「正規行列が三角行列であるときその行列は対角行列である」
の説明に両者の成分比較をすれば明らかであると本に書いてありました
それ以上説明がないので困っています
誰か分かりやすく示してください

A 回答 (1件)

 数学は忘れてしまいました。

現役大学生が見たら笑われるかもしれませんがこんな感じじゃない?
行列Aが正規行列であるとき AA’=A’A が成り立つのは知っていますよね。 ここではA’はエルミート行列(ユニタリ行列でも可、実数の場合は対象行列、直交行列でも可)だと思ってください。
エルミート行列は A’=A --------------------------------(1)
を満たします。(A’が実対象行列や実直交行列も同じ)
 ためしに3×3行列で証明してみましょう(N×N行列でも同じになります)。
もし、いま正規行列Aが三角行列であるとき、

--------------{ a b c }        
-----------A={ 0 d e }
--------------{ 0 0 f }行列の書き方がわからないのでこういう表記になりました。

とすると
---{ a' 0  0 }
A’={ b' d' 0 }
---{ c e' f' }

になるはずです。 (1)より A-A'=0 でなくてはならないので
b=c=e=0 でなくてはなりません。対角成分のa,d,fが生き残るので、行列Aは対角行列である。

 こんなことはわざわざ証明するまでもないんじゃない?
まずは簡単な行列で自分で試してみる事を常に心がけてくください。 

      

この回答への補足

大学生出てからだいぶたってますから笑いませんよ(^o^)

Aが上三角でエルミートの場合はnが自然数一般であってもi<jならば
a[j,i]=0(上三角条件)であり
a[i,j]=a[j,i]’(エルミート条件)であるから
a[i,j]=a[j,i]’=0であり対角になるのはすぐ分かるのですが

Aが正規行列でnが自然数の場合A’・A=A・A’の成分比較によって
a[j,i]=0からa[i,j]=0を導くのがなかなか難しいのですが
エルミートと違って正規は非0成分が多いですからね

よろしくお願いします

補足日時:2002/01/10 00:07
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この回答へのお礼

補足の修正をします

Aが上三角でエルミートの場合はnが自然数一般であってもi<jならば
a[j,i]=0(上三角条件)であり
a[i,j]=a[j,i]’(エルミート条件)であるから
a[i,j]=a[j,i]’=0であり対角になるのはすぐ分かるのですが

Aが正規行列でnが自然数の場合A’・A=A・A’の成分比較によって
a[j,i]=0からa[i,j]=0を導くのがなかなか難しいのですが
エルミートと違って正規は対称成分間に簡単な関係がないですからね

よろしくお願いします

お礼日時:2002/01/10 02:02

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Q三角行列 対角行列

三角行列における行列式の計算は、
対角成分の総積で計算できますが、

対角行列(正方行列であって、その対角成分以外がゼロ
であるような行列の事。)の行列式も同様に対角成分の
総積で計算して良いでしょうか?

以上、ご回答よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

例えば「長方形は正方形です」と言ったら納得できないのかなあ?

正方行列の各要素を,対角,上,下の3グループに分けたときに
対角行列は上と下がすべて0
上三角行列は下がすべて0
下三角行列は上がすべて0
というのが定義です。
「上と下がすべて0」から「下がすべて0」が導けるでしょ。

QVが2×2対称行列全体なら(x,y,z)はVのある基底に関しての成分である事を示せ

よろしくお願い致します。

LetV be a finite dimensional space over the field K. Let g=<,> be a scalar product on V. By the quadratic form determined by g, we shall mean the function
f:V→K such that f(v)=g(v,v)=<v,v>.

と二次形式の説明があります。
fが二次形式とはg:V×V→Kがありf:V→KをV∋∀x→f(x):=g(x,x)と定義すると,
fはgの二次形式であるとか言ったりするのでしょうか?

それで次の問題を解きたいのですが、、、

[problem] Let V be the vector space over R of 2×2 real symmetric matrices.
(1) Given a symmetric matrix A=
x,y
y,z.
Show that (x,y,z) are the coordinates of A with respect to some basis of the vector space of all 2×2 symmetric matrices. Which basis?
(2) Let f(A)=xz-yy=xz-y^2.
If we view (x,y,z) as the coordinates of A then we see that f is a quadratic form on V. Note that f(A) is the determinant of A,which could be defined here ad foc in a simple way.
Let W be the subspace of V consisting of all A such that tr(A)=0.
Show that for A∈W and A≠O we have f(A)<0. This means that the quadratic form is negative define on W.

negative defineとは∀v∈Vに対して<v,v>≦0そしてv≠Oなら<v,v><0というものです。


(1)については
V:={A;Aは対称行列}とする。Aは変数が3つなので
{(x,y,z)∈R^3;x,y,z∈R}={(x,y,z)∈R^3;M}
(但しMは行列
x,y
y,z
の事)
従って,(x,y,z)は全ての2×2対称行列のある基底に関しての成分を表している。
、、、とこんな解答でいいのでしょうか?

Which basis?は「何が基底?」という意味でしょうか。
Vの基底として{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}が採れると思います。

(2)については
W:={A∈V;tr(A)=0,A is symmetric}で
O≠∀A∈Wに対しtr(A)=0よりx+z=0.よってf(A)=xz-y2=-x2-y2<0 (∵A≠O).
としてみたのですがこれもこんな解答でいいのでしょうか?

よろしくお願い致します。

LetV be a finite dimensional space over the field K. Let g=<,> be a scalar product on V. By the quadratic form determined by g, we shall mean the function
f:V→K such that f(v)=g(v,v)=<v,v>.

と二次形式の説明があります。
fが二次形式とはg:V×V→Kがありf:V→KをV∋∀x→f(x):=g(x,x)と定義すると,
fはgの二次形式であるとか言ったりするのでしょうか?

それで次の問題を解きたいのですが、、、

[problem] Let V be the vector space over R of 2×2 real symmetri...続きを読む

Aベストアンサー

>これは意味が分かりません。どのようにして示せばいいのでしょうか?

もう自分で示してるのでは?
「成分の定義」を理解してますか?
成分というのは基底に依存するのです.

例えば
ベクトル(1,1)は基底(1,0),(0,1)で考えれば成分は(1,1)だけども
基底(1,1),(1,0)で考えれば成分は(1,0)です.
これは
(1,1)=1(1,0)+1(0,1)
(1,1)=1(1,1)+0(1,0)
ということです.

QAB=BAならA,Bとも同じユニタリ行列で対角化可能を示せ

Cを複素数体とする。VをC上の有限次元内積空間とする。
A,Bが正規行列(AA^*=A^*A,BB^*=B^*B)ならABも正規行列となる。
下記の問に答えよ。
[問] AB=BAならA,Bとも同じユニタリ行列で対角化可能を示せ。

P^-1AP,Q^-1BQ (P,Qはユニタリ行列)とA,Bは対角化されたとしてこれから
P=Qを示したいのですが頓挫しております。

どうかお助けください。m(_ _)m

Aベストアンサー

では、証明の概略を説明しましょう。
いま考えているベクトル空間をVとし、Vの次元をnとします。
Aの固有値をλ1, λ2,..., λr, (r≦n)とします。相異なる固有値をすべて列挙したと考えてください。r≦nなのは、固有値が重なっていることがあるためです。
固有値λ1, λ2,..., λrに対応するそれぞれの固有空間をV1, V2, ..., Vrとします。Aは正規行列なので、空間Vは固有空間の直和に分解できます。(これが、Aが対角化可能ということです)つまり、任意のVの元xはx=v1+v2+...+vr (vj∈Vj, j=1,..,r) の形に一意的に表されるということです。(このv1,..,,vnがAの固有ベクトルに他なりません。)
Bについても同様に、固有値をμ1, μ2,..., μs, (s≦n)とし、固有空間をW1, W2, ..., Wsとすれば、やはりVをそれらの直和に分解することができます。(ここで、Aによる分解とBによる分解は別々の分解ですが、ここから両方に共通の分解を作っていきます)

固有値・固有ベクトルの定義を思い出すと、A v = λv, B w = μw, (u,w≠0)でした。ここで、注意すべきなのは、Aの固有空間はAによって変わることはなく、Bの固有空間もまたBによって変わらないという事実です。実際、v1∈V1ならば、A v1=λ1 v1∈V1。このことを、集合の記号を使って、A(V1)⊂V1とかきます。よって、
 A(V1)⊂V1, A(V2)⊂V2,..., A(Vr)⊂Vr,
 B(W1)⊂W1, B(W2)⊂W2,..., B(Ws)⊂Ws,
左辺のA(V1),..などは、みな部分空間になっています。このように、空間全体がいくつかの部分空間に完全に分解される点(正規変換の性質)、さらに、変換した先が、別の部分空間に入ってしまうということが決して起らない点(固有空間の性質)が重要です。

ところで、AB=BAという条件から何がいえるかというと、たとえば
v∈V1のとき、A( B v1)= B( A v1)=B(λ1 v1)=λ1 B v1 よって
A( B v1)=λ1 B v1で、これは、B v1∈V1であること、いいかえるとB(V1)⊂V1ということです。同様にして、
A(Vj)⊂VjかつB(Vj)⊂Vj (j=1,2,...,r)
A(Wk)⊂WkかつB(Wk)⊂Wk (k=1,2,...,s)
であること、これが、AとBの関係です。

さて、AとBが同じユニタリ行列で対角化されるには、AとBが同じ固有ベクトルを持たねばなりません。これからその共通のベクトルを探すことを考えます。
まず簡単な場合、V1が1次元の場合を考えます。このときは、B(V1)は0次元または1次元です。V1の0でない元v1を一つとります。v1はAの固有ベクトルです。B(V1)が0次元のときは、B v1 = 0だから、v1はBの固有ベクトルでもあります。B(V1)が1次元のときは、B v1 = x v1の形にしかなりませんから、この場合もBの固有ベクトルになっています。このように考えると、V1,V2,...,Vnがみな1次元だったら、Aの固有ベクトルがそのままBの固有ベクトルになっていることがわかります。したがって、それらの固有ベクトルを集めたものが、AとBを同時に対角化するユニタリ行列になります。

V1が2次元以上の場合は次のようにすればよいでしょう。W1, W2, ...のなかから、
V1∩Wkが0以外の元を含むような空間Wkを探します。そんなものが都合よく見つかるのかって? V1の元(0以外)を適当にとり、その点をBで写してから空間W1,W2,...への正射影を想像してください。B(V1)⊂V1だったことを思い出すと、全部の射影が0になることはないですよね。そのときのV1∩Wkの元(0以外)がAとBの共通の固有ベクトルになっています。固有ベクトルが一つみつかれば、その方向を取り除いた空間(直交補空間といいます)を考えて、また同じことをすれば、共通の固有ベクトルを順に決めることができるはずです。こうして次々に次元を減らしていけば、所望の固有ベクトルの組を決めることができて、それらを集めてユニタリ行列が作れます。ただし、このときの固有ベクトルは、一般には一通りに決まりません。

長くなってしまいました。最後に一つアドバイス。以上の説明では、対角化可能をいうのに、具体的に固有値や固有ベクトルがどんな式になるかは、まったく出てきませんでした。その代わりに、空間を分解するとか、部分空間といった話が中心でした。いつでも計算だけで答えがだせるとは思わないようにしましょう。

では、証明の概略を説明しましょう。
いま考えているベクトル空間をVとし、Vの次元をnとします。
Aの固有値をλ1, λ2,..., λr, (r≦n)とします。相異なる固有値をすべて列挙したと考えてください。r≦nなのは、固有値が重なっていることがあるためです。
固有値λ1, λ2,..., λrに対応するそれぞれの固有空間をV1, V2, ..., Vrとします。Aは正規行列なので、空間Vは固有空間の直和に分解できます。(これが、Aが対角化可能ということです)つまり、任意のVの元xはx=v1+v2+...+vr (vj∈Vj, j=1,..,r) の形...続きを読む

Q対角成分が等しい対称行列の正式名称はないでしょうか?

対角成分が等しい対称行列
つまり
(a b)
(b a)
のような形の行列の正式名称、もしくはもっと簡単な呼び名は
ないでしょうか?

とてもシンプルな形なのに、いちいち「対角成分が等しい対称行列」
というのは少し面倒な気がします。
皆さんはこの形の行列のことを何と呼んでいますか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

a b
b c
も対称行列だよ>No.1

> 皆さんはこの形の行列のことを何と呼んでいますか?
なんともよんでないと思う
一般のn次正方行列の場合
あんまり面白い対象じゃないはずです.
固有値や行列式・対角化で考えてみましょう.

似たようなもので「巡回」行列ってのはあるけど
2次の場合,たまたま巡回行列が
a b
b a
となるだけで,n次では「巡回行列」は
もっときつい条件で定められた違うものになります.

Q行列の対角化の説明でよくわからない点が

■(1)
(a11 a12 a13)(p11 p12 p13) (p11 p12 p13)(λ1 0 0)
(a21 a22 a23)(p21 p22 p23) = (p21 p22 p23)( 0 λ2 0)
(a31 a32 a33)(p31 p32 p33) (p31 p32 p33)( 0 0 λ3)

(λ1p11 λ2p12 λ3p13)
= (λ1p21 λ2p22 λ3p23)
(λ1p31 λ2p32 λ3p33)

ここまでは理解しました。
■(2)
Apj = λjpj;
(a11 a12 a13)(p1j)    (p1j)
(a21 a22 a23)(p2j) = λj(p2j) (j=1,2,3)
(a31 a32 a33)(p3j)   (p3j)

これが理解できません。なんでjを使うんですか?
まあなんとなく最初の式■(1)を表jを使ってしているとして

■(3)
Ap = λp;
{a11p1 + a12p2 + a13p3 = λp1
{a21p1 + a22p2 + a23p3 = λp2
{a31p1 + a32p2 + a33p3 = λp3

これは■(2)を計算(展開)してるだけですよね?

■(4)
(A - λE)x = 0;
{(a11 - λ)x + a12y + a13z = 0
{ a21x + (a22 - λ)y + a23z = 0
{ a31x + a32y + (a33 - λ)z = 0

これは■(3)の式でp1,p2,p3をx,y,zに置き換えて右辺を左辺に移行して括ったものですよね?
なんで単位行列Eが出てくるんですか?


なんかモヤモヤしてしっくりきません。

■(1)
(a11 a12 a13)(p11 p12 p13) (p11 p12 p13)(λ1 0 0)
(a21 a22 a23)(p21 p22 p23) = (p21 p22 p23)( 0 λ2 0)
(a31 a32 a33)(p31 p32 p33) (p31 p32 p33)( 0 0 λ3)

(λ1p11 λ2p12 λ3p13)
= (λ1p21 λ2p22 λ3p23)
(λ1p31 λ2p32 λ3p33)

ここまでは理解しました。
■(2)
Apj = λjpj;
(a11 a12 a13)(p1j)    (p1j)
(a21 a22 a23)(p2j) = λj(p2j) (j=1,2,3)
(a31 a32 a33)(p3j)   (p3j)

これが理解できません。なんでjを使うんですか?
まあなんとなく最初の式■(1)を表jを使ってしているとし...続きを読む

Aベストアンサー

(2)は、(1)を列ごとに分けて書いただけです。
(2)に、P が正則な、すなわち
pj が一次独立な解が在るということは、
(3)に、p が独立な3組の解が在るということです。
(3)は、(1)の各列を一つに重ねて書いた
とでも言えばいいかな。
(3)の右辺を左辺へ以項したときに、
x = Ex を使って x を括り出すと
(4)の式になります。
E は、そのためのギミックです。
(A-λ)x = 0 とは、できませんからね。
斯くして、
(1)に、P が正則な解が在ることが、
(4)に、x が一次独立な3組の解が在ることに
変形されます。


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