両端を固定した弦の微小振動を表す波動方程式 u_tt(t,x) = c^2u_xx(t,x) (c は波の伝播速度) に記憶効果を考慮すると右辺に\int_0^t a(t-s)u_xx(s,x)dsのような積分項が加わるらしいのですが, そもそも, 弦の振動の記憶効果とはどのような物理現象なのでしょうか? (過去の影響を表すようだが...) またそれを数式で表現したものが積分項になる理由を教えてください. このようなことが書かれている文献(和・洋を問わず) でも構いません.

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (4件)

「記憶効果」というのは、物理現象によく現れるもので、弦に限ったものではありません。

物理では、ミクロでもマクロでも「運動方程式」は時間に関して可逆でありますが、現実、マクロで不可逆の現象は一般に存在するわけです。つまり、時間の方向がわかるわけで、それは、過去の効果が残っていることが一因です。これを「記憶効果」といいます。
一般に、このような効果を表すには、運動方程式に摩擦の項を導入します。
例えば、一般の緩和現象では、着目する物理量Aに対して、その時間変化は、
dA/dt=iωA-γA (1)
と書けます。右辺2項目が摩擦の項です。この解は、
A=A(0)exp(iωt-γt)
となり減衰関数になります。
でもこれでは、時間的には瞬間の効果しか入っていません。
記憶効果をとり入れるためには、これを拡張し、
dA/dt=iωA-\int(from0tot)M(s)A(t-s)ds (2)
とします。ここでM(s)は記憶関数とよばれ、Aの「過去」が現在のAの変化率にどれくらい利いているかをあらわす関数です。つまり第二項が記憶項で、摩擦の拡張になっています。
例えば、過去が利かない(記憶がない)ときには、
M(s)=2γδ(s)
とデルタ関数になって、これを(2)に代入すると、(1)の式になります。
つまり、過去の記憶をとりいれればならないときには、このように、積分項を導入しなければなりません。
(ということは、感覚的に上記例でわかっていただけると思います。)
弦の場合も同じです。
つまり、弦の運動の不可逆性を、単にその瞬間の摩擦(エネルギー散逸)だけではなく、過去の効果もとり入れる場合には、積分項が必要です。
弦の記憶効果も、広い意味で、弦の「摩擦」(エネルギー散逸)ととらえればよいでしょう。

このような「記憶効果」の一般論は、非平衡や不可逆の物理(力学、熱力学、統計力学など)の教科書には必ず載っているはずです。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました (返事が遅くなり申し訳ありませんでした).
おかげさまで, おおよそのことはわかりました. お答えに便乗してもう少し質問させて下さい. 回答にある記憶関数 M(t) としては具体的にどのような関数を考えるのが自然なのでしょうか ? たとえば, t=0 で M(t) がsingular (M(0)=\infty になる) だが t \to \infty で 0 に減衰する関数と, t=0 も込めて微分可能な関数では, 物理現象としてはどのような違いがでてくるのでしょうか ? それから, ご指摘の非平衡や不可逆の物理の教科書をいくつか調べてみましたが, 「記憶効果」とはっきりと書かれた教科書を見出すことができませんでした. 具体的に文献を教えていただければ幸いです.

お礼日時:2002/01/17 20:44

まだ、締め切りではない様なので、


記憶効果や記憶項に関する
記述がある教科書を、ご紹介します。

非平衡系の統計力学 物理学教科書シリーズ
藤坂 博一 著 (1998/01/01) 産業図書
    • good
    • 0
この回答へのお礼

chukanshi さん, ご回答頂きありがとうございました. ご紹介の文献はすべて取り寄せて調べてみることにします. とりあえず弦の振動についてだけわかればと思っていたのですが, 意外に日本語の文献はないようですね.
お礼の返事が遅くなりまして申し訳ありませんでした.

お礼日時:2002/03/12 13:40

>回答にある記憶関数 M(t) としては具体的にどのような関数を考えるのが自然な


>のでしょうか ?
>「記憶効果」とはっきりと書かれた教科書を見出すことができませんでした. 具体>的に文献を教えていただければ幸いです.

申し訳ありません。確かに、「記憶効果」について具体的に書かれている本は、
なかなかありませんでした。

その中でも、良い文献をあげておきます。

鈴木増雄著「統計力学」岩波書店
「記憶関数」が、他の物理量からどのようにして導出されるのか記述がある。
索引で「記憶関数」を調べてください。

久保亮五他著「統計物理学」岩波書店
「記憶項」についての、形式的で一般的な理論が展開されている。
索引で「記憶項」を調べてください。

以上の文献等を読んでいたら、自分でもよくわからないところがいっぱい出てきて、すっかり自信をなくしてしまいました。
まとめを書こうと思いましたが、申し訳ありませんが、駄目です。
お許し下さい。
以上で、私からのコメントは終了です。
大変失礼しました。
    • good
    • 0

記憶効果について詳しい文献は、洋書で


「Quantum dissipative systems」
Weiss著
というのがあります。かなり専門的な本です。
量子系の本ですが、始めのほうの古典論の
レビューが役に立ちます。
波動の記憶効果について書いてあるわけではありませんが
一般論が書いてあるので、波動についても、
今のご質問に簡単に応用できると思います。

記憶関数の性質や、日本語の文献は、いま整理してまとめて
いるところです。
近日中にこの欄に書きこみますので、
まだ締め切らないでください。
乞う、ご期待。
遅くなってすみません。
    • good
    • 0

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q高階連立常微分方程式の数値計算

4次のルンゲクッタ法を用いた数値計算を勉強しています.
1階連立常微分方程式と高階常微分方程式は理解でき,プログラムも作成することができました.

次に高階の連立常微分方程式を解こうと思ったら,頭が混乱してしまいました.

4次のルンゲクッタ法を用いて高解連立常微分方程式を解く考え方を教えて頂ければ嬉しいです.
また何か良い参考書があれば教えて頂きたいと思います.

よろしくお願いします.

Aベストアンサー

すべての変数の再高階でない微係数を、あらたな変数にしてしまえば、どんな高階の連立常微分方程式も1階連立常微分方程式になります。

たとえば、
x''+2y''+3x'y'=0
x''+4x''+5x'+6y'+7x+8y=0
とかだったら(超適当です)、
z=x' , w=y'
とすれば、
z'+2w'+3zw=0
z'+4w'+5z+6w+7x+8y=0
z-x'=0
w-y'=0
と4変数の1階連立常微分方程式になります。

Q(∂U/∂V)_t=T(∂P/∂T)_v-P

大学の講義で (∂U/∂V)_t=T(∂P/∂T)_v-P
をマクスウェルを使わずに証明していたのですが
写真の?の部分の意味がわからないです…
教えてくださいm(__)m

Aベストアンサー

意味としてはマックスウェルの関係式と同じものですね。

df = fx dx + fy dy

が完全微分である条件は

∂fx/∂y = ∂fy/∂x

という数学の定理。

より一般に,3変数なら

df = fx dx + fy dy + fz dz

fx, fy, fzをベクトルFの成分としたとき,dfが完全微分である条件は

rot F = 0

このとき,ベクトルFを導くスカラーポテンシャルφが存在し

F = grad φ

となるので,

fx = ∂φ/∂x,fy = ∂φ/∂y

したがって,冒頭の

∂fx/∂y = ∂fy/∂x

という条件は

∂(∂φ/∂x)/∂y = ∂(∂φ/∂y)/∂x

Q数学II 式の計算と方程式

数学II 式の計算と方程式

二次方程式 x~2-3x+1=0 の解をa,bとするとき、a~2,b~2を解とする二次方程式を2つ求めよ。

という問題なのですが、解と係数の関係からa+bとabをもとめてみたもののどうにもなりません。

アドバイスをお願いします。

Aベストアンサー

No.2です。
No.2の要領でひとつ目の二次方程式をもとめたなら、
その式のグラフのx軸に関して対象なグラフの式がもうひとつです。
具体的にはひとつ目の式のx~2の係数が符号反対で
頂点のy座標の符号反対のもの。
あとはご自分で。

これで正解だと思います...
もう遅いかもしれませんがせっかく解いたので。

Q(x,y)平面内の質点に力F(xy,xy^2/2)でかけられているとき質点が(0,r)から(r,0)

(x,y)平面内の質点に力F(xy,xy^2/2)でかけられているとき質点が(0,r)から(r,0)まで半径rの演習を動く時に力のなした仕事を求めよ。
これが分かりません…

Aベストアンサー

たぶん
(x,y)=(r・cosθ,r・sinθ)
と置いてF・dlをθについて π/4から0まで積分すればいいんじゃないのかな。
ちなみに
dl = (r・sinθ,-r・cosθ)dθ
ベクトルの内積はわかるよね?
だったら計算はできるかと。

Q常微分方程式の数値計算

実験で常微分方程式の数値計算をしました

y'(x)=2xy,y(0)=1.0(解はy=ex2)←eのx二乗の微分方程式できざみ幅h=0.1、区間〔0,2〕の条件で
オイラー法と改良オイラー法とルンゲクッタ法を使って
表計算ソフトを使って求めよとあるのですが、

表計算で近似値のy座標とか Δt後のxの変化分K1とか求めるのですが、全然意味がわからなくて、

何かいい方法はないでしょうか?

Aベストアンサー

No.8の補足への回答です。

>k1=Δt*(tan(x))^2*x*y
>k2=Δt*(tan(x))^2*(x+Δt/2)*(y+k1/2)
>でいいのでしょうか?

ちがいます。

(ア)f(t,x) = (tan(t))^2 の場合は、

k1=Δt*(tan(t))^2
k2=Δt*(tan(t + Δt/2))^2

(イ)f(t,x) = (tan(x))^2 の場合は、

k1=Δt*(tan(x))^2
k2=Δt*(tan(x + k1/2))^2

ところで、問題から見て、(ア)が正しいはずなのですが、もう一度確認していただけませんか?
ちょっと混乱しているので、確実にしたほうがよいと思います。
x=tan t - t を tで微分したら、(tan x)^2 ではなくて (tan t)^2 になります。

Q物理の問題です。 座標がx(t)=4t^3-6t^2で与えられる直線運動の時刻tにおける物体の瞬間的

物理の問題です。
座標がx(t)=4t^3-6t^2で与えられる直線運動の時刻tにおける物体の瞬間的な速度v(t)の求め方がわかりません。
よろしくお願いいたしますm(._.)m

Aベストアンサー

速度=移動量/時間ですよね

時刻tから時刻t+Δtにおける座標の差分をΔtで割ります。Δtをゼロに近づけていくと時刻tにおける瞬間速度が出ます。
さて、上の計算って微分の定義その物ですよね。
位置→微分→速度→微分→加速度
逆に、
加速度→積分→速度→積分→位置
になります。
物理量って大概割ったり掛けたりして出すので、複雑な式で定義された場合でも微分積分使うととても楽に解けます。

Qこの方程式は、計算機なしでいける?

1/x + sinxe^cosx = 0

・・・この方程式を、計算機を使わずに人力で解く方法はありますか?

Aベストアンサー

解析的には解けませんね。
数値計算で解くのであれば解けます。
高校の数学で習う?ニュートン法(ニュートン・ラプソン法とも呼ばれている)を使えば、かなり正確な数値解が得られると思います。
x=pが方程式の解なら、x=-pも解になる。解は正負組の解が無限に存在します。

ニュートン法を使えば、
f(x)=1/x+sin(x)*e^(cos(x))
のグラフの概形を描いて、大雑把な近似解を求め、それを使って計算すればよい。
計算してみると数値解は同じ絶対値の正負の実数解の組が無限に存在するが
絶対値の小さい方から6組計算すると以下のように求められます。
x1,x2=±3.7759...,
x3,x4=±6.2239...
x5,x6=±9.6982...
x7,x8=±12.5370...
x9,x10=±15.8775...
x11,x12=±18.8300...
....
などとなります。

参考URL:http://www.akita-nct.ac.jp/yamamoto/lecture/2005/5E/nonlinear_equation/text/html/node4.html

解析的には解けませんね。
数値計算で解くのであれば解けます。
高校の数学で習う?ニュートン法(ニュートン・ラプソン法とも呼ばれている)を使えば、かなり正確な数値解が得られると思います。
x=pが方程式の解なら、x=-pも解になる。解は正負組の解が無限に存在します。

ニュートン法を使えば、
f(x)=1/x+sin(x)*e^(cos(x))
のグラフの概形を描いて、大雑把な近似解を求め、それを使って計算すればよい。
計算してみると数値解は同じ絶対値の正負の実数解の組が無限に存在するが
絶対値の小さい方から6組計算...続きを読む

Q単振動の解x(t)=Asin(ωt+φ)において、次の①②を満たす解を求めよ。 ①初期条件x(0)=

単振動の解x(t)=Asin(ωt+φ)において、次の①②を満たす解を求めよ。
①初期条件x(0)=x0、x°(0)=0 (x(t)=dx(t)/dt)

②初期条件x(0)=0、x°(0)=v0

これの途中式と答えを教えて下さい。
お願いします。

Aベストアンサー

x° は時間微分ということですね? x°(t)≡dx/dt ということ。

だとすると、何が分からないのですか? 「微分」が分からないということ?
x(t)=Asin(ωt+φ)
ならば
dx/dt = Aωcos(ωt+φ)
ということは分かりますよね?

問題は「解を求めよ」ですが、「初期条件の値を求めよ」ということでしょうか。
そうであれば
① x(0) = Asin(φ) = x0

 x°(0) = Aωcos(φ) = 0
 → φ= [ (2n+1)/2 ]パイ (n:任意の整数)
このとき sin(φ) = 1 または -1
よって
 x0 = ±A

② x(0) = Asin(φ) = 0
 → φ=nパイ (n:任意の整数)
 x°(0) = Aωcos(φ) = v0
  φ=nパイ (n:任意の整数)なので cos(φ)=1 または -1
よって
 v0 = ±Aω

Q指数関数の混ざった方程式についての計算なのですが、

指数関数の混ざった方程式についての計算なのですが、

y=(Mc*e^rt0)/(1+c*e^rt0)を計算してc=の形にすると
(ただし、t=t0の時、y=y0となります。)
c=(y0*e^-rt0)/(m-y0)となるらしいのですが
なぜこうなるのか分かりません。
計算過程を教えてください。

また、このcをy=(Mc*e^rt)/(1+c*e^rt)に代入すると
y=(My0*e^r(t-t0)/(M-y0+y0*e^r(t-t0))となるらしいです。
この計算方法もわからないです。
教えてください。

ちなみにこの計算は人口予測を求めるロジスティック方程式の理論解を導出する過程
ででてくるものです。

Aベストアンサー

>y=(Mc*e^rt0)/(1+c*e^rt0)を計算してc=の形にすると
>ただし、t=t0の時、y=y0となります。)

 この式は、次の式のことですね。
  y0=M*c*exp(r*t0)/{1+c*exp(r*t0)}

 ここで計算過程を簡略化させるため exp(r*t0)=T とおきます。
 ∴y0=McT/(1+cT)

 以下、式変形を進めていきます。
 y0=McT/(1+cT)
⇔y0=M{1-1/(1+cT)}
⇔y0/M=1-1/(1+cT)  (M≠0なら)
⇔1/(1+cT)=1-y0/M
⇔1/(1+cT)=(M-y0)/M
⇔1+cT=M/(M-y0)   (分数の分母・分子をひっくり返しても両辺は等しいので。)
⇔cT=M/(M-y0)-1
⇔cT=y0/(M-y0)
⇔c=y0*T^(-1)/(M-y0)
∴c=y0*exp(-r*t0)/(M-y0)

 また、この c を c*exp(rt) に代入すると次のようになります。
 c*exp(rt)
=y0*exp(-r*t0)/(M-y0)*exp(rt)
=y0*exp{r(t-t0)}/(M-y0)

 したがって、y はつぎのようになります。
y=M*c*exp(r*t)/{1+c*exp(r*t)}
=M*y0*exp{r(t-t0)}/(M-y0)/[1+y0*exp{r(t-t0)}/(M-y0)]
=M*y0*exp{r(t-t0)}/[(m-y0)+y0*exp{r(t-t0)}]

>y=(Mc*e^rt0)/(1+c*e^rt0)を計算してc=の形にすると
>ただし、t=t0の時、y=y0となります。)

 この式は、次の式のことですね。
  y0=M*c*exp(r*t0)/{1+c*exp(r*t0)}

 ここで計算過程を簡略化させるため exp(r*t0)=T とおきます。
 ∴y0=McT/(1+cT)

 以下、式変形を進めていきます。
 y0=McT/(1+cT)
⇔y0=M{1-1/(1+cT)}
⇔y0/M=1-1/(1+cT)  (M≠0なら)
⇔1/(1+cT)=1-y0/M
⇔1/(1+cT)=(M-y0)/M
⇔1+cT=M/(M-y0)   (分数の分母・分子をひっくり返しても両辺は等しいので。)
⇔cT=M/(M-y0)-1
⇔cT=y0/(M...続きを読む

Q固有角振動数w=√(kL^2+3mLg-MLg)/√(ML^2+12m

固有角振動数w=√(kL^2+3mLg-MLg)/√(ML^2+12mL^2)のMを∞にすると
i√(g/L)となるのですが、固有角振動が虚数になるとき振動はしないのでしょうか?

Aベストアンサー

w=√(kL^2+3mLg-MLg)/√(ML^2+12mL^2)
が何の式かはわかりませんが

角振動数が虚数の時
w=w'iとして
exp(wi)=exp(-w')
なので振動せずに単に振幅が減衰していく解が得られます。


人気Q&Aランキング