極限値の問題です。

lim{(x)^x-(sinx)^x)/(x^3)
x→+0

というものです。身近な知り合い3名ほどにやってもらいましたが、お手上げでした。答えは1/6になるそうです。ロピタルの定理、テーラー展開など考えられるものやってみましたが・・・修行不足かな?

サイエンス社 サイエンスライブラリ理工系の数学2”改訂微分積分”州之内治男/和田淳蔵共著、改訂11版、P21 からの出展です。
往年の名著だし、改訂されているから、出題ミスということはないとは思いますが・・・

ちなみに
lim{x-sinx)/(x^3)=1/6
x→+0
という類似問題を他の本で見ましたがこれは大丈夫です。

A 回答 (1件)

分子を x^3 のオーダーまで求めればよいわけです.



x→0 のとき
sin x = x -(1/6)x^3 + O(x^5)
ですから
(1) log (sin x)^x
   = x log (sin x)
   = x log {x-(1/6)x^3 + O(x^5)}
   = x log x + x log {1-(1/6)x^2 + O(x^4)}
   = x log x - (1/6)x^3 + O(x^5)
したがって
(2) (sin x)^x
   = exp{x log x -(1/6)x^3 + O(x^5)}
   = x^x {1-(1/6)x^3 + O(x^5)}
これから
分子 = x^x {(1/6)x^3 + O(x^5)}
x^3 はちょうど分母と消え,x^x→1 だから
極限値=1/6

使っているのは,ロピタルの定理、テーラー展開くらいです.
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この回答へのお礼

わーい。ありがとうございました。こころのモヤモヤが消えました。
きれいな回答でわかりやすかったです。ロピタルの定理だけだと死にましたし、私はX^Xと(sinX)^Xを普通にテーラー展開していました。なるほど、一旦対数を取るのですか。思いつきませんでした。

お礼日時:2002/01/10 01:57

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を求めたいのですが、0/0型となります。
ロピタルの定理を用いて、分母分子をそれぞれ微分しようとしても、逆にややこしい式になります。
どのようにすれば解けるでしょうか?

Aベストアンサー

ロピタルの定理を繰り返し用いれば,求められますよ.
f(x) = e^(tan x) - e^x,
g(x) = e^(sin x) - e^x
とすると,
f(0) = g(0) = f'(0) = g'(0) = f''(0) = g''(0) = 0,
f'''(0) = 2, g'''(0) = -1
より,
lim[x->0] f(x)/g(x)
= lim[x->0] f'(x)/g'(x)
= lim[x->0] f''(x)/g''(x)
= lim[x->0] f'''(x)/g'''(x)
= 2/(-1)
= -2.
計算はご自分で.

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Aベストアンサー

←No.7 補足

その値になぜなるのかは、No.4 に書いておきましたよ?

変数を h = 1/x で置き換えると、
与式 = lim[h→0] { (1+h)^(1/h) / e }^(1/h) となって、
log(与式) = lim[h→0] log { (1+h)^(1/h) / e }^(1/h)
     = lim[h→0] (1/h){ (1/h)log(1+h) - log e }。

この式に、log z の z = 1 でのテーラー展開
log(1+h) = 0 + h - (1/2)h^2 + o(h^2) を代入すれば、
log(与式) = lim[h→0] (1/h){ (1/h){ h - (1/2)h^2 + o(h^2) } - 1 }
     = lim[h→0] { -1/2 + o(h^2)/h^2 }
     = -1/2。

すなわち、与式 = e^(-1/2)。

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=lim[x→0]e^x(x^3/6-x^6/72+...)e^(x^5/30-...))/x^3
=lim[x→0]e^x(1/6-x^3/72+...)e^(x^5/30-...))
=1/6

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Aベストアンサー

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この問題を少し変えて、
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lim_[x→∞](1+1/x)^(x+1)=lim_[x→∞](1+1/x)^x *(1+1/x)=e
(∵ x→∞ のとき(1+1/x)^x→e ,(1+1/x)→1)

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lim_[x→∞](1+1/(x+1))^x=lim_[y→∞](1+1/y)^(y-1)=lim_[y→∞](1+1/y)^y /(1+1/y)=e
(∵ y→∞ のとき(1+1/y)^y→e ,(1+1/y)→1)

結果は同じeですが、途中で+1を無視せずに解答する必要があるでしょう。


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