して、

   j =σE      (2)

と書けるので、(2)より、3次元的な導体の各点の電流密度(真電流密度)は、その点に作用する電場に比例する、という結果になります。(2)が一般化されたオームの法則です。


>1)「実用回路では、 j に比べて∂D/∂tは非常に小さい」のは、細い電線とぶっとい電極とは太さが違うからと考えて良いのでしょうか?積分した∫jdsと、∫(∂D/∂t)dsは同じ値になるのではないかと思います。

 そうですよね。 j は電流「密度」であり、Dは正確には電束密度で、∂D/∂tは電束電流密度です。すいません。少し嘘を書きました。まず「電線内(導線内)」での j と∂D/∂tの大きさを比較しますが、コンデンサーの充電回路だと外部起電力(電池)Vがあって面倒なので、初期電圧V0で充電されたコンデンサーの放電回路で考えます。

 (2)から j は、電線内の電場Eに比例します。オリジナルのオームの法則から、E=V/Lです。ここでV<V0は、放電過程でのコンデンサーの電圧です。一方、電束電流密度は、

  ∂D/∂t=ε・dE/dt    (3)

と書けます。εは、電線の誘電率です。真空の誘電率をε0とすれば、実用的に導体と考えられる銅などの比誘電率χは、10~100程度なので、ε=10・ε0~100・ε0程度です。よって(2),(3)より、「導線内では」、

  |∂D/∂t|/| j |~ε/σ   (4)

が得られます。「~」は概ね等しいの意味です。(4)の根拠は、最も粗い近似として、|E|~|dE/dt|だろうです。例えば|E|の最大値に対して、大きすぎる|dE/dt|があったとすれば、その効果で|E|は最大値を超えたしまうはずだ、という発想で、物理では最も粗い近似として良く使われます。つまり、|dE/dt|≦k・max|E|となり、kは馬鹿みたいに大きくならないはずだ、という話です。

 そうすると(4)から、εとσの大きさ勝負です。MKSA単位系で言うと、ε0は10^(-12)程度なので、ε=10^(-11)~10^(-10)の範囲です。現実の金属でσは、10^8程度の大きさを持ちます。従って、

  |∂D/∂t|/| j |~10^(-18)   (5)

という事になり、|dE/dt|≦k・max|E|のkが多少大きかったところで焼け石に水であり、| j |に比較して、|∂D/∂t|は無視できるであろう、という話になります。(5)の比は、現実の物理的効果(結果は無次元)を表すので、MKSA単位系だけに限った話ではありません。どんな単位j系を採用しても、こうなります。ただしこれは、「電線内(導線内)に限った」話です。電線内に限れば、∂D/∂tは無視できます。


 次に極板間の電束電流です。コンデンサーの放電回路において、ある瞬間のコンデンサーの電圧Vに対し、導線内には、I=V/Rの真電流が流れます。それに対応して、コンデンサーの極板上には平均して、 j =I/Sの真電流の「電流密度」が存在します。Sは極板の面積です。この電荷移動の流れが、電線に集約されて放電が起き、電線の真電流 I を作ります。

 ここに「電束電流を含めた電荷保存則」を、極板体積に対する電荷量の流出入収支に適用すると、極板間には、 j =I/Sの電束電流密度がなければならない事になります。極板面積Sをかければ、電束電流 I =I/S×Sなので、極板間の電束電流は無視できない事になります。これが前回の「嘘」です。


 しかし実用回路において、コンデンサーの極板面積Sは、回路全体からみれば無視しうるものです。コンデンサーという「部品」は、回路全体からみれば小さいものだと思えませんか?。そうすると結局、回路全体としてはいたるところで電流 I が流れていた、という事になり、真電流,電束電流の違いを気にする必要はなくなります。電束電流の効果が、磁場に対して真電流と同じだからです。しかもコンデンサーの極板距離は、回路長に対してすごく短いのが普通です。


 以上が、実用回路理論の前提と思えます。 

>2)「∂D/∂tを無視したとき、コンデンサー回路などに対して、オームの法則が成り立つ」というのは、∂D/∂tはオームの法則で言うところの電流ではない、という意味だと捉えてよろしいでしょうか?

 そうです。∂D/∂tは真電流ではなく、従って荷電粒子の流れではありません。電場の時間変動に比例する量(比例定数は誘電率)です。しかしそれが磁場に対して、真電流と同じ効果を持つからには、∂D/∂tはたんなる数学的量ではなく、何らかの物理的実在を表していると考えざる得ない、というのが今の立場だと思います。...続きを読む

Q慣性テンソル

慣性テンソルや慣性乗積、慣性主軸について言葉で物理的に説明してくれませんか?行列の表示の仕方や、慣性テンソルの求め方は分かるのですが、物理的な意味がいまいち分かりません。どなたか教えて下さい!!

Aベストアンサー

>言葉で物理的に説明して<

テンソルを数行や数十行の文章で分からせる事ができるのならとっくに教科書がそう書いています。 「行列表示や求め方はできる」のなら初戦突破してるのでさらに場数を踏んで貴方の中で概念を築き上げましょう。
なお、
慣性乗積は、
例えば速度ベクトルVを適当な直交座標に射影した場合、座標軸の一本をVと一致させれば、他の軸への影は無いですよね、
性乗積はこの「他の座標への影」のようなもので、主軸をピタリと捉えればオールゼロで埋まる成分です。

Q流体力学:どこまでが流体か?

流体でせん断応力(摩擦力)はせん断速度のみに依存する。
固体(ゴムを含む)なら摩擦力は垂直効力のみに依存する。

じゃあ、その間はないのでしょうか?

水とかとろとろの流体なら摩擦力はせん断速度に比例するだろうし
ゴムみたいな流動性が無視できるものなら摩擦力は垂直効力に比例するとおもいます。

じゃあ、水とき片栗粉とか高分子みたいなどろどろの液体ならその間の性質をもっててもいいと思うんですが、どうなのでしょう???

ご存じの方がいたら教えていただけたら幸いです。

Aベストアンサー

当然ありますよ。レオロジーという分野がその辺を扱っています。

Qテンソル

数学や物理学の本を読んでもテンソルの
意味が良く分かりません。

高校のときに、読んだ数学の本で
テンソルとは、行列を高さの方向
(平面と垂直に)積み上げたものだ
というのを見たことがあります。

このような定義でいいのでしょうか。

Aベストアンサー

>テンソルとは、行列を高さの方向
>(平面と垂直に)積み上げたものだ

>このような定義でいいのでしょうか。

テンソル( Tensor )の定義は,この様なものではありません.

質問者さんの言う【テンソルとは、行列を高さの方向(平面と垂直に)積み上げたものだ】

は,定義というより,むしろ,テンソルの感覚的なイメージです.

テンソルを説明する文献などでは,いきなり,スカラー,ベクトル,計量テンソル,・・・,等の言葉で始まるものが多いので,勉学者は煙に巻かれるのです.

要するに,添え字を付けて書き分ける量を,テンソルと呼びます.

では,添え字さえ付ければ,何でもテンソルなのか? と言うと,そうではありません.

テンソルであるためには,ある性質(条件)を満たす必要があり,それを変換則と言います.

変換則を詳しく,ここで説明するわけにもいきませんので,テンソルと変換則の正確な定義は,下記のサイトで確認して下さい.

テンソル    Tensor   (PDF)
http://solid4.mech.okayama-u.ac.jp/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB.pdf

テンソルの概念
http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/TensorConcept/

>テンソルとは、行列を高さの方向
>(平面と垂直に)積み上げたものだ

>このような定義でいいのでしょうか。

テンソル( Tensor )の定義は,この様なものではありません.

質問者さんの言う【テンソルとは、行列を高さの方向(平面と垂直に)積み上げたものだ】

は,定義というより,むしろ,テンソルの感覚的なイメージです.

テンソルを説明する文献などでは,いきなり,スカラー,ベクトル,計量テンソル,・・・,等の言葉で始まるものが多いので,勉学者は煙に巻かれるのです.

要するに,添え字を...続きを読む

Q真空槽内の気圧と流入ガス量について! (流体力学だとおもいます)

卒業研究でスパッタをしているのですが
スパッタリングを行う場合
真空槽内にある一定量ガスを入れるわけですが
毎回スパッタ装置を使うたびにその気圧が違ってきます!

原因はおそらくその時の真空ポンプの能力の違いだと思っています・・・

そこで質問なのですが

流量Aでその時の真空槽内の気圧がBである状態と
流量Cでその時の真空槽内の気圧がBである状態はおなじである

ということはいえるでしょうか?

気圧さえ見ていれば流量は関係ないのか?ってことです

論文などを見るとだいたい気圧(Pa)で示してありますし
他の文献と比較するということからもこれでよいと自分では思っているのですが・・・

専門家の方の意見を聞きたいです お願いします

Aベストアンサー

スパッタで何をしているのかわかりませんが、気になったので一言。

(チャンバーの内の?)圧力(真空計の読み)が毎回違うとかいてありますが、それはどのレベルで違うのでしょうか?
また、おなじ流量とありますが、どのレベルでの同じ流量なのでしょうか?

真空計のゲージは何を数値化しているのでしょうか。
流量の単位はなんですか。

なぜ、チャンバーにガスをいれるか理解していらっしゃいますか?
(チャンバー内の圧力がパラメータとして文献にのっているか理解していらっしゃいますか?)

これらのことを考えると答えはおのずと出てくると思います。
実験は文献と同じ条件でもつかっている装置などにより結果が違ってくることもありなかなか大変だとおもいますが、がんばってください。


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