応答曲面解析は統計的手法の実験計画で直交表を用いない少ない実験回数でも交互作用を含めた2次曲面モデルが推定可能な解析法という事らしいのですが、業務に適用できるか検討したく、具体的な解析ソフトや専門書がありましたら、教えていただけませんか?

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A 回答 (1件)

こんなの出ましたけど~



参考URL:http://www.ansys.co.jp/technical/pds/pds1.html
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この回答へのお礼

stomachman様
早速の回答ありがとうございました。関連サイトをよく読ませていただき業務に活用させていただきます。今後もよろしくお願い致します。

お礼日時:2002/01/14 15:33

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Q分散分析の主効果と交互作用

二元配置分散分析結果について質問します。

要因Aの主効果 → 有意差あり
要因Bの主効果 → 有意差あり
A*Bの交互作用 → 有意差あり
となりました。

そこでF値の大きさを見たのですが、
要因A >> 要因B > A*B となっています。
要因AのF値は他2つに比べて10倍以上大きい値です。

この場合、「交互作用による制限は受けるが、要因Aの影響はかなり支配的である」
というような結論付けを行って良いものでしょうか。

実験の主旨としては、「有意差があるかないか」を言いたいわけではなくて、
「傾向があるかどうか」がいえればよいと思い、説得力を持たせるために検定を行っています。

Aベストアンサー

> 交互作用による制限は受けるが、要因Aの影響はかなり支配的である」というような結論付けを行って良いものでしょうか。

これはその通りですが、補足的なこととして、

> 「傾向があるかどうか」がいえればよいと思い、説得力を持たせるため

という点に重点をおくのであれば、横軸に要因Aを、縦軸に観測値をとって要因B別に折れ線グラフを描いてみると良いですよ(いわゆる交互作用図というやつですね)。

Q分散分析の交互作用グラフの解説

以下のリンク先の分散分析の交互作用グラフの解説をお願いします。
http://kogolab.chillout.jp/elearn/hamburger/chap7/sec3.html

主効果がある、ないの見方が理解できません。
→以降に、自分の見方を書きました。見方は適切でしょうか。
(1)~(5)は理解できましたが(6)が理解できません。
わかりやすく解説して頂けると幸いです。

■交互作用のない場合
(1)Aの主効果もBの主効果もない。
→B水準のB1とB2を比較し、差がない。A水準のA1とA2を比較しても、差がない。
つまり、A、Bともに主効果がない。グラフは平行なため交互作用なし。

(2)Bの主効果のみ。
→B水準のB1とB2を比較し、差がある。A水準のA1とA2を比較しても、差がない。
つまり、B水準の主効果はある。A水準の主効果はなし。グラフは平行なため交互作用なし。

(3)A、Bともに主効果あり。
→B水準のB1とB2を比較し、差がある。A水準のA1とA2を比較し、差がある。
つまり、A、Bともに主効果がある。グラフは平行であるため、交互作用なし。

■交互作用のある場合
(4)A、Bともに主効果があり、交互作用あり。
→B水準のB1とB2を比較し、差がある。A水準のA1とA2を比較し、差がある。
つまり、A、Bともに主効果がある。グラフは平行ではないため、交互作用あり。

(5)A、Bともに主効果があり、交互作用あり。
B水準のB1とB2を比較し、差がある。A水準のA1とA2を比較し、差がある。
つまり、A、Bともに主効果があるが、B1ではA水準の効果はなく、B2でのみA水準の効果がある。グラフは平行でないため、交互作用あり。

(6)交互作用のみ。
→B水準のB1とB2を比較し、差がある。A水準のA1とA2を比較し、差がある。
つまり、A、Bともに主効果がある?とおもいます。グラフも平行でないため交互作用もある。
(6)が理解できません・・・

よろしくお願いします。

以下のリンク先の分散分析の交互作用グラフの解説をお願いします。
http://kogolab.chillout.jp/elearn/hamburger/chap7/sec3.html

主効果がある、ないの見方が理解できません。
→以降に、自分の見方を書きました。見方は適切でしょうか。
(1)~(5)は理解できましたが(6)が理解できません。
わかりやすく解説して頂けると幸いです。

■交互作用のない場合
(1)Aの主効果もBの主効果もない。
→B水準のB1とB2を比較し、差がない。A水準のA1とA2を比較しても、差がない。
つまり、A、Bともに主効果がない...続きを読む

Aベストアンサー

ANo.1へのコメントについてです。

 実際に手を動かしてみれば分かることだと思います。何はさておき、V(a,b)の式において、(a,b)に(-1,-1), (-1,1), (1,-1), (1,1)をそれぞれ代入してみて下さい。すると、4本の式
  V(-1,-1) = -C1-C2+D+E
  V(-1,1) = -C1+C2-D+E
  V(1,-1) = C1-C2-D+E
  V(1,1) = C1+C2+D+E
が得られるでしょう。これをご自分でも計算して、確認してください。

> 2×C1 2×C2の所は、なぜ2をかけることになるのでしょうか。

 要因Aの主効果ってのは、「要因Bがどうであれ、Aがあるかないかで結果にどれだけ差が出るか」ということです。なので、上記の4本の式を利用して、C1については「Aがあるかないかの差」すなわち V(1,-1)-V(-1,-1) および V(1,1)-V(-1,1) を計算してみて下さい。もちろん、C2については「Bがあるかないかの差」すなわち V(-1,1)-V(-1,-1) および V(1,1)-V(1,-1) を計算します。
 さらに、交互作用がない場合について検討するために、この計算で得られた式にD=0を代入してみて下さい。

> この符合が場所により、変化することはいかように解釈すれば良いでしょうか?

 符号が変化するのが不思議だな、と思われたんでしょうね。けれど、それは、ま、どうでも良いことです。
 この回答の冒頭に書いた4本の式の左辺は(測定した値なんですから)値が分かっている定数である。そこで、これら4本の式を「C1, C2, D, Eを未知数とする4元連立方程式」だと思って解くと、C1, C2, DがANo.1の式の通りに得られる、というだけの話です。
 ご自分で検算なさって下さい。たとえば
  D = (V(1,1) - V(1,-1) - V(-1,1) + V(-1,-1))/4
を検算するには、この式の右辺に上記の4本の式を代入して整理するんです。そうすれば、(stomachmanが計算間違いしていなければ、)
  0 = 0
という式が得られる筈です。これは正しい式ですから、この検算によって、 D = … の式が正しいと確かめられたことになります。

ANo.1へのコメントについてです。

 実際に手を動かしてみれば分かることだと思います。何はさておき、V(a,b)の式において、(a,b)に(-1,-1), (-1,1), (1,-1), (1,1)をそれぞれ代入してみて下さい。すると、4本の式
  V(-1,-1) = -C1-C2+D+E
  V(-1,1) = -C1+C2-D+E
  V(1,-1) = C1-C2-D+E
  V(1,1) = C1+C2+D+E
が得られるでしょう。これをご自分でも計算して、確認してください。

> 2×C1 2×C2の所は、なぜ2をかけることになるのでしょうか。

 要因Aの主効果ってのは、「要因Bがどうであれ、Aがあ...続きを読む

Q統計学(交互作用に関して)

以下、二元配置の分散分析に関しての話です。
一般に母分散の推定は
σハット^2=(データ-○)^2/N-1
※○=分布の平均値
なので、「平均が○で分散がσハット^2の分布だな」とイメージできます。
しかし、交互作用の母分散推定に出てくる式は、
σハット^2=(平均値-○)×(平均値-△)+(平均値-×)×…/自由度
※○△×=各水準の平均値
なので、「平均値がたくさんあって、分散は同一(σハット^2)の分布?」とイメージできません。
質問1:交互作用の母分散推定に出てくる分布は具体的にイメージできる分布ですか?
質問2:なぜ、その式の自由度は(要因1の水準数-1)×(要因2の水準数-1)なのでしょうか?(わたしは、自由度については「全体の数は決まっていて、4つのスペースがある場合、3つが決まると、もう1つは自由に決められない」といった入門書の例で理解しているのですが、さすがに、この場合はこれでは説明がつかないでしょうか?)
以上、宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

質問1の回答:
 二元配置と母分散の推定のつながりが、いまいち理解できません。二元配置は基本的に
母平均の違いを見るものです。母分散が水準組合せで異なるかどうかを見たいのでしょうか?
ちなみに,因子Aの平方和を自由度で割った平均平方は,母分散の推定量ではありません。
Aの各水準での平均値と全平均との差をまとめたものです。
交互作用とは,因子AとBの水準組合せにおける平均から,因子A単独による影響,因子B単独の影響を取り除いても、さらに水準組みわせ間で違いがあることです。

質問2の回答:
 一元配置を考えると、因子Aの水準数が a 個あるとき、Aの自由度は a-1 です。基本的に、水準間で母平均に差があるかどうかをみるので、水準数が a 個あるとき、母平均の差の数は a-1 個です。これが自由度です。このとき、第1水準の値から出発したとすると,a-1 個の母平均の差を知っておけば,どの水準の母平均も推定できます。これが重要です。
 二元配置に戻って、交互作用は水準組合せ間で母平均の差について考えています。
まず初めに,因子Bを第1水準に固定して、(1,1),(2,1),...,(a,1)間の a-1 個の母平均の差を知れば、(1,1)の平均値と a-1 個の母平均の差で他の水準組みわせでの母平均の値を推定することができます。同様にして、因子Aを第1水準に固定して、(1,1),(1,2),...,(1,b)間の b-1 個の母平均の差を知れば、(1,1)の平均値とその差で他の水準組合せでの母平均の値を知ることができます。交互作用がない場合は、これら a-1個の差とb-1個の差、(1,1)の平均値でもって他のすべての水準組合せの母平均を一応、推定できます。
交互作用があるとき、誤差の範囲内で推定が当たる水準組合せは、(1,1),(2,1),...,(a,1),(1,2),...,(1,b)の a+b-1 個です。残りの ab - (a+b-1) = ab-a-(b-1) = a(b-1)-(b-1)
= (a-1)(b-1) 個の水準組合せは誤差の範囲を超えて外れます。したがって、(a-1)(b-1)個の水準組合せについては特別に外した分の値を知る必要があるわけです。よって、交互作用があるとき、すべての水準組合せの母平均を良く推定するためには、(a-1)(b-1)個の交互作用を知る必要があるわけで、これが交互作用の自由度になっているわけです。

質問1の回答:
 二元配置と母分散の推定のつながりが、いまいち理解できません。二元配置は基本的に
母平均の違いを見るものです。母分散が水準組合せで異なるかどうかを見たいのでしょうか?
ちなみに,因子Aの平方和を自由度で割った平均平方は,母分散の推定量ではありません。
Aの各水準での平均値と全平均との差をまとめたものです。
交互作用とは,因子AとBの水準組合せにおける平均から,因子A単独による影響,因子B単独の影響を取り除いても、さらに水準組みわせ間で違いがあることです。

質問2...続きを読む

Q統計学(交互作用に関して)

前回と同じ質問ですが、具体性を欠いていたため、補足して再掲します。
以下、二元配置の分散分析に関しての話です。
一般に母分散の推定は
σハット^2=(データ-○)^2/N-1
※○=分布の平均値
なので、「平均が○で分散がσハット^2の分布だな」とイメージできます。
しかし、交互作用の母分散推定に出てくる式は、
σハット^2=(平均値-○)×(平均値-△)+(平均値-×)×…/自由度
※○△×=各水準の平均値
なので、「平均値がたくさんあって、分散は同一(σハット^2)の分布?」とイメージできません。
質問1:交互作用の母分散推定に出てくる分布は具体的にイメージできる分布ですか?
質問2:なぜ、その式の自由度は(要因1の水準数-1)×(要因2の水準数-1)なのでしょうか?(わたしは、自由度については「全体の数は決まっていて、4つのスペースがある場合、3つが決まると、もう1つは自由に決められない」といった入門書の例で理解しているのですが、さすがに、この場合はこれでは説明がつかないでしょうか?)

以上が前回の質問ですが、具体性に欠いていたため、具体例を追加致します。統計入門書から例を用います。
子どもたちの成績は、1.先生によってちがうのか、2.教えてもらう時間帯によってちがうのか、3.それらの交互作用、の3点について2元配置の分散分析を行う。尚、子どもたちは合計18名、同じような学力で3人ずつ、6つのグループに分けて実験した。授業の後で10点満点のテストを行った。
    A先生         B先生       C先生
午前    3、4、5         6、7、8       3、4、5
午後    2、3、4         3、4、5       1、2、3
ちなみに、平均値に関しては、
    A先生         B先生          C先生
午前      4         7           4          5.0
午後      3          4           2          3.0
     3.5           5.5           3.0
交互作用に関する母分散の推定は、まず、標本平均の分散の推定値を求めます。
標本平均の分散の推定値=(4-3.5)×(4-5.0)+(7-5.5)×(7-5.0)+…+(2-3.0)×(2-3.0)/【(先生の数-1)×(時間帯の数-1)=0.5
わたしが、イメージできないと表現したのは、この「平均がたくさんあり、分散は同一(=0.5)の分布です。
(ちなみに、その後の計算は、標本平均の分散は母分散の1/nですので、3(=n)を掛けた値(=1.5)を推定母分散とします。後は、F値は推定母分散の比ですので、この値を用いて検定します)。

以上、宜しく御願い致します。

前回と同じ質問ですが、具体性を欠いていたため、補足して再掲します。
以下、二元配置の分散分析に関しての話です。
一般に母分散の推定は
σハット^2=(データ-○)^2/N-1
※○=分布の平均値
なので、「平均が○で分散がσハット^2の分布だな」とイメージできます。
しかし、交互作用の母分散推定に出てくる式は、
σハット^2=(平均値-○)×(平均値-△)+(平均値-×)×…/自由度
※○△×=各水準の平均値
なので、「平均値がたくさんあって、分散は同一(σハット^2)の分布?」とイメージできません。
質問...続きを読む

Aベストアンサー

回答1への補足:
 「標本平均の共分散も母分散のときと同じように1/nか」について:

確率変数の組(X1,Y1),(X2,Y2), ... ,(Xn, Yn)は互いに独立に同一の分布に従うとします。つまり,(Xi,Yi)において、XiとYiには相関が0ではないが、(Xi,Yi)と(Xj,Yj)のように組をまたいだ確率変数間では独立です。
さらに、E(Xi) = m, i=1,2,...,n
V(Xi) = s2,i=1,2,...,n
Cov(Xi,Yi) = c, i=1,2,...,n
のように記号を定義しておきます。

X1,...,Xn の標本平均を Xbar とします。
Y1,...,Yn の標本平均を Ybar とします。
XbarとYbarの共分散( Cov(Xbar,Ybar) )を求めます。

Cov(Xbar,Ybar) = E(Xbar*Ybar) - E(Xbar)E(Ybar)
E(Xbar*Ybar) = E[((X1+…+Xn)/n)*((Y1+…+Yn)/n)]
= E[ X1Y1 +…+ X1Yn
+X2Y1 +…+ X2Yn
+ …
+XnY1 +…+ XnYn ] / (n*n)

=(E[X1Y1] + … + E[X1Yn]
+E[X2Y1] + … + E[X2Yn]
+ …
+E[XnY1] + … + E[XnYn]) / (n*n)

確率変数の組は互いに独立であるので,E[X1Y1],...,E[XnYn]以外の期待値は
E[Xi]E[Yj](i≠j)である。よって、

E(Xbar*Ybar) = (E[X1Y1]+…+E[XnYn])/(n*n)
+(∑E[Xi]E[Yj])/(n*n) ← i≠jに該当する項のすべての和

である.

E(Xbar)E(Ybar) = E[X1+…+Xn]E[Y1+…+Yn]/(n*n)
= (E[X1]+…+E[Xn])(E[Y1]+…+E[Yn])/(n*n)
= (E[X1]E[Y1]+…+E[Xn]E[Yn])/(n*n)
+(∑E[Xi]E[Yj])/(n*n) ← i≠jに該当する項のすべての和

ゆえに、
Cov(Xbar,Ybar) = E(Xbar*Ybar) - E(Xbar)E(Ybar)
= {(E[X1Y1]-E[X1]E[Y1]) + … + (E[XnYn]-E[Xn]E[Yn])}/(n*n)
= ( Cov(X1,Y1) + … + Cov(Xn,Yn) )/(n*n)
= c*n/(n*n) ← 確率変数の組は同一の分布に従うと仮定しているから。
= c/n

以上より,Cov(Xbar,Ybar) = c / n ,すなわち,標本平均の共分散は,もとの確率変数の共分散の 1/n 倍 である.

回答1への補足:
 「標本平均の共分散も母分散のときと同じように1/nか」について:

確率変数の組(X1,Y1),(X2,Y2), ... ,(Xn, Yn)は互いに独立に同一の分布に従うとします。つまり,(Xi,Yi)において、XiとYiには相関が0ではないが、(Xi,Yi)と(Xj,Yj)のように組をまたいだ確率変数間では独立です。
さらに、E(Xi) = m, i=1,2,...,n
V(Xi) = s2,i=1,2,...,n
Cov(Xi,Yi) = c, i=1,2,...,n
のように記号を定義しておきます。

X1,...,Xn の標本平均を Xbar とします。
Y1,...,Yn の標本平均を Ybar ...続きを読む

Q重回帰分析の交互作用の図について

重回帰分析の交互作用について

重回帰分析の交互作用についての参考書の図についての解釈を教えて頂けると幸いです。
重回分析分析の交互作用を含めたモデル式は、

y=β0+β1x+β2z+β3xz+e…(1) z=調整変数

と表すことができると思います。

参考書の説明では、(『』の部分は参考書より引用)
○交互作用効果がない場合
『zの値に関わらず、xの効果は等しくなり、(1)の式ではβ3=0を意味する。図8.3(a)では交互作用効果がなく、xの主効果のみがある状態を表している。図8.3(b)では、交互作用効果もxの主効果もなく、zの値によってyの水準が異なるだけの状態である。』と説明がありました。

図(a,b)を見てみると、z=1,z=2を例に直線を引いており、xのどの水準においても、z=2のときよりも、z=1の方がyの値の直線が高くなっています。個人的には、xのどの水準においても、z=2の時のほうが、z=1よりも高くなると思うのですが、なぜこのような図になるのでしょうか。

浅学かつ勉強中のため、わかりやすく説明して頂けると幸いです。
よろしくお願いします。

参考文献
三輪・林(2014)「SPSSによる応用多変量解析」『オーム社』

重回帰分析の交互作用について

重回帰分析の交互作用についての参考書の図についての解釈を教えて頂けると幸いです。
重回分析分析の交互作用を含めたモデル式は、

y=β0+β1x+β2z+β3xz+e…(1) z=調整変数

と表すことができると思います。

参考書の説明では、(『』の部分は参考書より引用)
○交互作用効果がない場合
『zの値に関わらず、xの効果は等しくなり、(1)の式ではβ3=0を意味する。図8.3(a)では交互作用効果がなく、xの主効果のみがある状態を表している。図8.3(b)では、交互作用効果もxの主効果も...続きを読む

Aベストアンサー

その図は、たまたま、zの係数β2が負の数のときについて書いてあるだけです。
確かに、説明図を載せるなら、β2が正のときの図を描いておけば、余計な混乱を招かないのに、、とは思いますが。。。

その図は、z=1とz=2の二つの線が交差していない、ってことだけが重要であって、z=1とz=2の線との上下関係にはとくに深い意味はありません。(そもそも単なるイメージ図なんで、あんまり突っ込まれても困るんでしょうが)


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