(X,Y)が2次元正規分布(μ1,μ2,σ1^2,σ2^2,ρ)に従っているとき、
X~N(μ1,σ1^2), Y~N(μ2,σ2^2), XとYの相関係数はρというのは間違いないと思っています。ところで、
(1) Y-Xは正規分布に従いますか?(XとYが独立でない場合にも再生性は保持されるのか?)
(2) 条件付き期待値E(Y-X|Y>X)は求められますか?

実は(2)が解きたいのですが、(1)が成り立つ(Y-X~N(μ2-μ1,σ1^2+2ρ σ1 σ2+ σ2^2)となるような気がするのですが)ならば、話が早くていいなぁと思いつつ、
同時密度関数h(x,y)を用いて、∫(-∞~+∞)h(t,z+t)dtをごりごり計算すれば(1)が解決するとは思いますが、それをごりごり計算している暇がなく・・・

ということで困っています。どなたかお助け願えないでしょうか?

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A 回答 (1件)

X,Yの直交座標系を回転してx,y直交座標系に写し、x,yが無相関(ρ=0)になるようにしてやれば良いのです。

そしてY-Xをx,yで表せば、アトは簡単ですね。これが主成分分析(principal component analysis)というやりかたです。
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この回答へのお礼

stomachmanさん、ありがとうございます。仰せのとおりの方法を自分なりに解釈してみましたが、こんな感じでよいのでしょうか?

1. U=Xcosθ+Ysinθ, V=-Xsinθ+Ycosθにより確率変数(U,V)を定義する。
2. Cov(U,V)=cosθsinθ(-V(X)+V(Y))+((cosθ)^2-(sinθ)^2)Cov(X,Y)=0という方程式を解いて、回転角についてθ=(1/2)*arctan(2Cov(X,Y)/(V(X)-V(Y))とすればU,Vは無相関となる。
ここで、(U,V)は無相関な2次元正規分布に従うことから、(周辺分布)U,Vはそれぞれ独立な正規分布に従う。(2次元正規分布に限り、ρ=0は独立の十分条件だったはず)
3. X=Ucosθ-Ysinθ, Y=Usinθ+VcosθよりY-X=U(sinθ-cosθ)+V(sinθ+cosθ)。U,Vについての再生性を用いることが可能。

という方法を用いると、結局Y-X~N(E(Y-X),V(Y-X))が(Excel上数値的には)言えるような気がしました。(式で証明をするのはでかすぎて大変ですが・・・)

ちなみに(2)は求める値を間違えてました。。。ごめんなさい。でも(1)を解決していただいたおかげで見通しがついたような気がします。ありがとうございました。

お礼日時:2002/01/12 16:15

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Q√1+√2+√3+…+√nの漸近展開

http://en.wikipedia.org/wiki/Euler-Mascheroni_constant
によると
1+1/2+1/3+…+1/n
=γ+log(n)+(1/2n)-Σ[k=2,∞](k-1)!C(k)/n(n+1)…(n+k-1)
という漸近展開があるそうです。漸近展開とは、簡単に言うと、nが十分に大きい場合の近似式です。

http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation
によると
n!
=√(2πn)*(n/e)^n*e^λ(n)
という漸近展開があるそうです。

ところで、
√1+√2+√3+…+√n
などの漸近展開をご存知の方がいらっしゃれば教えてください。

y=√xのグラフとy=√(x+1)のグラフではさまれた面積と考えることで、
√1+√2+√3+…+√n
=(2/3)n√n+…
となることはわかるのですが、
√1+√2+√3+…+√n
=(2/3)n√n+α√n+…
とさらに精密にしたいとき、αがどういった定数になるのかわかりません。

http://en.wikipedia.org/wiki/Euler-Mascheroni_constant
によると
1+1/2+1/3+…+1/n
=γ+log(n)+(1/2n)-Σ[k=2,∞](k-1)!C(k)/n(n+1)…(n+k-1)
という漸近展開があるそうです。漸近展開とは、簡単に言うと、nが十分に大きい場合の近似式です。

http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation
によると
n!
=√(2πn)*(n/e)^n*e^λ(n)
という漸近展開があるそうです。

ところで、
√1+√2+√3+…+√n
などの漸近展開をご存知の方がいらっしゃれば教えてください。

y=√xのグラフとy=√(x+1)のグラ...続きを読む

Aベストアンサー

ちなみに今の場合は定積分からも「α=1/2」が想像できます.
まず
∫[0→1] √x dx = 2/3
の左辺を矩形公式で和に変換すると
(1/n)Σ(k=1→n) √(k/n) = 2/3
となり, 両辺に n^(3/2) を掛けると
√1+√2+√3+…+√n = (2/3)n^(3/2)
になります. ただし矩形公式では区間の幅に比例する誤差があるので, 実際には
(1/n)Σ(k=1→n) √(k/n) = 2/3 + O(1/n)
です (O(1/n) は「1/n に比例する項」というくらいの意味).
ここで, 左辺の積分を今度は台形公式で和に変換すると精度が上がって
(1/n)Σ(k=1→n) (1/2)(√[(k-1)/n]+√(k/n)) = (2/3) + O(1/n^2)
になります. ここで同じように両辺に n^(3/2) を掛けて左辺を整理すると
√1 + √2 + … + √(n-1) + (1/2)√n = (2/3)n^(3/2) + O(n^(-1/2))
となり, 両辺に (1/2)√n を加えることで
√1+√2+√3+…+√n = (2/3)n^(3/2) + (1/2)n^(1/2)
まで持っていけます.
ああ, たぶん a が正なら自然数かどうかに関係なく
Σk^a = [1/(a+1)]n^(a+1) + (1/2)n^a + …
となると思いますよ.

ちなみに今の場合は定積分からも「α=1/2」が想像できます.
まず
∫[0→1] √x dx = 2/3
の左辺を矩形公式で和に変換すると
(1/n)Σ(k=1→n) √(k/n) = 2/3
となり, 両辺に n^(3/2) を掛けると
√1+√2+√3+…+√n = (2/3)n^(3/2)
になります. ただし矩形公式では区間の幅に比例する誤差があるので, 実際には
(1/n)Σ(k=1→n) √(k/n) = 2/3 + O(1/n)
です (O(1/n) は「1/n に比例する項」というくらいの意味).
ここで, 左辺の積分を今度は台形公式で和に変換すると精度が上がって
(1/n)Σ(k=1→n) (1/2)(√[(k-1)/n]+√(k...続きを読む

Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
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という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
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Q漸近展開とテイラー展開

漸近展開とテイラー展開の違いを教えてください。

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直感的でよければ、参考URLのグラフを見るとわかります。

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Q3x^2+7xy+2y^2-5x-5y+2=(x+2y-1)(3x+y-2)について

3x^2+7xy+2y^2-5x-5y+2を因数分解せよという問題で、xについて整理し、3x^2+(7y-5)x+(y-2)(2y-1)という方針で解いていくやり方と、
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Aベストアンサー

xやyのどちらの文字で整理するかで決めるのでなく、
次数の低い方、
その文字の現れる項数が少ない方
両方とも同じなら最高次の係数が小さい方
の文字に着目して整理して解くのが基本かと思います。

例題の場合はx,yについて共に2次、項数も共に3項で同じ、最高次の係数も3と2で素数の小さな数ですから、あまり差はありません。後は好みだけの問題でしょう。同じならxと決めて置いても

他の方法としてxとyの両方に着目し2次の項の因数分解
3x^2+7xy+2y^2=(x+2y)(3x+y)
をしてから、一時項を含めた因数分解に進めます。
左辺=(x+2y+a)(3x+y+b)
定数項ab=2に着目してa,bの候補を絞れば良いですね。

Qe^(1/z)の漸近展開の求め方

独学中のものです。
f(z)~(a_0)+(a_1)/z+(a_2)/z^2+…+(a_n)/z^n …(1)
関数f(z)の漸近展開が(1)のとき、係数(a_0),(a_1),(a_2),…は次のようにして求められる。
『lim[|z|→∞]f(z)=a_0
lim[|z|→∞]z{f(z)-a_0}=a_1
lim[|z|→∞]z^2{f(z)-(a_0)-(a_1)/z}=a_2
 ………………………………………………
          (ただし z∈D )    』…(2)
このようにf(z)が漸近展開を持てば、それは一意的に定められるが、逆は成り立たない。すなわち相異なる二つの関数が同一の漸近展開を持つことがある。
たとえば|argz|<Π/2ならばRe(z)>0であって、そこでlim[|z|→∞]e^z=∞ である。これに注意して(2)を用いると、|z|>0, |argz|<Π/2 において、
e^(1/z)~1+1/(z・1!)+1/(z^2・2!)+…  …(3)
e^(1/z)+e^(-z)~1+1/(z・1!)+1/(z^2・2!)+… …(4)
すなわち、この二つの関数は同一の漸近展開を持っている。以上は教科書からの抜粋です。

(3)式の右辺第二項の係数(1/1!)や第三項の係数(1/2!)が(2)式の第2、第3式からどのような過程で求められるのか、わかりやすく教えて下さい。
分かり辛い書き方ですみませんが、宜しくお願いします。

独学中のものです。
f(z)~(a_0)+(a_1)/z+(a_2)/z^2+…+(a_n)/z^n …(1)
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『lim[|z|→∞]f(z)=a_0
lim[|z|→∞]z{f(z)-a_0}=a_1
lim[|z|→∞]z^2{f(z)-(a_0)-(a_1)/z}=a_2
 ………………………………………………
          (ただし z∈D )    』…(2)
このようにf(z)が漸近展開を持てば、それは一意的に定められるが、逆は成り立たない。すなわち相異なる二つの関数が同一の漸近展開を持つことがある。
たとえば|argz|...続きを読む

Aベストアンサー

|z| → ∞ ってことは, x = 1/z とおくと x → 0 ですね. そこから, 「e^x は何回微分しても e^x である」とか「L'Hospital の定理」とかを使えば
lim z [e^(1/z) - 1] = lim (e^x-1)/x = e^0 = 1 とか
lim z^2 [e^(1/z) - (1 + 1/z)] = lim (e^x - (1 + x))/x^2 = lim (e^x - 1) / (2x) = 1/2 とか
計算できます (z に対する lim は → ∞, x に対する lim は → 0 で).
もっとがんばれば Laurent 展開までいっちゃいますけど....

Q漸近展開について

漸近展開をo(x^3)を用いて書き表せ.

(1+x^2)cosx

という問題なのですが,

cosxのx^3の項までの漸近展開を求め, 用いることで

(1 + x^2) cos(x)
= (1 + x^2) (1 - 1/2 x^2 + o(x^3)) --- (1)

となったのですが, この段階で止まっています...

[答え]としては, ここから更に

= 1 - 1/2 x^2 + o(x^3) + x^2 - 1/2 x^4 + o(x^5) となり,
= 1 + 1/2 x^2 + o(x^3) となっています

どのようにすれば (1) から[答え]の形になるのでしょうか.

よろしくお願いします.

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o(xのn乗) というのは、
f(x)/(xのn乗)→0 (質問の場合、x→0 のとき)
となる f(x) の総称です。
ですから、1・o(xの3乗) も o(xの3乗) になるし、
(xの2乗)・o(xの3乗) は o(xの5乗) になります。
f(x)/(xの3乗)→0 なら、
(xの2乗)f(x)/(xの5乗)→0 ですからね。
o(xの3乗)+o(xの5乗) が o(xの3乗) になることも
同様に示せるでしょう。

Q放物線y=(1/2)x^2+xと円(x-1)^2+(y+1)^2=2の

放物線y=(1/2)x^2+xと円(x-1)^2+(y+1)^2=2の両方に接する直線の方程式を求めよ

という問題が解けません。

高2が分かるような解き方がありましたら教えてくださいませんか?;w;

Aベストアンサー

求める直線をy=ax+bとおいて、
(1)放物線とこの直線が接する→(1/2)x^2+x=ax+bとしてこの二次方程式が重解を持つ
(2)円と直線が接する→円の中心からy=ax+bまでの距離が円の半径に等しい

この二つを連立させればaとbが求められます。

Q分布ってどう使い分ければ??

特定の時間内に駅の券売機に訪れる人数の確率分布として正しいのは
一様分布 正規分布 ポアソン分布 カイ2乗分布 t分布 標準正規分布
一様分布なわけがないことはわかりますが、ほかはまったくわかりません
何を基準に選んだらよいのでしょうか?
そもそも正規分布と標準正規分布は何が違うのでしょう?

Aベストアンサー

ポアソン分布がそれっぽいですね。
Wikipediaの「ポアソン分布」の説明で例として
「1時間に特定の交差点を通過する車両の台数」
が挙げられていました。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9D%E3%82%A2%E3%82%BD%E3%83%B3%E5%88%86%E5%B8%83

ただ、#1様の回答にもあるように、理屈通りに行かないことがあるのが統計学ですから、目的によって(分布形を想定して何らかの検定を行うとか)によっては近似的に他の分布に従うと考えた方が良い場合もあるかと思います。

Qx,yが2x^2+3y^2=1をみたす実数のとき、x^2-y^2+xy

x,yが2x^2+3y^2=1をみたす実数のとき、x^2-y^2+xyの最大値を求めよ


解き方を教えてください
よろしくお願いします

Aベストアンサー

x=cost/√2    (1)
y=sint/√3    (2)

とおくとx,yが2x^2+3y^2=1を満たす。
0≦t<2π     (3)

(1),(2)を
z=x^2-y^2+xy
へ代入,
倍角公式をつかって整理すると
z=5cos2t/12+√6sin2t/12+1/12
単振動の合成によって

z=√31sin(2t+a)/12+1/12 (4)

ここにsina=3/√31, cosa=√6/√31
aは0<a<π/4なる角度である。

(4)はsin(2t+a)=1のとき最大値(1+√31)/12をとる。
この時2t+a=π/2即ち
   t=π/4-a/2
このtは(3)の中に入っている。

(4)はsin(2t+a)=-1のとき最小値(1-√31)/12をとる。
この時2t+a=π3/2即ち
   t=π3/4-a/2
このtは(3)の中に入っている。


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