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情けないことですが、次の連立方程式の解き方を忘れてしまいました。なんとか途中まで簡単な式になったのですが、どうやってもゼロになってしまいます。クラメルでもゼロになってしまって。。。解説をお願いします。

x-3y+4z=-3  (1)式
5x+2y+3z=2  (2)式
x-y+2z=-1   (3)式

代入、消去でなんとか以下の式までになりました。

x+z=0  (4)式
x+y=1  (5)式
y-z=1  (6)式

A 回答 (7件)

x+z=0  (4)式


x+y=1  (5)式
y-z=1  (6)式
この3つの式は確かに出てきますが
(5)-(4)から(6)式が出て来ます。
つまり、(4)式~(6)式の3個の式があっても3個の式は独立ではないということですね。
つまり、3つの式の1つは他の2つの式から出てくるので
どれか2つの式と同値、つまり2つの式があるのと同じになります。
変数が3個あって2個の方程式しかないわけですから、方程式は解けませんね。(通常不定形といいます。変数の数に対して、独立な方程式の数が変数の数より少ない場合にです。)

x=kと置けば
y=1-k,z=-k(kは任意の定数)
となり、(x,y,z)の解は一意に定まらないということです。
つまり、(x,y,z)=(k,1-k,-k) (kは任意の定数9
ということですね。

もう、1つ独立な方程式があればkが確定しますね。
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この回答へのお礼

なるほど!大変よく分かりました!
そうでしたか、不定形と言うのですね。どうも式を変形するたびに同じになってしまって、やっとの思いで(4)~(6)にしてみたのですが、2つしかなかったのですね。
こういう場合は、任意の定数kと置くのですか。
それで当てずっぽうでも色々な答えが出てきたんですね。
ありがとうございました。

お礼日時:2006/02/06 19:26

わかりました。



私の出した回答 (x,y,z)=(0,1,0)だけではなく、(x,y,z)=(-4,5,4)でも3式とも成立してしまいますね。

で、解が複数あるということなんですね。ありがとうございました。
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この回答へのお礼

度々、ありがとうございました。
また、よろしくお願いします。

お礼日時:2006/02/06 19:20

corpusさんに質問なのですが、



>つまり、y-z=1となるような関係(y,z)の組ならすべて満たしてしまいます。
>ひとつには決まらないということです。

ということですが、この場合、xはなんでもいいのでしょうか?
だったら、y=5,z=4だった場合、y-z=1は成立するのですが、
(1)の式は、xが特定の数にならなければ成立しないように見えるのですが。

すいません。素人だもんで、勘違いしてるかもしれません。
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この回答へのお礼

最初は、x=0、y=1、z=0だと思ったのですが、適当な数字で試行錯誤していると、色々出来てしまうんです。
ありがとうございました。

お礼日時:2006/02/06 19:19

No.1です。


どうやら勘違いしていたようで、逆行列がない=解がない、と思い込んでいました・・・。

ごめんなさいm(_ _)m
専門家で、しかも自信ありにしてたのに恥ずかしいっ!!

お粗末さまでした~。
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この回答へのお礼

いえいえ、ありがとうございました。
また、何かありましたら、よろしくお願いします。

お礼日時:2006/02/06 19:15

2元2次の連立方程式のとき


ax+by=c
ax+by=c
このときグラフは完全に重なってしまいます。
交点でなく「交線」になってしまいます。

ところで(1)-(3)は
y-z=1
そして(2)-5*(3)は
y-z=1
になります。
同じように交点でなく「交線」になってしまいます。
つまり
y-z=1
となるような関係(y,z)の組ならすべて満たしてしまいます。
ひとつには決まらないということです。
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この回答へのお礼

>このときグラフは完全に重なってしまいます。
>交点でなく「交線」になってしまいます。

そういうことでしたか!
もう、これぐらいは普通に解けるものだと思っていたので、何で解けないのか理由がわかりませんでした。やっとすっきりしました。
ありがとうございました。

お礼日時:2006/02/06 19:13

普通に解けば、次のようになると思います。



x-3y+4z=-3  (1)式
5x+2y+3z=2  (2)式
x-y+2z=-1   (3)式

(3)-(1)
(x-x)(-y+3y)(2z-4z)=-1+3
2y-4z=2
y-2z=1 ----------(4)

(2)-5*(3)
(5x-5x)(2y+5y)(3z-10z)=2+5
7y-7z=7
y-z=1
y=z+1 ----(5)

(4)に(5)を代入して
(z+1)-2z=1 z-2z+1=1 -z=0 z=0

これを(4)に代入して
y-2*0=1 y=1

y=1,z=0を(1)に代入すると
x-3*1+4*0=-3 x=-3+3-0 x=0

よって、x=0,y=1,z=0が答えではないでしょうか。
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この回答へのお礼

なるほど!色々試したつもりでしたが、(3)-(1)で(4)を導いてはいませんでした。(1)-(3)では、できなくなってしまって、堂々巡りのようになっていました。
ありがとうございました。

お礼日時:2006/02/06 19:10

こんにちは、lock_mと言います。


まず結論から言って、この連立1次方程式は解を持たないはずです。
アプローチの仕方はいくつかあると思うのですが、線形代数の観点から、まず3つの式を係数の行列と変数の行列に分けて考えます。

係数行列A(3行3列)を
(1 -3 4
5 2 3
1 -1 2)
変数の行列X(3行1列)を
(x
y
z)
あと、b(3行1列)を
(3
2
-1)
とすると
AX=bとあらわせますね。

Xを求めたいとき両辺に左から逆行列inv(A)を掛ければ求まりますよね。でもこの場合、Aは逆行列を持ちません。
したがって解を持たない。と言うのが1つのアプローチです。

またAとbを横に並べて[A|b]を簡約化するのも一つの方法です。
参考になりましたでしょうか?
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この回答へのお礼

今回は、違ったようでしたが、行列を用いて解く方法もありましたね。行列は苦手でしたので、思いつきもしませんでした。今後は、役立てられるよう記憶に留めて置きたいと思います。
ありがとうございました。

お礼日時:2006/02/06 19:03

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中和滴定では、1滴ずつ落としながら指示薬の変化を見て判断しますよね。今、1滴が0.1mLだとしましょう。最初HClだけであれば[H+]=0.1=1.0×10(-1)mol/Lつまり、pH=1となります。そこに、NaOHが3滴入ると少しだけ中和して
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>ちなみに答えは、x=1-√5、y=-2のようで、確かに代入してみるとそのとおりになります。。

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(1)×4
(1)-(2)
  8=4a+4b
  8=2a+b
ー) ~~~~~
  0=2a+3b


頭が悪くてすいませんが、アドバイスよろしくお願いします。

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2と8をそろえても意味ないですよ!

でも、数字をそろえるっていう考え方はあってます!



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(1)×2
(1)-(2)
   4=2a+2b
   8=2a+b
ー)~~~~~~
 -4= b



↑のやり方で「b=-4」と出るので、
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また(2)の式に「×4」すれば、「b」消えるので、「a=●」を求められます。
問題によって、係数をそろえやすいほうをすればいいと思います!



連立方程式は中3になっても、2次関数とかで出てくるのでがんばってくださいね*^^
教えるのは苦手なので、分かりにくかったらすみません><


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