円の五心(内接円の内心、外接円の外心、傍接円の傍心、重心、垂心)の定義とその存在証明をしてください。
例えば、外接円の定義は「3つの線が一点で交わる」ですが、その定義の存在も証明してください。
なるべくかみくだいて教えていただけると嬉しいです。よろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

五心については、まず存在証明があって、それから「これを○心という」という流れと思っています。


だって、3本の線が1点で交わるってそもそも希有なことでしょ?
基本は、まず2本ひいて交点を作った後、その点を通る「第3の線」を考えて、それが角の2等分線なり垂線なりになっていることを示すわけです。

ということで、内心から簡単に。
△ABCにおいて、角Bと角Cの2等分線をひき、その交点をIとする。
IからAB,BC,CAに垂線をおろし、その足をそれぞれD,E,Fとする。
△BID≡△BIE, △CIE≡△CIF(直角三角形において斜辺と1鋭角が互いに等しい)のでID=IE=IF(対応辺)
よって△AID≡△AIF(直角三角形において斜辺と他の1辺が互いに等しい)から角IAD=角IAF
すなわちAIは角Aの2等分線となり、すなわち△ABCの3本の2等分線は1点で交わる。■(存在証明おわり)
→この点を内心という。(定義)
→Iを中心として半径ID(=IE=IF)の円を描くと、各辺が接線になることは(垂線なので)言えます。(内心に関する定理)

傍心は、はじめに引く線を「外角の」2等分線とすればあとはまったく同じ。

外心も、まず垂直2等分線を2本引いて、交点から第3の辺に垂線を引くと実はそれが垂直2等分線になるというお話。証明中で2等辺三角形が出来ていると思うので、外心の定理もOK。

重心はいろんな証明があるかもしれませんが、
△ABCにおいて、AB,ACの中点をそれぞれM,Nとし、BNとCMの交点をGとする。
GNを2倍に延長してG'という点をとると、四角形AGCG'は平行四辺形(対角線が互いに他を2等分する)ので、AG//G'C
またGはBG'の中点となっている。
AGを延長し、BCとの交点をPとすれば、△BCG'で中点連結定理の逆によりPはBCの中点、すなわちAPは中線となる。■(存在証明おわり)
→この点を重心という。(定義)
→再び△BCG'で中点連結定理を用いると、GP=(1/2)G'C=(1/2)AG(平行四辺形の対辺)(重心の定理)

垂心は垂線を2本ひくと、円が2つ出てきますので、共通弦を引いて円周角で角移動すれば・・・という流れになるのではないでしょうか?

#オイラー線(外心、重心、垂心は一直線にあって、2:1に内分)とかも必要なんでしょうか・・・?
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さすがに五心の一つ一つをここに説明するのは少々つらいし、読むのもつらいでしょうと思うので本を紹介します。



shi-changさんが中学生なのか高校生、大学生、社会人なのか知らないので

中学生の場合 SHORYUDO 新Aクラス中学幾何問題集 P93~ を参照(ただし存在証明なし) たいていのでかい本屋には置いてあります。今は知らんけど数年前は開成中学校で使用した問題集にもなってた。

高校生の場合 数学A(数(1)だったかな?私旧過程だから知らないけど)の問題集(それなりに分厚いの)になら出てるはずです。ただしこれも存在証明なし。
数式的な高校生的証明でよかったら、ベクトル使えばできるよ。
 載ってたか忘れたけど、科学新興社のモノグラフの幾何学、ベクトルだったかな?に載ってない? 

大学生の場合 古典幾何学という題名の本を大学図書館で片っ端から調べてみ。
 ユークリッド原論の公準(要請)、公理(共通概念)、定義から存在証明ができると思ったけど・・・
まさか現代幾何学で証明するわけじゃないよね?

この回答への補足

大学生なのです。。。しかもバリバリ文系の。それなのにレポートの課題になっていて、どうしていいやらわからなかったのでした。数学なんてもうどこかにおいてきちゃったし、授業もわかりにくいし。でもなるほど、古典幾何学というんですね。探してみます。が、果たしてレポートにできるのか?自分の数学力のなさがいやになります。とにかく、アドバイスありがとうございました。

補足日時:2002/01/06 10:51
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よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

阪急西宮北口でしたらアウトドアショップ「テントス」があります。
http://www5f.biglobe.ne.jp/~tentos/です。
梅田でしたら大阪駅前第2ビル一階にIBS石井スポーツ
大阪駅前第3ビル一階に好日山荘
大坂駅前第4ビル二階にロッジ
大阪駅ギャレにモンベルほかアウトドアブランドショップが集中
しています。
消耗品はIBS石井で、ウェア・シューズ・ツールは好日山荘・ロッジで
ウェアの市場チェックはギャレでと目的別で使い分けしています。
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4つの円が下の図のようにそれぞれ外接するとき
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下の二つの円A,Bを半径2、一番外の半径を5としたとき
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よろしくお願いします

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という質問を昨日投稿しましておかげさまで問題は解けたのですが
解答の一つに正弦定理を使って比率で解けると言う話がでてたのがありまして
正弦定理を使った解法を考えたのですが答えにたどり着けません
どなたかご教授いただけませんでしょうか?

一応考えたところまで記載しておくと
∠CAOをα、∠OABをβとおいて正弦定理の比率で表すと
とすると三角形ABCの正弦の比率が
r+2:sin(α+β)=4:sin(180-2α-2β)
三角形OBCの正弦の比率が
5-r:sinα=3:sin(90-α-β)
で表されるとおもいますがここからがわかりません…
あえていうなら三角形OABは三辺がわかっているので
sinβ=√5/3になりますが結局rが求まらないとsinαが求まらないような気がします
あとは加法定理とかで展開すれば消去してけるのかですかね…
ちなみに数Aの範囲なので加法定理は極力無しの方向で
(回答が正弦定理を用いるなら加法定理を使わないと求まらないとかならしょうがありませんが)

よろしくお願いします

4つの円が下の図のようにそれぞれ外接するとき
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どなたかご教授いただけませんでしょうか?

一応考えたところまで記載しておくと
∠CAOをα、∠OABをβとおいて正弦定理の比率...続きを読む

Aベストアンサー

>r+2:sin(α+β)=4:sin(180°-2α-2β)
>5-r:sinα=3:sin(90°-α-β)
>sinβ=√5/3
この3式と
α=∠CAO>0,β=∠OAB>0,<α+β<90°
の条件の下でαとβを消去してrだけの方程式
 2(7+√5)r-10√5-30=0
を導いて解けば
 r=5(4+√5)/11
が得られます。

>rが求まらないとsinαが求まらないような気がします。

rが求まれば
 sinα=2*(5-r)/(3*(r+2)) (0°<α<90°) 
に代入して sinαが求められます。

但し、上のように解くには
>あとは加法定理とかで展開すれば消去してけるのかですかね…
三角関数の性質、2倍角の公式、加法定理、sin^2 A+cos^2 A=1の公式を使えば解けます。

>ちなみに数Aの範囲なので加法定理は極力無しの方向で
加法定理を使わないと解けませんね。

>解答が正弦定理を用いるなら加法定理を使わないと求まらないとかならしょうがありませんが
その通りです。

数学Aの範囲では正弦定理を使う方法では解けないですね。
やはり、前の質問で僕が回答した3平方の定理を使って、rだけの方程式を立てて、解く方法がおすすめですね。

>r+2:sin(α+β)=4:sin(180°-2α-2β)
>5-r:sinα=3:sin(90°-α-β)
>sinβ=√5/3
この3式と
α=∠CAO>0,β=∠OAB>0,<α+β<90°
の条件の下でαとβを消去してrだけの方程式
 2(7+√5)r-10√5-30=0
を導いて解けば
 r=5(4+√5)/11
が得られます。

>rが求まらないとsinαが求まらないような気がします。

rが求まれば
 sinα=2*(5-r)/(3*(r+2)) (0°<α<90°) 
に代入して sinαが求められます。

但し、上のように解くには
>あとは加法定理とかで展開すれば消去してけるのかですかね…
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解説お願いします

Aベストアンサー

図のように正四面体の特徴点にA,B,C,D,M,H,Oを割りふる。
Mは辺CDの中点、△BCD⊥AH、AO=BO=CO=DO=R(外接球の半径)とします。

(い)
 AM=BM=√3, HM=1/√3, AH=√{AM^2-HM^2}=√{3-(1/3)}=2√6/3
 BH=(2/3)BM=2√3/3,

 BH^2+(AH-R)^2=R^2
 4/3+(2√6/3-R)^2=R^2
 4/3+8/3-4R√6/3=0
 R=√6/2
 外接球の表面積S=4πR^2=6π

(ろ)
正四面体の体積V1=(底面積)*AH/3=CM*BM*AH/3
=1*√3*(2√6/3)/3=2√2/3 ...(A)
△BCD=CM*BM=1*√3=√3
内接円の半径をrとすると正四面体の体積V1は
 V1=4*三角錐OBCD=4*△BCD*r/3=4r√3/3 ...(B)
(B)=(A)とおいて
 4r√3/3=2√2/3 ∴r=1/√6
内接球の体積v=(4/3)πr^3=(4/3)π/(6√6)=π√6/27

(は)
内接球の表面積をs, 外接球の体積をVとすると
表面積の比S:sは
 s=S*(r/R)^2 より
 S:s=1:(r/R)^2=1:{(1/√6)/(√6/2)}^2=1:(1/9)=9:1

体積の比S:sは
 V=v*(R/r)^3  より
 V:v=(R/r)^3:1={(√6/2)/(1/√6)}^3:1=27:1

図のように正四面体の特徴点にA,B,C,D,M,H,Oを割りふる。
Mは辺CDの中点、△BCD⊥AH、AO=BO=CO=DO=R(外接球の半径)とします。

(い)
 AM=BM=√3, HM=1/√3, AH=√{AM^2-HM^2}=√{3-(1/3)}=2√6/3
 BH=(2/3)BM=2√3/3,

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英語の本を読んでるとき、感動しているあたなの心の中の声は、
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私は普段から英語で独り言を言うこともよくあるので、英語の本やメディアに接しているときの心の声が英語であることも多いですね。夢も英語で見ることがよくあります。
昔聞き取れなかった歌のフレーズ(音の塊)が頭に鳴り響いていて、ある日突然、その音の塊が単語に分解されて、ああこの歌詞ってこういっていたのか!!と夢の中で気付くこともあります。

多分年齢的に私はあなたとそれほど違いがないでしょう。でも語学にスタートが早い・遅いはあまりないと思っています。大人になってから勉強を始めたか、子どものうちから始めたかの違いはあるでしょうけれど。

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それぞれ定義に戻れば確実です。

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内心は、3辺から等距離なので、2辺から等距離の線の交点、2辺からの等距離はすなわち角の2等分線

外心は、同じ円周上に3点、つまりそれぞれ隣り合う2点と等距離の場所に外心がある。なので、垂直二等分線の交点


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