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群G,G'に対し、写像
φ:G×G'→G
  (x,y)→x
を考える。次の問いに答えよ。
(1)φは群準同型写像であることを示せ
(2)Kerφは何か
(3)群同型写像G'→Kerφを作れ
(4)G'とKerφを同一視することによってG'がG×G'の正規部分群とみなせる G×G'/G'がGと同型を示せ

教科書を何度読んでも(2)から、わかりませんでした。解答も略解なので、試験のときどういう解答を書けばよいか解答例を教えてください。

A 回答 (2件)

群G,G'に対し、写像


f:G×G'→G , f(x,y)=x
(1) f((x,y)(a,b))=f(xa,yb)=xa=f(x,y)f(a,b)
(2)Ker(f)={(1,y)|y∈G'}の証明
Ker(f)⊂{(1,y)|y∈G'}の証明
(x,y)∈Ker(f)={(x,y)∈G×G'|f(x,y)=1}
→1=f(x,y)=x→(x,y)∈{(1,y)|y∈G'}→Ker(f)⊂{(1,y)|y∈G'}
{(1,y)|y∈G'}⊂Ker(f)の証明
(x,y)∈{(1,y)|y∈G'}→x=1→f(x,y)=f(1,y)=1→(x,y)∈Ker(f)→{(1,y)|y∈G'}⊂Ker(f)
→Ker(f)={(1,y)|y∈G'}

(3)g:G'→Ker(f) , g(y)=(1,y)とするとgは同型写像となるの証明
g(ab)=(1,ab)=(1,a)(1,b)=g(a)g(b)→gは準同型
g(a)=g(b)→(1,a)=(1,b)→a=b→gは単射
(x,y)∈Ker(f)={(1,y)|y∈G'}→x=1→(x,y)=(1,y)=g(y)→gは全射→gは同型写像

(4)h:(G×G')/G'→G , h((x,y)G')=xとするとhは同型写像となるの証明
h((x,y)G'(a,b)G')=h((xa,yb)G')=xa=h((x,y)G')h((a,b)G')→hは準同型
h((x,y)G')=h((a,b)G')→x=a→(x,y)(a,b)^{-1}=(xa^{-1},yb^{-1})=(1,yb^{-1})∈Ker(f)=G'
→(x,y)G'=(a,b)G'→hは単射
x∈G→h((x,1)G')=xとなるからhは全射→hは同型写像
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>ご自分の判断や不明点の説明もなく回答のみを求める質問はマナー違反であり



ということですのでご注意下さい。「(2)から、わからない」ということは、(1)は、わかったということですね。でも、わたしは、(1)がわかりません。群の直積G×G'はどんな群として定義されているのか、がわかりませんから、答えようがありません。それがわかれば、(2)以降の問題はすべて基本問題です。教科書を良く読んで、もう一度考えてみて下さい。それでも、わからなければ、わかるところまで、ご自分の回答を示して下さい。
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