アキレスと亀のパラドクスの解決方法(無限等比級数や無限論を使った)を教えてください。

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A 回答 (7件)

 アルツハイマーのアイディアをお笑い下さい。


問題を具体化且単純化してしまいます。
 場は直線上。アキレスと亀の速さは10m/s,5m/sとする。
 亀が1000m先行した後でアキレスがスタートしたとする(勿論同一地点から、亀がスタートしてから200s後)。
 after 300s,スタート地点から1000m地点にアキレスが到着した時、亀は 500m先に居る。アキレスが其処へ50s後に到着した時、  亀は250m先に居る。
 以下同様に進行するとする。勿論それぞれの速さは不変と前提。
 問題は何時までもアキレスは亀に追いつけないとするのが無理であること を示すことにある。
 スタートしてからの経過時間をTsとすると
 
 T=200+100+50+25+------
=200(1+1/2+1/4+------)

 確認回数を1回目、2回目、3回目、-----n回目、------- -とする。
 すると

 n=∞

の時

T=∞

とならない事を軽く示せば良い。

 是は即ち

 t=1+1/2+1+1/4+----+(1/2)^n+-----

 が

n=∞

と考えた時、小数ではあるが正の小数を無限に加えていくと

 t=∞  

 に発散するとの錯覚を抱いて誤解するの がオチなのだという事を示せば 良い。

 一方

 1/3=0.33333333333333333333333---------------

であるが、是は即ち

 1/3=0.3+0.03+0.003+0.0003+------------------

のことだから、右辺を見るとこれも∞になりそうに思わなければなら
 なくなってしまう羽目に合うが、これは左辺を見ると

 1/3≠∞

 ∴ 0.3+0.03+0.003+0.0003+0.00003+0.000003+---------=1/3

という例題を挙げて、

T=∞

に発散しない場合がある事を例証して、納得して貰うという訳には参りま せんでしょうか。トホホホー。疲れたー。宜しく。
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むむ。

期せずしてコメントが続いていますので書かずにいられなくなってしまいました。
starfloraさんの認識哲学的説明はある程度分りますが、私は、この問題はもっと明快で、前向きなことを私たちに教えてくれていると思います。

> アキルレウスと亀のパラドックスは、思考のステップは「生きている時間」
>「生きている意識の構想」なのです。
>(略)
> ニュートン的な形式空間こそ、一種の仮想であり構想だということの反省か
> らすると、ゼノンのパラドックスが成立する世界こそ、実在の現象世界、、

とのことですが、我々は、いずれアキレスが亀に追いつく情景を目にすることに絶対の確信をもっているにも拘らず、このパラドックスがそれを否定するように感じてヒヤッとするわけであって、意識世界と客観世界の存在や関係などに悩むわけではありません。アキレスが追いつくプロセスを、(有限の時間をかけて)「1回目」「2回目」、、と数えるならば決して「今追いつきました」という事態が訪れないのは、誰も不思議に思わないことで、パラドックスにならないでしょう。
このパラドックスはむしろ、実際目にする事象の変化は、必ず、人の意識とは無縁の物理時間を変数にして追わなければいけないことを、強く教えてくれているように感じます。

それともう一つ、よく行なわれる無限等比級数を使った説明ですが、少なくとも(その昔の)私は何か腑に落ちませんでした。数列を1項ずつ足していくプロセスを1つのステップとして頭に描いてしまうと、同じ疑問に戻ってしまいます。級数の値を数学的に出されると、説き伏せられたようでズルイという気持ちが残ります(こういう性格だから数学が苦手(^^;)。腑に落ちないのには、それなりのメカニズムがあるに違いない、、と考えた次第です。
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  先の二人の方の補足に触発されて書きます。
 
  実は、回答は、質問が、「パラドックスの解決法」をと云うことなので、解決するような答えを述べたのですが、本当は、哲学的にはパラドックスなのです。飛矢不動のパラドックスも、深刻なパラドックスで、これらは、質問者の質問からは少しずれますが、ゼノンのパラドックスの哲学的意味の一つの見解ということで記しますが、わたしたちの生きる「時間や空間」についての何かの真実を示唆しているのです。
 
  つまり、本当はパラドックスは解決しないのです。それはどういうことかと云うと、わたしは次のように記しました:
 
  >そこで、こういう過程を無限に続けると、
  >「過程は無限」ですが、
  >実際の距離は、「無限ではなく有限」で、
  >また、かかる時間も「無限ではなく有限」となり
 
  「過程は無限」であるが、「実際の距離は有限」と述べていますが、これはパラドックスを解決するように常識的なというか、形式的な、ニュートン的な時空を出して来ているので、解決するように見えるのです。一応、解決しているのですが、哲学的問題として、まだ議論があるのだと、いうことで、質問者には、申し訳ありませんが、もう少し話を続けます。(後で、参照する人に対しても、書いているということがあります)。
 
  実はアキルレウスと亀の競争の話は、私たちの意識のなかの「想定」なのです。これは、レヴェル2の「想定」事象だとも言えます。レヴェル1は、想定事象ではなく、想定している、つまり思考ししている「現なる私たちの意識の現実」なのです。アキルレウスと亀の競争が、私たちの思考の想定の所産で、そのような競争は、この世界のどこにも現存して立ち現れていないのです。しかし、思考しているのは「現実」で、いま「立ち現れている」のです。
 
  アキルレウスが亀が元いた場所に着くと、亀はすでに、その先に進んでいて、アキルレウスが、再度、亀が進んでいた場所に着くと、亀はすでに……と、思考の現実は、実はステップが無限に続き、ステップには、実際に、一定の時間が必要で、こういう思考のステップは、無限に続き、終わらないのです。
 
  思考している実在者である私たちの思考ステップが、無限に続き終わらないということは、第二想定レヴェルのアキルレウスと亀も、何時までも、想定レヴェルでは、亀がアキルレルスの先を走っていることになります。
 
  時間とか空間は、客観的にあるものか、意識の構想にあるものなのか、というと、カントの感性の形式になって、それは、超越論的な機構だとなります。到達できないはずの物自体に、「あたかも到達できたかの」ように振る舞うのが、現代科学のパラダイムだとも言えます。古代科学は、そうではなかったので、ゼノンのパラドックスが深刻な問題であったのです。そして、ベルグソンの時間論などを考えると、どうも、時間や空間は、意識と共現象的な現れだということになります。
 
  わたしたちが、純粋の思考において、形式的数学モデル空間と、その性質についての直観を行う時、不思議なことに、「実在の物理宇宙」に、わたしたちの主観的観念の所産である数学的構造が、存在しているのを発見するのです。空間の操作図式の修得により、世界のモデルを数学として、シェーマとして把握するので、数学が、世界を説明できるのだと、いうのは、発達心理学や思考の心理学の構造主義派ジャン・ピアジェの考えですが、しかし、この理論だと、複素数空間で丁度モデルできる物理学現象は何故あるのか、何故、思考のモデルである数学が、外在的なはずの現象の枠組み理論として有効なのかの説明が付かないのです。
 
  アキルレウスと亀のパラドックスは、思考のステップは「生きている時間」「生きている意識の構想」なのです。ベルグソンは、「生きている意識の構想」あるいは「生きている時間の事実」を「空間的に解釈すること」は間違いだと強く主張したのです。そして、こういう無限ステップの時間構造を、適用するとうまく納得の行く物理現象が存在すると云うのは、宇宙が、「生きている現象時間」と対応する何かを持っているということを示していて、これは、ニュートン的な形式空間こそ、一種の仮想であり構想だということの反省からすると、ゼノンのパラドックスが成立する世界こそ、実在の現象世界だということにもなるのです。
 
  古代科学において、このパラドックスが深刻な意味を持ったのは、こういう背景があるからだとわたしなどは考えます。カントールの無限集合論とか、ゲーデルの不完全性定理などは、このパラドックスと同じ地平にあるとも言えるのです。
 
  ちょっと、意味不明な内容で済みません(と、一応、断りを記します)。
 
  パラドックスの現代の数学的な解決は、無限等比級数の収束という答えで、解決しているので、以上の話は、このパラドックスの「意味」をめぐる哲学的考察なのです。数学的真理や構造の問題は、哲学的問題となるので、このような話へと展開することがあるのだと考えてください。
 
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物理屋の siegmund です.


hagiwara_m さんが興味深い補足をされておられますので,私も少し.

 ─┼───┼───┼───┼───┼───┼─
  0   2   4   6   8   10

という数直線を(例えば)10から出発して一定の速度で左へいくと
そのうち0に到達するでしょう.
ところが

 ─┼───┼───┼───┼───┼───┼─
 
     0.001  0.01   0.1   1   10

というように対数スケールで数直線を書き直してみると,
いつまでたっても0まで行けないように見えてしまいます.
一定の速度というのは上の図で見たときに一定の割合で左に動くということであって,
下の図では一定の割合で左に動いたら一定の速度になりません.
それなのに,下の図で一定の割合で左に動くのが一定の速度である,
というように錯覚して(させて?)いるのです.

hagiwara_m さんの
> 時間に対して等間隔でない事象のくり返しのステップを、
> 時間等間隔のステップと誤認すると言ってもいいでしょう。
と同じことです.

アキレスと亀の話では,どうも下の図を使うのはよくなかったのですが,
皮肉なこと(?)に下図を使ってはじめてうまくいくような例もあります.
物理で,電子がいろいろなエネルギーを持っているときに,
物質の状態を決めるのに決定的な役割を果たしているのが
ある特定のエネルギー(上図の零と思ってください)に近い電子で,
その特定エネルギーに近いほど役割が大きい,ということがよくあります.
役割は大きいんですが,上の図だと幅が狭くてうまく扱えない.
こういうときに,わざと下図のようにスケールを変えて大事なところをいわば拡大して
扱うような方法があります.
くりこみ群と呼ばれる方法がそれです.
数値計算と繰り込み群を組み合わせた仕事にノーベル物理学賞が授賞されています
(K. G. Wilson,1982年).
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No.2のお答えまでで解決していると思いますが、何故これが今日までも人を悩ませ得るパラドックスの傑作(?)なのか、つまり、疑問のメカニズムはどこにあるのかという点に興味をもったことがありますので、少し付け加えさせて頂きます。



パラドックスから出てくるのは「有限ステップで追いつくことはない」という結論です。そしてこれはまさに事実です。しかし、多くの人は、この結論を「有限の時間で追いつくことはない」(これが日常用語としての「追い越せない」の意味)のように勝手に変えて解釈(錯覚)してしまうのです。「ある時点の亀の位置まで進む」という時間に対して等間隔でない事象のくり返しのステップを、時間等間隔のステップと誤認すると言ってもいいでしょう。見かけの矛盾はこのようにして生れます。

「追い越すことができる(できない)」という表現は一見明快ですが、論理的に考えてみると案外曖昧で、改めて意味を正さないといけないということですね。
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  これは、数式ではなく言葉でも説明できます。
 
  言葉で説明しますと、出発点が、亀とアキレウスが同じなら、最初からアキレウスが亀を追い抜いているのです。しかし、アキレウスの方が亀より、例えば100メートルほど後から走り出すと、アキレウスが亀のいた場所に達した時、亀は、すでに、その時間のあいだに先に進んでおり、更にアキレウスが、先に進んだ亀の位置に到達すると、亀は、更に先に進んでいるという話なのです。
 
  アキレウスが亀の走る速度の10倍の速さで走るとすると(実際はもっと速いですが)、最初の遅れていた距離をアキレウスが走ると、亀は、その10分1の距離、先に進んでいます。更にこの距離をアキレウスが走ると、亀は更にその10分の1,つまり、最初の距離の100分の1前に進んでいます。
 
  こういうことは、アキレウスが亀を追い抜けない距離は、結局:
 
  1/10+1/100+1/1000+……
 
  ということになります。これは等比級数で、無限にこういうことが続くとすると、無限等比級数ということになり、無限等比級数は、発散(無限になる/振動する)か、或る値に収束するかどちらかしかありません。この場合は、収束するのです。そこで、こういう過程を無限に続けると、「過程は無限」ですが、実際の距離は、「無限ではなく有限」で、また、かかる時間も「無限ではなく有限」となり、有限の時間内にアキレウスは亀を追い抜いてしまい、パラドックスは成立していないことになります。
 
  これが数式を使わない説明です。無限級数は、発散するか収束するかで、この場合は、収束するというのが、ポイントです。
 
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過去に何度か質問があります.


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Qラッセルのパラドックスでのx ∈/ xはどういう意味?

宜しくお願い致します。

ラッセルのパラドックスというのを知りました。

『条件C(x)を満たすxの集合,{x|C(x)}はC(x)の対して一意的に定まる。
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今、C(x)として x∈/x を採れば集合{x|x∈/x}とする時、…』

と記載されているのですが
「x∈/x」の意味が分かりません。
"∈"の記号は片方が元で片方が集合でないといけないと思うのです。
「x∈/x」は双方とも元なのでこの記号は無意味に思えるのです。
「x∈/x」はもしてして「x∈/{x}」の意味なのでしょうか???

Aベストアンサー

> それで自分自身を含まない集合の集合をXとすると
> X∈XならX∈/Xでなければならないし、
> X∈/XならX∈Xでなければならないという矛盾がはっせいしますね。

矛盾するということは,何かがいけないわけですが,
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もっと追求すると,x∈x となるxは集合として認められないということになります。
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Q無限級数及び、無限級数の定義とは?

度々スイマセン。
宜しくお願いいたします。


無限級数の定義について考えております。
以下のような解釈で正しいでしょうか?

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(つまり、a_1,a_2,a_3,…)からできる

数列{Σ(a_k,k=1,n)}

(つまり、Σ(a_k,k=1,1),Σ(a_k,k=1,2),Σ(a_k,k=1,3)),…)

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これを単に

Σ(a_k,k=1,∞)

と表す。



無限級数の値とは数列{Σ(a_k,k=1,n)}の極限値

lim(n→∞,Σ(a_k,k=1,n))

の事であり、

Σ(a_k,k=1,∞)

と表す。

この値の事を無限級数の和とも言う。

Aベストアンサー

#1です。岩波数学辞典によると、
Σ[n=1 to ∞]a_n
には2つの意味があるようです。

一つは、
a_1+a_2+a_3+・・・
のことです(これを「級数」と呼んでいる)。単にΣa_nとも書きます。
なお、収束とかは一切考えていません。「a_1,a_2,・・・を"+"という記号でつないで並べたもの」という形式的なものでしかありません。(#1に書いた形式的冪級数もこっちの意味です)

もう一つは、
部分和S_n=a_1+a_2+・・・+a_nの列{S_n}が収束する時の、極限値です。
部分和の列の極限値sを「和」と呼んで、Σ[n=1 to ∞]a_n=sなどと書くようです。
式の中で使われるΣ[n=1 to ∞]a_nはこっちの意味ですね。

また、有限数列に対してa_1+a_2+・・・+a_nも級数と呼ぶ事があるので、特に区別する必要がある場合に「有限級数」「無限級数」などと呼ぶようです。


>a_0 +a_1 x+a_2 x^2+・・・+a_n x^n+・・・
>は関数列の極限
>lim(Σ[k=0 to n]a_k x^k)
a_0 +a_1 x+a_2 x^2+・・・+a_n x^n+・・・というのは、本当に形式的なものです。収束とかは一切考えられていません。それどころか、xが実数か複素数か行列かあるいはそれ以外なのか、という事すら決めていません。
何て書けばいいのか分からなかったので、#1では「関数列(?)」と呼びましたが、これは関数ですらありません。(じゃぁ、何のなのかと聞かれると非常に困るのですが)


>(1)
>『無限級数は"無限数列の部分和の数列"』と言えるか?
少なくとも、岩波数学辞典ではその数列を「部分和の列」と呼んでいますし、「(無限)級数」と「部分和の列」とは違うと思います。

>(2)
>『無限級数の和は部分和の数列の極限"』と言えるか?
通常はそのように定義されていると思います。

>参考書には無限級数と無限級数の和とも同記号
>Σ[k=1 to ∞]a_k
>で表しているが"無限級数"と"無限級数の和"は同意なのか?
岩波数学辞典では、「a_1+a_2+・・・」という形式的なものを「(無限)級数」と呼び、部分和の極限を「和」と呼んでいます。(どちらも、同じ記号Σ[n=1 to ∞]a_n
で表しています)
ま、特に区別する必要もないと思いますが。

>(4)
>"無限級数の和"とは"無限級数の値"のことと言えるか?
「無限級数の値」が何を指すのか定義をする必要がありますが、まぁ、同じと考えていいと思います。

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Q人類は衰退しました。 タイムパラドックス

ネタバレ最小限度で行きたいのです。
「人類は衰退しました。」をお読みの方 ちょっとズルさせて下さい。
第7話「妖精さんたちの時間活用術」の中の「イヌ」ですが。
「paradox」≒「para」(沢山の)「dogs」(イヌ達)なんてネタでしょうか?
「paradox」を実体化するコトで回避する。
個人的には(シュレディンガーの)ネコの方が好みですけど。。。

質問:第7話「妖精さんたちの時間活用術」の中の「イヌ」は何か意味が有るのでしょうか?

Aベストアンサー

本当の所は,作者にしか分らないでしょう。
女の子が,お菓子作りをしたのは、事実だったのだ。と思わせる為の道具にすぎないのかと思います。

妖精さんたちはクローンを拒否されたので,女の子を多数実体化する為に,タイムループする空間を造り上げた。
目的を果たした後,空間を閉じたか消滅する時に,1人だけ連れて来たか(腕時計が無くなったのが判断理由)統合した。
その空間に犬が巻き込まれて、増えていったのだが,妖精さんたちは興味が無いから,そのままにしておいた。
「犬が増えて,何か被害がアルですか?」って感じで。

Q無限等比級数

D〔1/(1+k)+1/(1+k)^2+・・・〕
=D/K 初項が1/1+K、公比が1/1+Kの無限等比級数との
ことですが、どうしたらD/Kになるのでしょうか?
公比<1ででやってみてもD/Kにならなくて・・・
どなたかわかりやすく教えて下さい。よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

こう考えてみてはどうでしょう?
まず、1/(1+k)でDの中身をくくる
D[1/(1+k){1+1/(1+k)+1/(1+k)^2+…}]‐(1)
そうすると{}の中の無限等比級数の解は
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これでどうでしょう。

Qカルシウム・パラドックスなどについて

カルシウム・パラドックスなどについて

カルシウム・パラドックスを防ぐために、乳製品は控えた方がいいと思われますか?
また、Wikipediaのカルシウム・パラドックスについての記述を見て、
「野菜タンパク質と動物性タンパク質は違うのか?
牛乳より豆乳のほうがベターかな?」
と思ったのですが、どうでしょうか。

以下は参考までにWikipediaからの引用です(長いです)。
-------------------------------------------
カルシウム・パラドックス

カルシウム・パラドックス(calcium paradox)とは、カルシウムの摂取量が多い国に骨の疾患が多いという現象。
骨の材料となっているカルシウムを摂取しているにもかかわらず、骨折や骨粗鬆症が多いという、逆説的なことが起こっていることから、このように呼ばれている。

2002年の世界保健機関 (WHO) の報告書では、骨粗鬆症予防のための項目で、カルシウムの摂取量が多い国に骨折が多いというカルシウム・パラドックスの理由として、
カルシウムの摂取量よりも、カルシウムを排出させる酸性の負荷をタンパク質がもたらすという悪影響のほうが重いではないかと推論されている。

さらに、2007年のWHOの報告書で、酸を中和するほどのアルカリ成分がないとき、カルシウムが排出され骨に影響すると考えられ、アルカリ成分として野菜と果物が挙げられている。
日本国外の骨粗鬆症の診療ガイドラインでは、
砂糖や動物性食品はカルシウムを奪う「骨泥棒」とされ、骨粗鬆症の予防のためアルカリ性食品を摂取するように言及している。
また、そうしたことで発生した血中の酸を中和するのは骨の仕事だと解説している。
1995年、食品の腎臓への酸性の負荷をPRAL値という指標で表す測定方法が考え出された。
酸性の食事が骨の健康を損ねるので、この目的でも用いられる。
野菜と果物を多く食べた子供は尿中のカルシウムの排出量が少なかった。
野菜と果物の摂取量が多いほど骨密度が高いという研究結果が老若男女それぞれにある。
-------------------------------------------

カルシウム・パラドックスなどについて

カルシウム・パラドックスを防ぐために、乳製品は控えた方がいいと思われますか?
また、Wikipediaのカルシウム・パラドックスについての記述を見て、
「野菜タンパク質と動物性タンパク質は違うのか?
牛乳より豆乳のほうがベターかな?」
と思ったのですが、どうでしょうか。

以下は参考までにWikipediaからの引用です(長いです)。
-------------------------------------------
カルシウム・パラドックス

カルシウム・パラドックス(calcium paradox)とは...続きを読む

Aベストアンサー

ご質問したくなる気持ちが分ります。私も乳製品に是非については質問したいくらいです。
No.1の補足でWikiの引用とありますが、そのURLを書いてくれませんか。
>「中和には骨のカルシウムがもっぱら使われる。」
これは問題があると思いますよ。

ご質問は乳製品についてですよね。
よく知りませんが、カルシウム・パラドックスなるお話と、乳製品はもともと違う話で、誰かがくっつけたんじゃんないのですか。たぶん日本人。牛乳飲むなとかいう先生がいましたよね。
かなり非論理的ですよ。
カルシウム・パラドックスはカルシウムの摂取量と骨折(笑)が逆の相関になるということでしょう。
★事実はそれだけですよね。

しかも
>「砂糖や動物性食品はカルシウムを奪う「骨泥棒」とされ」
「牛乳が」じゃないでしょう。

★感情論的な「骨泥棒」よりもパラトルモンを調べるのが基本です。

そして話は、骨折だということを認識しないといけません。

Q無限等比級数

初項1、公比a/3の無限等比級数が収束するようなaの値を求めよ。また、そのとき、和Sのとりうる値の範囲を求めよ。という問題で、aの範囲はわかるのですが、和Sの範囲がよくわかりません。どうやって解くのかおしえてください。
ちなみに答えはS>1/2になります。

Aベストアンサー

n項目までの和は
S=Σ(a/3)^(k-1) [k=1~n]
=1*{1-(a/3)^n}/(1-a/3)}

収束するためには
|a/3|<1
⇔|a|<3
⇔-3<a<3

この時
lim S [n→∞] = 1/{1-(a/3)} = 3/(3-a)
S = 3/(3-a)
⇔(3-a)S = 3
⇔3S -aS = 3
⇔aS = 3S - 3
⇔a = 3- 3/S
よって
-3 < 3 - 3/S < 3
⇔ -6 < -3/S < 0
⇔ 6S > 3 > 0
⇔ S > 1/2

Qパラドックス・逆説の定義について

パラドックス・逆説の意味を改めて調べてみました。
以下のような意味があるそうで、(順不同)

(1) 一見、真理にそむいているようにみえて、実は一面の真理を言い表している表現。

(2) ある命題から正しい推論によって導き出されているようにみえながら、結論で矛盾をはらむ命題。

(3) 事実に反する結論であるにもかかわらず、それを導く論理的過程のうちに、その結論に反対する論拠を容易に示しがたい論法。

(4) 一般に正しいと思われていることに反する事柄。

(5) 一般に容認される前提から、反駁しがたい推論によって、一般に容認し難い結論を導く論説。

「逆説」は主に1を指すようですが、1つの用語に正しい/誤りの意味が分かれるというのはおかしくないでしょうか? 

「~はパラドックスであるが、・・・を考えるとパラドックスではない」という文章を読んだとき筆者が一体何を主張したいのか俄かに判断し難かったという経験がありました。

私は「逆説」を主に1の意味に捉えていました。

皆さんは「パラドックス」や「逆説」をどう使い分けていますか? 文系・理系で使われ方が違いますか?

パラドックス・逆説の意味を改めて調べてみました。
以下のような意味があるそうで、(順不同)

(1) 一見、真理にそむいているようにみえて、実は一面の真理を言い表している表現。

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(3) 事実に反する結論であるにもかかわらず、それを導く論理的過程のうちに、その結論に反対する論拠を容易に示しがたい論法。

(4) 一般に正しいと思われていることに反する事柄。

(5) 一般に容認される前提から、反駁し...続きを読む

Aベストアンサー

>皆さんは「パラドックス」や「逆説」をどう使い分けていますか?

「パラドックス」は

(6)正しそうに見える前提と、妥当に見える推論から、受け入れがたい結論が得られる事

と言う意味で使っています。

なので「正しそうに見える前提」が「実は間違っていたと証明される」と「パラドックスが解消される」と言う状況が発生します。

「逆説」は

(7)パッと見た目には非常識に思える(逆の事をしているように見える)けれど、よく考えると理にかなっているという事

と言う意味で使っています。

なので、パラドックスのように「解消される」と言う事は無いと考えていますが、どうも、世間では「パラドックス」を「逆説」と翻訳してしまっているっぽいので、当方は「その翻訳は間違っている。ニュアンスが違ってしまっている」と思っています。

Q無限等比級数

√2+(2-√2)+(3√2-4)+.....の公比rを求めよ。

どうやって求めればいいですか?

Aベストアンサー

No.2です。

ANo.2の補足質問について

>2/√2って√2なんですか?
No.2の解答に書いたとおり

>r=a2/a1=a3/a2
>=(2-√2)/√2
分子がa2=ao・r=(2-√2)、分母がa1=ao=√2(初項)
質問の√2は第1項(初項)a1=ao=√2です。

項比rは
隣り合う2項の比なので
r=a2/a1=a3/a2=…
a2/a1=(ao・r)/ao=r
a3/a2=(ao・r^2)/(ao・r)=r

で計算できます。
a2=2-√2、a1=√2なので
r=a2/a1=(2-√2)/(√2)
分子の2を(√2)・(√2)と考えて
={(√2)・(√2)-√2}/(√2)
分子で、√2を括弧の外に出して
=((√2) -1)(√2)/(√2)
分子、分母の√2を約分して
=(√2) -1

>=(√2)-1 … (答)

これで項比rの(答)が得られましたね。

お分かり?

Qいろいろなパラドックス

 最近パラドックスっておもしろいなぁ~などと思っているのですが、
「アキレスは亀に追いつかない」「クレタ人?は嘘つきなのか」等
素人でもとっつきやすいパラドックスの逸話をご存知の方是非おしえてください。

 検索したんですけど、ウラシマ効果ばっかりで・・・

 あ~~カテゴリー間違えたかなぁ~。でもこっちの方がいい回答
来たりして・・・これもパラドックス?

Aベストアンサー

こんにちは、どうも。あんまりないんですけど、いくつか・・・


●「アキレスと亀」と同じく、Zenonのパラドクスですが

  飛ぶ矢のパラドクス:飛ぶ矢は、ある分割できない瞬間では移動できない。つまり静止している。

・・・・というのも、無限小を扱ったパラドクスです


●14世紀に、ルネッサンスの先鞭をつけたパリ派哲学者の一人、ビュリタン(Buridan)のパラドクスで

  ビュリタンのロバのパラドクス:2つの干し草の全く中央におかれたロバは、(迷って)どちらへも行けず餓死してしまう

・・・・これ、私はとても好きなんですが、量子論の自発的対称性の破れの例えなどに出されます。


●論理学や数学でよく例になるのは yan^4さんも挙げておられますが

  ラッセルのパラドクス(の1つ):「クレタ人が『クレタ人はうそつきだ』と言ったとき、うそつきか?」


●熱力学で重要なのが

 ロシュミットのパラドクス:ニュートン力学は可逆なので、熱力学の第二法則は証明できない

・・・・まともすぎて、パラドクスって感じがしないのが、ちょっとツマラナイですね。


●「悪魔」系だと
 ・マックスウエルの悪魔
 ・ラプラスの悪魔
  なども、パラドクスの表現の一つのような気がします。


●量子力学系ですと、パラドクスとも、論争ともつかないものがたくさん出現しました。
たとえば
・EPR パラドクス
・シュレディンガーの猫のパラドクス
・ド・ブロイのパラドクス
・・・・などなど、沢山あります。
 そして、ゼノンのパラドクスは、量子ゼノンパラドクス(効果)として、現実のものとして証明されることになる
・・・このあたりが、歴史の面白いところです。

こんにちは、どうも。あんまりないんですけど、いくつか・・・


●「アキレスと亀」と同じく、Zenonのパラドクスですが

  飛ぶ矢のパラドクス:飛ぶ矢は、ある分割できない瞬間では移動できない。つまり静止している。

・・・・というのも、無限小を扱ったパラドクスです


●14世紀に、ルネッサンスの先鞭をつけたパリ派哲学者の一人、ビュリタン(Buridan)のパラドクスで

  ビュリタンのロバのパラドクス:2つの干し草の全く中央におかれたロバは、(迷って)どちらへも行け...続きを読む

Q無限等比級数

この問題の級数の和の答えに0が
無かったのですが0は
答えではないのですか?

Aベストアンサー

x=0 なら、級数の和も 0 になりますね。
問題に「x≠0 とする」という条件がないので、「x=0 のとき級数の和は 0」も答の1つだと思います。


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