アークコサインの積分教えて下さい！

∫ｚ＊ａｒｃｃｏｓ（２ｚ/ｈ）ｄｚがどうしても解けません。
途中経過付きで教えていただけませんか。
宜しくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： zuri1000 回答日時： 2002/01/11 01:55

∫ｚ＊arccos（２ｚ/ｈ）ｄｚ＝∫（0.5ｚ^2）'＊arccos（2z／h）ｄｚ

＝（0.5ｚ^2）arccos（2z／h）ー0.5∫（z^2）（arccos（2z／h）’）ｄｚ
　　↑　部分積分


∫（z^2）（arccos（2z／h）’）ｄｚ-------------------------------(1)

一般に
arccos（ｘ）'＝-1/（（1－x^2）^0.5）-----------------------------(2)

2z／h＝ｔ　とおくと　ｚ＝ｈｔ/2　、　ｄｚ＝ｈｄｔ/2
ゆえに
(1)＝∫（ｈ^2/4）ｔ^2*（arccosｔ）'ｈｄｔ/2
　
　＝ー（ｈ^３)/16∫（t^2/（（1－ｔ^2）^0.5）dz-------------------(3)

ここで
∫（t^2/（（1－ｔ^2）^0.5）dz＝ー∫（1-ｔ＾2-1）/（（1－ｔ^2）^0.5）dz

＝ー∫（1ーt^2）^0.5ｄｔ+∫ｄｚ/（（1－ｔ^2）^0.5）

＝arcsin（ｔ）-（1/2）*（(ｔ*（1ーt^2）^0.5）+arcsin(ｔ)

＝（1/2）*（（arcsin（ｔ）-(ｔ*（1ーt^2）^0.5））------------------(4)


インテグラルがなくなったから積分完了のはず・・・・・・
一応微分して元に戻ることは手計算で確認したけど、途中から数式表記がめんどくさくなった・・・読む側もめんどいだろうし・・・合ってるかどうかは知らん。
(4)以降は媒介変数ｔをきちんと戻しといて。

この回答へのお礼

お礼遅くてすいません。
かなり細かくありがとうございました！
もう一回やってみますね。

お礼日時：2002/01/22 00:18