∫z*arccos(2z/h)dzがどうしても解けません。
途中経過付きで教えていただけませんか。
宜しくお願いします。

A 回答 (1件)

∫z*arccos(2z/h)dz=∫(0.5z^2)'*arccos(2z/h)dz



=(0.5z^2)arccos(2z/h)ー0.5∫(z^2)(arccos(2z/h)’)dz
  ↑ 部分積分


∫(z^2)(arccos(2z/h)’)dz-------------------------------(1)

一般に
arccos(x)'=-1/((1-x^2)^0.5)-----------------------------(2)

2z/h=t とおくと z=ht/2 、 dz=hdt/2
ゆえに
(1)=∫(h^2/4)t^2*(arccost)'hdt/2
 
 =ー(h^3)/16∫(t^2/((1-t^2)^0.5)dz-------------------(3)

ここで
∫(t^2/((1-t^2)^0.5)dz=ー∫(1-t^2-1)/((1-t^2)^0.5)dz

=ー∫(1ーt^2)^0.5dt+∫dz/((1-t^2)^0.5)

=arcsin(t)-(1/2)*((t*(1ーt^2)^0.5)+arcsin(t)

=(1/2)*((arcsin(t)-(t*(1ーt^2)^0.5))------------------(4)


インテグラルがなくなったから積分完了のはず・・・・・・
一応微分して元に戻ることは手計算で確認したけど、途中から数式表記がめんどくさくなった・・・読む側もめんどいだろうし・・・合ってるかどうかは知らん。
(4)以降は媒介変数tをきちんと戻しといて。
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この回答へのお礼

お礼遅くてすいません。
かなり細かくありがとうございました!
もう一回やってみますね。

お礼日時:2002/01/22 00:18

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Q複素積分∫[c]{cos(z)/z^4}dz C:|z|=1 ついて

複素積分∫[c]{cos(z)/z^4}dz C:|z|=1 ついて
|z|=1 よりz=cosθ+isinθ とおきました。
すると、dz/dθ=-sinθ+icosθ、cos(z)/z^4 の分母は z^4=(cosθ+isinθ)^4 とうまくいくのですが、分子のcos(z)=cos(cosθ+isinθ)となり、上手く進みません。
ぜひ、アドバイスの程よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

cos(z)をテーラー展開すると
cos(z)=1-z^{2}/2+z^{4}/4!-…
なので、この問題の被積分関数をローラン展開すると

cos(z)/z^{4}=1/z^{4}-1/(2z^{2})+1/4!-…

となります。

そして
∫[c]z^{n}dz=0 (n!=-1)
を使うことで、被積分関数の各項を積分したとしても全てが0になります

ちなみに
∫[c]z^{-1}dz=2πi
という公式もあります。

求め方は
I=∫[c]z^{n}dz [c:|z|=1]
に対し
z=e^{iθ}
とおくと
dz=ie^{iθ}dθ=izdθ(経路はθ=0→2π)
なので
I=i∫[0→2π]e^{i(n+1)θ}dθ

n=-1のときは
I=i∫[0→2π]dθ=2πi
n!=-1のときは
I=(1/n+1)∫[0→2π]e^{i(n+1)θ}dθ
=(1/n+1)[e^{i2(n+1)π-1]=0

Q∫1/(z-1)dz C:|z|=1 の求め方

次のように考えてみました。
z=1は不正則点であるので、z=cosθ+isinθ (0<θ<2π)とおき、
∫1/(z-1)dz
=∫[0→2π]1/(cosθ+isinθ-1)dz/dθdθ
=∫[0→2π](-sinθ+icosθ)/(cosθ+isinθ-1)dθ
=∫[0→2π]i(cosθ+isinθ)/(cosθ+isinθ-1)dθ
=∫[0→2π]i(cosθ+isinθ){cosθ-(isinθ-1)}/(cosθ+isinθ-1){cosθ-(isinθ-1)}dθ
=∫[0→2π]i{(cosθ)^2-isinθcosθ+cosθ+isinθcosθ+(sinθ)^2+isinθ}/{(cosθ)^2-(isinθ-1)^2}dθ
=∫[0→2π](1+isinθ+cosθ)/2sinθdθ
=1/2∫[0→2π]1/sinθdθ+i/2∫[0→2π]dθ+1/2∫[0→2π]cosθ/sinθdθ
=1/2[log|tanθ/2|][0→2π]+i/2[θ][0→2π]+1/2[log|sinθ|][0→2π]
=πi

以上のような考え方でよろしいのでしょうか?宜しくお願い致します。

次のように考えてみました。
z=1は不正則点であるので、z=cosθ+isinθ (0<θ<2π)とおき、
∫1/(z-1)dz
=∫[0→2π]1/(cosθ+isinθ-1)dz/dθdθ
=∫[0→2π](-sinθ+icosθ)/(cosθ+isinθ-1)dθ
=∫[0→2π]i(cosθ+isinθ)/(cosθ+isinθ-1)dθ
=∫[0→2π]i(cosθ+isinθ){cosθ-(isinθ-1)}/(cosθ+isinθ-1){cosθ-(isinθ-1)}dθ
=∫[0→2π]i{(cosθ)^2-isinθcosθ+cosθ+isinθcosθ+(sinθ)^2+isinθ}/{(cosθ)^2-(isinθ-1)^2}dθ
=∫[0→2π](1+isinθ+cosθ)/2sinθdθ
=1/2∫[0→2π]1/sinθdθ+i/2∫[0→2π]dθ+1/2∫[0→2π]cosθ/sinθdθ
=1/2[log|tanθ/2|][0→2π]+i/2[θ]...続きを読む

Aベストアンサー

まづ、A No.5 のミスプリを陳謝。
lim[z→1+0i] log(z-1) = (-∞) + (1/2)πi,
lim[z→1-0i] log(z-1) = (-∞) + (3/2)πi
でした。

No.5 補足の計算については、既に
> その2個の lim は、広義積分の両端を表すので、
> それぞれ別個に収束する必要があり、
> 適当に組み合わせて条件収束させたのでは
> いけないのです。
と述べたとおりです。

3行目から5行目への変形は、
{ lim[z→1-0i] log|z-1| } - { lim[z→1+0i] log|z-1| }
= lim[h→0] { log h - log h }
という計算を含んでいますが、

高校数学でも習ったとおり、
(lim an) - (lim bn) = lim(an - bn) という計算が成り立つのは、
lim an と lim bn が両方とも収束する場合だけです。
一方でも発散したら、この式は成立しません。

例えば、lim[x→1] 1/(1-x) - lim[x→1] x/(1-x) の値は、
= 1 で ok ですか? そうではないでしょう?

log0i は -∞ に発散するので、
log0i - log0i は ∞-∞ 型の不定形であり、
= 0 とすることはできないのです。ここが間違っています。

まづ、A No.5 のミスプリを陳謝。
lim[z→1+0i] log(z-1) = (-∞) + (1/2)πi,
lim[z→1-0i] log(z-1) = (-∞) + (3/2)πi
でした。

No.5 補足の計算については、既に
> その2個の lim は、広義積分の両端を表すので、
> それぞれ別個に収束する必要があり、
> 適当に組み合わせて条件収束させたのでは
> いけないのです。
と述べたとおりです。

3行目から5行目への変形は、
{ lim[z→1-0i] log|z-1| } - { lim[z→1+0i] log|z-1| }
= lim[h→0] { log h - log h }
という計算を含んでいますが、

高校数学でも習...続きを読む

Qx*y=log(e^x+e^y)と定義すると、(x*y)+z=(x+z)*(y+z)

x、y∈Rに対して
x*y=log(e^x+e^y)
と定義すると、
(x*y)+z=(x+z)*(y+z)
が成り立ちます。
分配法則の*と+を逆にしたような感じですが、この*から何かしらの代数的な事実が従うのでしょうか?
この*の意味は何なのでしょうか?

x*x=aのとき、x=√aと定めと、
√(a*b)≧(a+b)/2
といった相加相乗平均の関係の類似は成り立つようですが。

Aベストアンサー

e^x=X, e^y=Y, e^z=Z と置いて考えましょう。
e^(x*y)=e^x+e^y → Z=X+Y
e^(x+y)=e^x*e^y → Z=X*Y
つまり、正の数の加算と乗算になります。

>分配法則の*と+を逆にしたような感じですが

まさにその通りです。入れ替えて見てください。

>√(a*b)≧(a+b)/2

通常の相加相乗平均とは逆ですね。

Q複素共役をZ*とすると Z=0^0⇒Z・Z*=1

  合っているかどうかわかりませんが

  Z=0^0 ⇒ Z^n=1 ⇒ Z・Z*=1

  と、なりました。間違っているのかどうか誰かお教えください。

  Z=0^0=0^(-0)=1÷0^0 なので

  Z^2=1 ⇒ Z^n=1 ⇒ z=x+yi 、x^2+y^2=1

  となりました。これは何か数学的に意味があるのでしょうか?

Aベストアンサー

> 0 にならないことがわかれば
> 私としてはそれでいいです。

そうですか。
質問文中の結論と違うようですが、
貴方がそれでいいのなら、それでいいでしょう。
0 にならないことは、示せていると思います。

ただし、「0 にならない」というのは、
「0 以外の何かになる」ということではなく、
「0 とするとうまくいかないが、
他の値でうまくいくかどうかは、また別の話」
という意味です。
所望の要件を満たす「0 の 0 乗」が存在しない
可能性は残っています。

それ以前に、「何を前提として」
0 にならないことを示したのかが、
(想像はできますが、)明確に書かれていません。
そこを明らかにしないと、何を証明したのかが
いまいちはっきりしません。

Q[問]∫_C exp(-2πz)dzの値を求めよ

曲線Cを図の通りとする。

積分路変形の原理
「複素関数f(z)が単連結領域Dで正則ならば,D内の任意の2点α,βを結ぶ曲線Cに沿った
∫_C f(z)dzは積分路Cの採り方によらず,常に一定の値を採る」

[問]∫_C exp(-2πz)dz, where C is the contour.
という積分を求める問題です。

Cよりも簡単な直線C_1:z_1(t):=πt-it+i (但し,0≦t≦1)とするとdz_1(t)/dt=π-iなので

∫_C exp(-2πz)dz=∫_C exp(-2πz_1)dz_1
(∵複素平面は単連結で複素平面上の任意の点zに於いて関数exp(-2πz)は正則。
よって,積分路変形の原理が使える)

=∫_0^1 exp(-2πz_1(t))dz_1(t)/dt・dt
=∫_0^1 exp(-2πz_1(t))(π-i)dt
=∫_0^1 πexp((-2π^2+2πi)t-2πi)-iexp((-2π^2+2πi)t-2πi))dt
=π/(-2π^2+2πi)[exp(-2π^2+2πi)t-2πi)]_0^1-i/(-2π^2+2πi)[exp(-2π^2+2πi)t-2πi)]_0^1
=(π-i)/(-2π^2+2πi) ・exp(-2π^2)-exp(-2πi)

となったのですがこれで正しいでしょうか?

曲線Cを図の通りとする。

積分路変形の原理
「複素関数f(z)が単連結領域Dで正則ならば,D内の任意の2点α,βを結ぶ曲線Cに沿った
∫_C f(z)dzは積分路Cの採り方によらず,常に一定の値を採る」

[問]∫_C exp(-2πz)dz, where C is the contour.
という積分を求める問題です。

Cよりも簡単な直線C_1:z_1(t):=πt-it+i (但し,0≦t≦1)とするとdz_1(t)/dt=π-iなので

∫_C exp(-2πz)dz=∫_C exp(-2πz_1)dz_1
(∵複素平面は単連結で複素平面上の任意の点zに於いて関数exp(-2πz)は正則。
よって,積分路変形の原理が...続きを読む

Aベストアンサー

No.1 さんに対して蛇足ですいません。

[1]
質問者さんと同様、初心者の頃は
exp(-2πi)=1
となることにときとして「自信」がなくなるときがある。

[2]
最初の因子
=(π-i)/(-2π^2+2πi)

の分母は元々、因子として
(-2π^2+2πi)=-2π(π-i)

ですから、分子と同じ因子があり、「約分」できるので、最初の因子は全体として次のようになります。
-1/2π

よって、答としては、
(-1/2π)・{exp(-2π^2)-1}

あるいは「-」記号を打ち消すように、
{1-exp(-2π^2)}/2π
とでもすれば、きれいです。


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