私の本(岩波)によると

e[n](t)≡exp(i・2・π・n・t)とし
f(t)=f(t+1)(∀t∈R)とし
F[n]≡∫(t∈[0,1])dt・f(t)・e[-n](t)としたとき

「f(t)がC^1級であれば
Σ(n∈Z)・F[n]・e[n](t)がf(t)に一様収束する」
とあり
「f(t)が区分的にC^1級であれば
Σ(n∈Z)・F[n]・e[n](t)が(f(t-0)+f(t+0))/2に各点収束する」
とありますが

(1)「フーリエ級数の一様収束」のもっと緩い条件を教えてください
(2)「フーリエ級数の各点収束」のもっと緩い条件を教えてください

(1)と(2)のどちらでもいいです

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A 回答 (5件)

 ご質問の目的が、反転可能条件の証明の理解にあるのか、それとも応用にあるのか、がどうもはっきりしませんでした。

コメントを見る限りどうやら応用の方らしい、とあたりをつけたのですが…
 ごく普通の応用では区分的C1級で十分だろうから、緩い条件を追求している易しい本、ってことになるとなかなか見つからないんじゃないでしょうか。関数解析の基礎が一通り要求されますしね。

 ご質問では、xでf(x)が不連続のとき、(f(x+0)+f(x-0))/2に収束するのを「元に戻った」うちに含めていらっしゃるように読めて、するとa.e.の意味で反転可能ならそれで構わないと仰っているようにも受け取れます。そういう意味で良いのならDiniの条件を持ち出すまでもない。
 たとえば「数学ハンドブック」(森北出版)では、
  Dirichletの条件:
  (1) 1周期分の区間を有限個の区間に分け、各区間内でf(x)が連続かつ単調であるようにできる。
  (2) f(x)の不連続点tに於いては、f(t+0)とf(t-0)が存在する。
  を共に満たすとき、フーリエ級数は
  xでf(x)が連続のとき f(x)に、
  xでf(x)が不連続のとき、(f(x+0)+f(x-0))/2に
  収束する。
という判別法だけが取り上げられています。これは先刻ご承知の条件だろうと思うのですが、特にへんてこな関数を相手にしない限り、測度零の集合を無視してa.e.の意味での反転可能性を問うのなら、これでたいがい間に合う。(つまり予め、値が飛んでいるところを、両側の極限値で埋めて連続・単調にしておけば良い。)

 この先を追求するとなると、関数のいろんな分類を細かく調べていく必要があり、どんどん話が難しくなる。一方で、実用性のない数学には興味なし、と仰っているので、バランスを量りかねています。
 まずは「数学辞典」(岩波)を当たって、Fourier級数の項で、Jordanの条件、Dirichletの条件、Diniの条件、Lebesgueの条件、Dini-Lipschitzの条件を一通りご覧になっては如何でしょうか。

 実用上重要で、しかもここに含まれていないのは、f(x)を超関数として扱う場合だけ(a.e.では話にならない。δ(x)=0 a.e. ですからね。)のように思われます。たとえば関数値が無限大に吹っ飛んでいる特異点を含めてきちんと扱いたければ、((sin x)^(-2)の例で示したように)その関数を超関数として定義しなおす必要が出てきます。
 そして実用的な超関数のフーリエ解析は、「ふるい方式」が最も便利だと考えています。つまり、フーリエ級数或いはフーリエ変換を使って超関数を定義することで、超関数をフーリエ変換したものが普通の関数として扱える、そういう超関数だけに話を限ってしまう。そうしても、大抵の応用には十分です。この方向での易しい本としては、MJライトヒル「フーリエ解析と超関数」(ダイヤモンド社)(絶版)を知っています。
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Diniの条件、書き間違いです。


∫|(f(x+u)+f(x-u)-c)|/u du
じゃなくて
∫|(f(x+u)+f(x-u)-2c)|/u du
でした。
「任意の有限区間で可積分な周期2πの関数fについて、或る正定数δ(δ<π)と或るcに対して、∫|(f(x+u)+f(x-u)-2c)|/u du (積分は0~δ)が収束するならば、fのFourier級数はxにおいてcに収束する。」
ここでcが必ずしもf(x)と一致するとは言っていません。

(1)連続の場合、f(t)についてt→x+0とt→x-0がどんなxについても存在していて、両者は一致するから、Diniの条件は2c=f(x+0)+f(x-0)=2f(x)で満たされます。

(2)有限個の点を除いて連続で有界、(3)有限個の点を除いて連続、はどうでしょうね。
例えば
f(x)= (if x=0.5 then 1 else 0)
という関数は(2)、(3)を満たしますけど、a.e.の意味でf(x)=0であり、こいつは元に戻りません。Diniの条件を満たすのはx=0.5に於いてはc=0ってことです。だから(2)の場合、任意のxについて、f(x+0)もしくはf(x-0)がf(x)に一致することが必要でしょう。それだったら旨く行きますね。なお、段差がある所では、有限の項を足し算しているうちはどこまで行っても元の関数に近づいてくれない、というケッタイな性質(Gibbsの現象)があります。無限項の総和を取って初めて収束する。だからもっとおとなしく収束するように総和法の方をいじってやることがあります。(発散級数論です。)

(3)の場合、例えば (sin 2πx)^(-2)という関数は超関数の意味で反転可能です。フーリエ級数は(定数倍を無視して)F[n]=|n|となり、x=0においては普通の意味では総和が取れません。そしてF[0]=0ですから、反転した関数は-1/2~1/2まで積分すると0になる。これを元に戻ったと言うかどうか、微妙な所です。
 こういう例は無用とお考えかもしれないけれど、X線CTに使われる「投影からの再構成(reconstruction from projections)」では必須の超関数です。

どうもピント外れですいませんね。

この回答への補足

私はギッブスの現象を間違って理解していて
あのひげは項数が小さいうちはしぶとく残っていてなかなか取れないだけで
どんどん増やしていけばなくなるだと長年思っていました
あのひげはいわゆる「魔女の帽子関数」のように極限でも残っているんですね
今回読んだフーリエ級数の本で知って目から鱗が落ちました
しかしこの本は収束条件が区分的にc1級であるということしかのっていなくて
ちょっと狭すぎやしないかと思って質問してみたのです
その本は
「岩波講座現代数学の基礎 実関数とfourier解析1(高橋陽一郎著)」
です
diniなんかも載っていて分かりやすくていい本があったら教えてください

補足日時:2002/01/10 03:45
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 あらゆる点で「元の関数に戻る」ことを要求するのなら、要するに「フーリエ合成で作った関数の集合」が答でしょう。

逆に言えば、想定する空間における任意の(つまりあらゆる)関数を持ってきて、フーリエ展開し、再度合成したもの(収束しないのは捨てる)を作れば、こいつは以後、フーリエ展開・合成で元に戻る。そういう完備部分空間への射影をしたことになります。でもこれじゃ酷い。

 sineとcosineを直交系として選ぶ古典的Fourier級数について言うなら、Diniの判別条件:
「任意の有限区間で可積分な周期2πの関数fについて、或る正定数δ(δ<π)と或るcに対して、∫|(f(x+u)+f(x-u)-c)|/u du (積分は0~δ)が収束するならば、fのFourier級数はxにおいてcに収束する。」などがあります。(C1級関数の反転性はこの条件から直ちに出ますね。)
 あるいはalmost everywhereで良いのならば、たとえば、
可測関数fは、∃p(1<p<∞∧∫|f(x)|^p dx (積分は-π~π)が収束する)→(f(x)のFourier級数はf(x)に収束する。)
p=1の場合にはもっと条件がきつくなります。
 さらに、ご承知とは思いますが、フーリエ級数というのは何も古典的Fourier級数に決まったものじゃありません。想定する内積空間、直交系、総和法ごとに様々なフーリエ級数が考えられる。そういう意味での収束性・反転性の議論なら、フーリエ解析のきちんとした教科書を見た方が良いと思います。

というような話なんでしょうか?

この回答への補足

私は世のため人のためにならない数学は道楽だと思っているので
実用的な関数と予測可能な条件に限定したいと思います
ふるい法は試行錯誤なのでoutです
質問にあるようにフーリエ級数は狭い意味のものです

そしてfの条件は
(1)[0,1]において連続な関数
(2)[0,1]において有限個の点を除いて連続で有界な関数
(3)[0,1]において有限個の点を除いて連続な関数
に限定したいと思います
diniの条件と(1)の条件を満たせばfのフーリエ級数はfの左右極限の平均に一様収束するのですか?
diniの条件と(1or2or3)の条件を満たせばfのフーリエ級数はfの左右極限の平均に単純収束するのですか?

それより狭くなってもいいのですが他にも煩雑でない条件はありますか?

よろしくお願いします

補足日時:2002/01/09 23:07
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この回答へのお礼

補足修正します

私は世のため人のためにならない数学は道楽だと思っているので
実用的な関数と予測可能な条件に限定したいと思います
ふるい法は試行錯誤なのでoutです
質問にあるようにフーリエ級数は狭い意味のものです

そしてfの条件は
(1)[0,1]において連続な関数
(2)[0,1]において有限個の点を除いて連続で有界な関数
(3)[0,1]において有限個の点を除いて連続な関数
に限定したいと思います
diniの条件と(1)の条件を満たせばfのフーリエ級数はfに一様収束するのですか?
diniの条件と(1or2or3)の条件を満たせばfのフーリエ級数はfの左右極限の平均に単純収束するのですか?

それより狭くなってもいいのですが他にも煩雑でない条件はありますか?

よろしくお願いします

お礼日時:2002/01/10 01:59

拡張の仕方はいろいろありそうな気がしますんで、どうも、具体的に何を求めていらっしゃるのか、やっぱり分かりません。

もうちょっと、ヒント。

この回答への補足

例えばパーセバルの等式はもっと緩い条件で成立しますね
しかしその緩い条件では級数はかならずしも元の関数に収束しませんね
元の関数に収束するという条件付きでどの程度まで条件を緩めることができるかを知りたいのです
c1級ならokでも区分的に連続ではもはやoutですね
その辺のところを知りたいのです
どうぞよろしくお願いします

補足日時:2002/01/09 04:46
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「もっと緩い」ってのがどうも的が絞れないんですが、例えば超関数のフーリエ級数の話と解釈するのはご質問の意図に合っていますでしょうか

この回答への補足

いや、リーマンでもルベーグでもシュワルツでも何でも結構です
当初の趣旨はリーマンの範囲だったのですが広げていただいて結構です
よろしくお願いします
m(00)m

補足日時:2002/01/07 18:56
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この回答へのお礼

リーマンで結構です
m(oo)m m(oo)m

お礼日時:2002/01/08 03:23

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[証]
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c_k (k=0,1,2,…)をf(x)の{φ_n(x)}に於ける[a,b]でのフーリエ係数とすると
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(但し,L:=Σ[n=1..∞]√n/(1+nx)^2)
(ii) x=1の時
0<∀ε∈R,∃n_2∈N;(∀x,n_2<n⇒|Σ[k=1..n]√k/(1+kx)^2-L|<ε)
(iii) x>1の時
0<∀ε∈R,∃n_3∈N;(∀x,n_3<n⇒|Σ[k=1..n]√k/(1+kx)^2-L|<ε)
を示し,n_0:=max{n_1,n_2,n_3}と採れば
0<∀ε∈R,∀x∈[a,∞),n_0<n⇒|Σ[k=1..n]√k/(1+kx)^2-L|<ε
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(1+nx)^2≧(1+na)^2
      =1+2na+n^2a^2
      ≧n^2a^2

であるから、

Σ[n=1…∞](√n)/(1+nx)^2≦Σ[n=1…∞](√n)/(na)^2
                 ≦1/a^2Σ[n=1…∞](√n)/n^2
                 =1/a^2Σ[n=1…∞]1/n^(3/2)

Σ[n=1…∞]1/n^(3/2)は収束するから、Weierstrassの優級数の定理よりΣ[n=1…∞](√n)/(1+nx)^2は一様収束する。


(0,∞)で一様収束しないこと

一様収束すると仮定する。十分小さい任意のε>0に対して、適当な番号N>0が存在する。
N<nに対して、x=1/(2n)とすると

Σ[k=n+1…2n](√k)/(1+k・1/(2n))^2≧Σ[k=n+1…2n](√k)/(1+2n・1/(2n))^2
                      ≧n×(√(n+1))/4
                      >ε

となって矛盾となる。
したがって、Σ[n=1…∞](√n)/(1+nx)^2は(0,∞)で一様収束しない。


※一般的に関数列の一様収束性を定義に基づいて示すことは困難です。そのため、Weierstrassの優級数の定理等を用いて示すのが常道です。(0,∞)で一様収束しないことを示すのにはCauchy列の条件を使っています。
質問者さんがしっかり勉強してくれることを望みます。

こんばんは。#1さんが指摘されていらっしゃるように、質問者さんの回答は定義を書いているだけです。この方針で回答を導くのは無理だと思います。

[a,∞)で一様収束すること

任意のx∈[a,∞)に対して

(1+nx)^2≧(1+na)^2
      =1+2na+n^2a^2
      ≧n^2a^2

であるから、

Σ[n=1…∞](√n)/(1+nx)^2≦Σ[n=1…∞](√n)/(na)^2
                 ≦1/a^2Σ[n=1…∞](√n)/n^2
                 =1/a^2Σ[n=1…∞]1/n^(3/2)

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です。


"p>1の時Σ[n=1..∞]1/n^pは収束,p<1の時発散"より
0<b<cに於いてΣ[k=1..n]1/k^(1+c)<Σ[k=1..n]1/k^(1+b)だから
Σ[k=1..∞]1/k^(1+c)<Σ[k=1..∞]1/k^(1+b)

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0<∀ε∈R,∃L∈N;(L<m<n,x∈[a,∞)⇒|Σ[k=m+1..n]1/k^(1+x)|≦ε)

はご存知ですか?この事柄を使えば

(1)[a,∞) で一様収束すること
∀x∈[a,∞) に対して 1/k^{1+x}≦1/k^{1+a} かつ
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(2)(0,∞) で一様収束しないこと
(0,∞) で一様収束すると仮定する。∀ε>0 に対して十分大なる自然数Nが存在するが、xとしてN<n なる任意のnに対して

x < (log(n/ε)/log2n)-1

となるようにxを選べば

Σ[k=n…2n]1/k^{1+x} > n/(2n)^{1+x} > ε

となり矛盾となる。したがって (0,∞) で一様収束しない。

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この和を求める事ができず途方に暮れてます。

どのようにして非一様収束である事が示せますでしょうか?

Aベストアンサー

元の課題は一様収束しないことを示すことですから、ε > 0 に対してどんなに大きな n を持ってきても |fn(x) - f(x)|<εとはならない x が定義域内に存在することを示せばよいですよね。それで、
lim[x→1] |fn(x) - f(x)| = ∞
なので、x = 1 近傍で |fn(x) - f(x)| > ε を示せるだろうと思った次第です。

で、考えてみたのですが、イマイチかな・・・。

任意の n と 0 < x < 1 に対して、m > n とすると、
|fn(x) - f(x)| = Σ[k=n+1,∞] k x^k / (k^2 + 1)
> Σ[k=n+1,m] k x^k / (k^2 + 1)
> x^m Σ[k=n+1,m] k / (k^2 + 1) ・・・ (*)
ここで、
Σ[k=n+1,m] k / (k^2 + 1) > ∫y/(y^2+1) dy  (積分範囲は y=n+1 から m+1)
より、任意の ε > 0 に対して
Σ[k=n+1,m] k / (k^2 + 1) > 1 + ε
となる m が存在する(つまり ∫y/(y^2+1) dy > 1 + ε となる m が存在)。この m について (*) より |fn(x) - f(x)| > (1 + ε) x^m であるから、
{ε/(1 + ε)}^(1/m) < x < 1  において  |fn(x) - f(x)| > (1 + ε) x^m > ε

m の存在をちゃんと確認したかったら、
∫y/(y^2+1) dy  (積分範囲は y=n+1 から m+1)
= (1/2) { log((m+1)^2 +1) - log((n+1)^2 + 1) } > 1 + ε
を解いて、
m > { ((n+1)^2 + 1) e^(2(1 + ε)) - 1 } ^ (1/2)
あまり簡単な式ではないけれど、確認すると確かにこんなところらしいです。

もっとスマートに示せるようにも思えます。考えてみてください。

元の課題は一様収束しないことを示すことですから、ε > 0 に対してどんなに大きな n を持ってきても |fn(x) - f(x)|<εとはならない x が定義域内に存在することを示せばよいですよね。それで、
lim[x→1] |fn(x) - f(x)| = ∞
なので、x = 1 近傍で |fn(x) - f(x)| > ε を示せるだろうと思った次第です。

で、考えてみたのですが、イマイチかな・・・。

任意の n と 0 < x < 1 に対して、m > n とすると、
|fn(x) - f(x)| = Σ[k=n+1,∞] k x^k / (k^2 + 1)
> Σ[k=n+1,m] k x^k / (k^2 + 1)
> x^m...続きを読む


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