円の五心(内接円の内心、外接円の外心、傍接円の傍心、重心、垂心)の定義とその存在証明をしてください。
例えば、外接円の定義は「3つの線が一点で交わる」ですが、その定義の存在も証明してください。
なるべくかみくだいて教えていただけると嬉しいです。よろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

五心については、まず存在証明があって、それから「これを○心という」という流れと思っています。


だって、3本の線が1点で交わるってそもそも希有なことでしょ?
基本は、まず2本ひいて交点を作った後、その点を通る「第3の線」を考えて、それが角の2等分線なり垂線なりになっていることを示すわけです。

ということで、内心から簡単に。
△ABCにおいて、角Bと角Cの2等分線をひき、その交点をIとする。
IからAB,BC,CAに垂線をおろし、その足をそれぞれD,E,Fとする。
△BID≡△BIE, △CIE≡△CIF(直角三角形において斜辺と1鋭角が互いに等しい)のでID=IE=IF(対応辺)
よって△AID≡△AIF(直角三角形において斜辺と他の1辺が互いに等しい)から角IAD=角IAF
すなわちAIは角Aの2等分線となり、すなわち△ABCの3本の2等分線は1点で交わる。■(存在証明おわり)
→この点を内心という。(定義)
→Iを中心として半径ID(=IE=IF)の円を描くと、各辺が接線になることは(垂線なので)言えます。(内心に関する定理)

傍心は、はじめに引く線を「外角の」2等分線とすればあとはまったく同じ。

外心も、まず垂直2等分線を2本引いて、交点から第3の辺に垂線を引くと実はそれが垂直2等分線になるというお話。証明中で2等辺三角形が出来ていると思うので、外心の定理もOK。

重心はいろんな証明があるかもしれませんが、
△ABCにおいて、AB,ACの中点をそれぞれM,Nとし、BNとCMの交点をGとする。
GNを2倍に延長してG'という点をとると、四角形AGCG'は平行四辺形(対角線が互いに他を2等分する)ので、AG//G'C
またGはBG'の中点となっている。
AGを延長し、BCとの交点をPとすれば、△BCG'で中点連結定理の逆によりPはBCの中点、すなわちAPは中線となる。■(存在証明おわり)
→この点を重心という。(定義)
→再び△BCG'で中点連結定理を用いると、GP=(1/2)G'C=(1/2)AG(平行四辺形の対辺)(重心の定理)

垂心は垂線を2本ひくと、円が2つ出てきますので、共通弦を引いて円周角で角移動すれば・・・という流れになるのではないでしょうか?

#オイラー線(外心、重心、垂心は一直線にあって、2:1に内分)とかも必要なんでしょうか・・・?
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さすがに五心の一つ一つをここに説明するのは少々つらいし、読むのもつらいでしょうと思うので本を紹介します。



shi-changさんが中学生なのか高校生、大学生、社会人なのか知らないので

中学生の場合 SHORYUDO 新Aクラス中学幾何問題集 P93~ を参照(ただし存在証明なし) たいていのでかい本屋には置いてあります。今は知らんけど数年前は開成中学校で使用した問題集にもなってた。

高校生の場合 数学A(数(1)だったかな?私旧過程だから知らないけど)の問題集(それなりに分厚いの)になら出てるはずです。ただしこれも存在証明なし。
数式的な高校生的証明でよかったら、ベクトル使えばできるよ。
 載ってたか忘れたけど、科学新興社のモノグラフの幾何学、ベクトルだったかな?に載ってない? 

大学生の場合 古典幾何学という題名の本を大学図書館で片っ端から調べてみ。
 ユークリッド原論の公準(要請)、公理(共通概念)、定義から存在証明ができると思ったけど・・・
まさか現代幾何学で証明するわけじゃないよね?

この回答への補足

大学生なのです。。。しかもバリバリ文系の。それなのにレポートの課題になっていて、どうしていいやらわからなかったのでした。数学なんてもうどこかにおいてきちゃったし、授業もわかりにくいし。でもなるほど、古典幾何学というんですね。探してみます。が、果たしてレポートにできるのか?自分の数学力のなさがいやになります。とにかく、アドバイスありがとうございました。

補足日時:2002/01/06 10:51
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阪急神戸線沿線(十三~西宮北口)及び西宮周辺で、キャンプの燃料を安く購入したいのですが。

キャンプ用のガスやホワイトガソリンを安価で購入できるお店を探しています。
ガスは、プリムスとコールマン、ガソリンはコールマンを使用しています。
通勤に阪急神戸線を使っていますので、十三~西宮北口界隈か、西宮市周辺で良いお店がありましたら御紹介下さい。
よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

阪急西宮北口でしたらアウトドアショップ「テントス」があります。
http://www5f.biglobe.ne.jp/~tentos/です。
梅田でしたら大阪駅前第2ビル一階にIBS石井スポーツ
大阪駅前第3ビル一階に好日山荘
大坂駅前第4ビル二階にロッジ
大阪駅ギャレにモンベルほかアウトドアブランドショップが集中
しています。
消耗品はIBS石井で、ウェア・シューズ・ツールは好日山荘・ロッジで
ウェアの市場チェックはギャレでと目的別で使い分けしています。
参考になりますでしょうか。

Q円の内接外接の問題

4つの円が下の図のようにそれぞれ外接するとき
http://uploda.cc/img/img50ddde43444e3.png
下の二つの円A,Bを半径2、一番外の半径を5としたとき
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よろしくお願いします

Aベストアンサー

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Cの半径をrとすると
OA=OB=5-2=3
直角⊿OAHで三平方の定理を適用して
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CH=OH+OC=√5+5-r
CA=CB=CG+AG=r+2
直角⊿CAHで三平方の定理を適用して
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Q阪急西宮北口

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最近は西北利用していないので料金などわかりませんが。

便利になりました^^

Q三角形に内接または外接する円。

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Aベストアンサー

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http://www.app-pc-soft.jp/file10_5.html

後半:辺(線分)の垂直2等分線の描き方
http://www.app-pc-soft.jp/file10_1.html

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年末に西宮北口周辺で友人家族と会う予定です。
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http://r.tabelog.com/hyogo/rstdtl/28000122/
西館の地下にあるお店です。私も仕事終わりによく行ったお店のひとつです。OLさんや、若い女性のお客さんが多いです。
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Q円の内接外接の問題2

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正弦定理を使った解法を考えたのですが答えにたどり着けません
どなたかご教授いただけませんでしょうか?

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∠CAOをα、∠OABをβとおいて正弦定理の比率で表すと
とすると三角形ABCの正弦の比率が
r+2:sin(α+β)=4:sin(180-2α-2β)
三角形OBCの正弦の比率が
5-r:sinα=3:sin(90-α-β)
で表されるとおもいますがここからがわかりません…
あえていうなら三角形OABは三辺がわかっているので
sinβ=√5/3になりますが結局rが求まらないとsinαが求まらないような気がします
あとは加法定理とかで展開すれば消去してけるのかですかね…
ちなみに数Aの範囲なので加法定理は極力無しの方向で
(回答が正弦定理を用いるなら加法定理を使わないと求まらないとかならしょうがありませんが)

よろしくお願いします

4つの円が下の図のようにそれぞれ外接するとき
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∠CAOをα、∠OABをβとおいて正弦定理の比率...続きを読む

Aベストアンサー

>r+2:sin(α+β)=4:sin(180°-2α-2β)
>5-r:sinα=3:sin(90°-α-β)
>sinβ=√5/3
この3式と
α=∠CAO>0,β=∠OAB>0,<α+β<90°
の条件の下でαとβを消去してrだけの方程式
 2(7+√5)r-10√5-30=0
を導いて解けば
 r=5(4+√5)/11
が得られます。

>rが求まらないとsinαが求まらないような気がします。

rが求まれば
 sinα=2*(5-r)/(3*(r+2)) (0°<α<90°) 
に代入して sinαが求められます。

但し、上のように解くには
>あとは加法定理とかで展開すれば消去してけるのかですかね…
三角関数の性質、2倍角の公式、加法定理、sin^2 A+cos^2 A=1の公式を使えば解けます。

>ちなみに数Aの範囲なので加法定理は極力無しの方向で
加法定理を使わないと解けませんね。

>解答が正弦定理を用いるなら加法定理を使わないと求まらないとかならしょうがありませんが
その通りです。

数学Aの範囲では正弦定理を使う方法では解けないですね。
やはり、前の質問で僕が回答した3平方の定理を使って、rだけの方程式を立てて、解く方法がおすすめですね。

>r+2:sin(α+β)=4:sin(180°-2α-2β)
>5-r:sinα=3:sin(90°-α-β)
>sinβ=√5/3
この3式と
α=∠CAO>0,β=∠OAB>0,<α+β<90°
の条件の下でαとβを消去してrだけの方程式
 2(7+√5)r-10√5-30=0
を導いて解けば
 r=5(4+√5)/11
が得られます。

>rが求まらないとsinαが求まらないような気がします。

rが求まれば
 sinα=2*(5-r)/(3*(r+2)) (0°<α<90°) 
に代入して sinαが求められます。

但し、上のように解くには
>あとは加法定理とかで展開すれば消去してけるのかですかね…
三角関数の性質、2倍角の公式、加法定理、sin^2 A+...続きを読む

Q女性一人暮らし 三ノ宮or西宮北口or梅田

三ノ宮駅近くの勤務になり、引越しすることになりました。
引越し先を、三ノ宮と西宮北口と梅田で迷っております。

これまでに電車通勤経験はなく、常に勤務地まで徒歩や自転車でいける生活でした。
そのため、三ノ宮に住むことが日々の勤務には楽なのはわかっているのですが、大阪に友人が多いため大阪で遊びたい、飲みに行きたい、となると西宮北口や梅田がいいかなとも思います。

家賃は85000円程度。
休日は出かけたり旅行へ行くことが好きなのでアクセスがいいところ。
料理も好きなのでスーパーが充実していることなどが希望です。
通勤とプライベートも考えた上で、どこに住むのがいいかアドバイスいただけたら嬉しいです。


よろしくお願いします。

Aベストアンサー

阪急沿線なら西宮北口が、住環境、買い物とも充実。
夙川もお薦め。昔は女子高校・短大があった、お屋敷街としては非常に住みやすいと思います。
JRなら、西宮より尼崎の方が良いと思います。駅近くの物件なら、世間で言うほど治安は悪くないと思います。
買い物も至極便利ですし、関西の下町感出てます。

*通勤、休日のお出かけ、旅行でのアクセスでバランスが良いのはJR尼崎か甲子園口。なんと言っても、各停でも電車の速度が速い。JR西宮だと買い物の利便性で阪神西宮周辺になると思います。
*通勤、住環境、普段の買い物の利便性、阪急西宮北口。
*買い物の利便性と多様性重視なら、意外に阪神西宮もあり。良くないと思われがちな住環境もそこそこ良いし、市役所も近い。

Q重心と内心と外心と垂心の覚え方ってありますか?

どういう点が重心、内心、外心、垂心なのかというのを
覚えてはいるんですけどなんとなく一回確認しないと不安です。

どうやって確実に覚えたんですか?

Aベストアンサー

>どうやって確実に覚えたんですか?

ぱっと出るという意味でしょうか、それとも考えれば出てくるようにという意味でしょうか?

後者だとして

それぞれ定義に戻れば確実です。

例えば重心については、物理的なものをイメージすれば楽です。

 つまり、図の三角形ではなく、紙とか煎餅とか重さのあるものです。面積が同じなら重さが同じなので、面積を同じにする線上に重心があるというわけです。

内心は、3辺から等距離なので、2辺から等距離の線の交点、2辺からの等距離はすなわち角の2等分線

外心は、同じ円周上に3点、つまりそれぞれ隣り合う2点と等距離の場所に外心がある。なので、垂直二等分線の交点

Q阪急西宮北口・JR尼崎、子育てするなら?

質問させて下さい。

年長の女の子と、5ヶ月の赤ちゃんがいます。

現在茨木市に住んでいるのですが、
主人の仕事先が尼崎市にあり通勤が大変な為、
子どもが来年小学校に上がるので、
この機会に阪急西宮北口かJR尼崎に引っ越しを考えています。

車通勤なので、どちらの駅でも15~20分ほどで会社に着きます。

阪急西宮北口なら北口町、JR尼崎なら潮江で、
どちらも駅から徒歩5分以内の物件が候補に挙がっています。

近くにショッピングセンターや病院などあり、親の私たちは問題ないのですが、

子育てするには?
この2つの地域に住んでいる知り合いがいない為わかりません。

いろいろ調べてみたのですが、悩んでいます。

ささいな事でも構いませんので、よろしくお願い致します。 

Aベストアンサー

西宮在住です。西北の方が私はお勧めします。私は西北からひと駅の門戸厄神という駅の近くに住んでいますが、色々な意味で住みやすいですよ。
JR尼崎の近辺は、治安はあまり良くありませんよ。ただ尼崎市の方が住民税は安いようです。
工場にかんしては、西北にも、伊藤ハムや、アサヒビールなどあるのはあります。no.5さんもおっしゃていますが、西北周辺でもあまり土地柄が良くないところもあります。阪急神戸線か、JR甲子園口方面をお勧めします。
また、西宮市は待機児童人数がかなり多いです。
そのあたりを差し引いても西宮の方が良いと私は思っています。

Q空間図形の外接、内接球について

一辺の長さが2の正四面体について
(い)正四面体に外接する球の表面積を求めよ
(ろ)正四面体に内接する球の体積を求めよ
(は)外接球、内接球の表面積の比と体積の比を求めよ

解説お願いします

Aベストアンサー

図のように正四面体の特徴点にA,B,C,D,M,H,Oを割りふる。
Mは辺CDの中点、△BCD⊥AH、AO=BO=CO=DO=R(外接球の半径)とします。

(い)
 AM=BM=√3, HM=1/√3, AH=√{AM^2-HM^2}=√{3-(1/3)}=2√6/3
 BH=(2/3)BM=2√3/3,

 BH^2+(AH-R)^2=R^2
 4/3+(2√6/3-R)^2=R^2
 4/3+8/3-4R√6/3=0
 R=√6/2
 外接球の表面積S=4πR^2=6π

(ろ)
正四面体の体積V1=(底面積)*AH/3=CM*BM*AH/3
=1*√3*(2√6/3)/3=2√2/3 ...(A)
△BCD=CM*BM=1*√3=√3
内接円の半径をrとすると正四面体の体積V1は
 V1=4*三角錐OBCD=4*△BCD*r/3=4r√3/3 ...(B)
(B)=(A)とおいて
 4r√3/3=2√2/3 ∴r=1/√6
内接球の体積v=(4/3)πr^3=(4/3)π/(6√6)=π√6/27

(は)
内接球の表面積をs, 外接球の体積をVとすると
表面積の比S:sは
 s=S*(r/R)^2 より
 S:s=1:(r/R)^2=1:{(1/√6)/(√6/2)}^2=1:(1/9)=9:1

体積の比S:sは
 V=v*(R/r)^3  より
 V:v=(R/r)^3:1={(√6/2)/(1/√6)}^3:1=27:1

図のように正四面体の特徴点にA,B,C,D,M,H,Oを割りふる。
Mは辺CDの中点、△BCD⊥AH、AO=BO=CO=DO=R(外接球の半径)とします。

(い)
 AM=BM=√3, HM=1/√3, AH=√{AM^2-HM^2}=√{3-(1/3)}=2√6/3
 BH=(2/3)BM=2√3/3,

 BH^2+(AH-R)^2=R^2
 4/3+(2√6/3-R)^2=R^2
 4/3+8/3-4R√6/3=0
 R=√6/2
 外接球の表面積S=4πR^2=6π

(ろ)
正四面体の体積V1=(底面積)*AH/3=CM*BM*AH/3
=1*√3*(2√6/3)/3=2√2/3 ...(A)
△BCD=CM*BM=1*√3=√3
内接円の半径をrとすると正四面体の体積V1は
 V1=4*三角錐OBCD=4*△BCD*r/3=4r√3/3 ...(...続きを読む


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