∫z*arccos(2z/h)dzがどうしても解けません。
途中経過付きで教えていただけませんか。
宜しくお願いします。

A 回答 (1件)

∫z*arccos(2z/h)dz=∫(0.5z^2)'*arccos(2z/h)dz



=(0.5z^2)arccos(2z/h)ー0.5∫(z^2)(arccos(2z/h)’)dz
  ↑ 部分積分


∫(z^2)(arccos(2z/h)’)dz-------------------------------(1)

一般に
arccos(x)'=-1/((1-x^2)^0.5)-----------------------------(2)

2z/h=t とおくと z=ht/2 、 dz=hdt/2
ゆえに
(1)=∫(h^2/4)t^2*(arccost)'hdt/2
 
 =ー(h^3)/16∫(t^2/((1-t^2)^0.5)dz-------------------(3)

ここで
∫(t^2/((1-t^2)^0.5)dz=ー∫(1-t^2-1)/((1-t^2)^0.5)dz

=ー∫(1ーt^2)^0.5dt+∫dz/((1-t^2)^0.5)

=arcsin(t)-(1/2)*((t*(1ーt^2)^0.5)+arcsin(t)

=(1/2)*((arcsin(t)-(t*(1ーt^2)^0.5))------------------(4)


インテグラルがなくなったから積分完了のはず・・・・・・
一応微分して元に戻ることは手計算で確認したけど、途中から数式表記がめんどくさくなった・・・読む側もめんどいだろうし・・・合ってるかどうかは知らん。
(4)以降は媒介変数tをきちんと戻しといて。
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この回答へのお礼

お礼遅くてすいません。
かなり細かくありがとうございました!
もう一回やってみますね。

お礼日時:2002/01/22 00:18

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Q球の体積を求めるときの積分範囲について

球の体積を求める時の積分範囲が
r方向が0からr
θ方向が0からπ
φ方向が0から2π
になる理由が分かりません。

なぜθ方向も球なんだから2πまで積分しないのかわかりません。
それと、θとφ方向の積分範囲が逆になってしまってはだめなんですか?

Aベストアンサー

No.1です。

>なぜθ方向も球なんだから2πまで積分しないのかわかりません。

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直さないといけないですね。

>それと、θとφ方向の積分範囲が逆になってしまってはだめなんですか?

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直していれば
θとφ方向の積分範囲が逆になっても何ら問題ありません。
体積を正しく積分の式に直せていないところに問題があるのです。
機械的に体積要素を(r^2)sinθdrdθdφと思い込んでしまっていることが
間違いの原因です。
体積V(必ず正)を求める時は、体積要素dV=dxdydzも正でなければ
ダメです。
dV=dxdydz=(r^2)sinθdrdθdφ>0
がπ≦θ≦2πで成り立たないことに気がつかないといけないですね。
体積Vが微小な正の積分要素dVを体積Vの領域全体にわたって足し合わせたものです。負の積分要素が現れるのは体積Vが正しく積分の式で表せていないことを意味します。これは最も基本的な体積積分の概念です。
積分範囲を機械的に置き換えることは問題なくても、積分要素dVが負にならないということに反するような積分の式はおかしいと考えないといけないですね。つまり、積分要素dV(すなわち被積分関数)が正しく表せていないことに気がつかないといけないですね。

以下を熟読してあなたの疑問を解決してください。

球座標(3次元での極座標の1つ)で計算しているのだからANo1で述べた通り、
定石通り計算すれば
V=∫∫∫{x^2+y^2+z^2≦R^2(R≧0)} dxdydz
=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} |J|drdθdφ
となります。
参考URLをご覧になって下さい。
Jはヤコビ行列、|J|は正確にがヤコビ行列の行列式det(J)の絶対値になります。

ヤコビアン|J|は球座標では
det(J)=(r^2)sinθなので
|J|=(r^2)|sinθ| ...(※)
となります。
積分範囲0≦θ≦πではsinθ≧0なので |J|=(r^2)sinθ
となります。
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} |J|drdθdφ
=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} (r^2)sinθdrdθdφ...(☆)

この積分を積分範囲{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π}で積分しても構いませんがこの時は(※)に戻って
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} |J|drdθdφ
0≦θ≦2πではsinθが正負の値をとるので
|sinθ|=sinθ(0≦θ≦πの時)、|sinθ|=-sinθ(0≦θ≦2π)
となるので
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2)|sinθ|drdθdφ...(◆)
で球の体積を計算しないといけないということです。

体積要素dVで言えば
dV=dxdydz=|J|drdθdφ=(r^2)|sinθ|drdθdφ
となります。これを球の体積の場合、球の内部を重複しない積分範囲で積分すれば良いというわけです。
積分範囲は
(A){0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π}
(B){0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π}
(A),(B)いずれでも構いませんが
被積分関数のsinθに絶対値がついていることに
注意しないといけません。

(※)のヤコビアン|J|=(r^2)|sinθ|は
0≦θ≦πでは|J|=r^2sinθ
π≦θ≦2πでは|J|=-r^2sinθ
となるので
(A)の場合の体積Vの積分は(☆)の式になりますが、
(B)の場合の体積の積分は(◆)の式になって|sinθ|の絶対値を外せば
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2)|sinθ|drdθdφ
=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦π} (r^2)sinθdrdθdφ
+∫∫∫{0≦r≦R,π≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2)(-sinθ)drdθdφ
=2∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦π} (r^2)sinθdrdθdφ

この積分計算を質問者さんは,|sinθ|の変わりにsinθとしてしまったことにより

V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2) sinθdrdθdφ
=0
という球の体積がゼロ?となると誤った結果が出るのです。

質問の疑問はとけましたか?

これは以下の面積Sの積分計算に類似した誤りに通ずるものがあります。
重要なので繰り返しますが
体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直さないといけないですね。

y=sinθとx軸(θ軸)で囲まれた範囲[0~2π}面積Sを求めるとき、機械的に積分すれば S=∫[0→2π} sinθdθ=0
というおかしな結果が出ます。面積はy=sinθのグラフを描けば、有るので、
S=∫[0→π} sinθdθ+∫[π→2π} (0-sinθ)dθ
=∫[0→2π} |sinθ|dθ=2∫[0→π} sinθdθ=4
のようにsinθの絶対値をとれば正しい面積Sが求まります。

参考URL:http://wasan.hatenablog.com/entry/20110319/1300568061

No.1です。

>なぜθ方向も球なんだから2πまで積分しないのかわかりません。

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直さないといけないですね。

>それと、θとφ方向の積分範囲が逆になってしまってはだめなんですか?

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直していれば
θとφ方向の積分範囲が逆になっても何ら問題ありません。
体積を正しく積分の式に直せていないところに問題があるのです。
機械的に体積要素を(r^2)sinθdrdθdφと思い込んでしまっていることが
間違いの原因...続きを読む

Q複素積分∫[c]{cos(z)/z^4}dz C:|z|=1 ついて

複素積分∫[c]{cos(z)/z^4}dz C:|z|=1 ついて
|z|=1 よりz=cosθ+isinθ とおきました。
すると、dz/dθ=-sinθ+icosθ、cos(z)/z^4 の分母は z^4=(cosθ+isinθ)^4 とうまくいくのですが、分子のcos(z)=cos(cosθ+isinθ)となり、上手く進みません。
ぜひ、アドバイスの程よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

cos(z)をテーラー展開すると
cos(z)=1-z^{2}/2+z^{4}/4!-…
なので、この問題の被積分関数をローラン展開すると

cos(z)/z^{4}=1/z^{4}-1/(2z^{2})+1/4!-…

となります。

そして
∫[c]z^{n}dz=0 (n!=-1)
を使うことで、被積分関数の各項を積分したとしても全てが0になります

ちなみに
∫[c]z^{-1}dz=2πi
という公式もあります。

求め方は
I=∫[c]z^{n}dz [c:|z|=1]
に対し
z=e^{iθ}
とおくと
dz=ie^{iθ}dθ=izdθ(経路はθ=0→2π)
なので
I=i∫[0→2π]e^{i(n+1)θ}dθ

n=-1のときは
I=i∫[0→2π]dθ=2πi
n!=-1のときは
I=(1/n+1)∫[0→2π]e^{i(n+1)θ}dθ
=(1/n+1)[e^{i2(n+1)π-1]=0

Q2B範囲の受験 定積分 体積 出題される?

カテゴリを迷ったのですが、まずはこちらで質問させてください

現行課程において大学受験の数学で「2Bが範囲」と銘打っているのに
定積分を用いて体積を求める問題が出題されたことはありますか?
(【定積分を使って求積すると楽な問題】とかでは無く
【実質的に定積分を使って求積しないと
試験時間内に正解できないような問題】という意味です)

それというのも、現行課程において定積分を用いて体積を求める手法が
3Cに入るのか、2Bに入るのかわかりにくいのです
建前上は3Cということになっているようなのですが
青チャート2Bですら「発展」という扱いで、定積分を用いた体積を求める手法を
紹介しているのです

Aベストアンサー

京都大学2002年後期文系数学の最後の問題がそれですね。
##1つ前の課程ですが、積分についての扱いは変わってないはずなので。

Q∫1/(z-1)dz C:|z|=1 の求め方

次のように考えてみました。
z=1は不正則点であるので、z=cosθ+isinθ (0<θ<2π)とおき、
∫1/(z-1)dz
=∫[0→2π]1/(cosθ+isinθ-1)dz/dθdθ
=∫[0→2π](-sinθ+icosθ)/(cosθ+isinθ-1)dθ
=∫[0→2π]i(cosθ+isinθ)/(cosθ+isinθ-1)dθ
=∫[0→2π]i(cosθ+isinθ){cosθ-(isinθ-1)}/(cosθ+isinθ-1){cosθ-(isinθ-1)}dθ
=∫[0→2π]i{(cosθ)^2-isinθcosθ+cosθ+isinθcosθ+(sinθ)^2+isinθ}/{(cosθ)^2-(isinθ-1)^2}dθ
=∫[0→2π](1+isinθ+cosθ)/2sinθdθ
=1/2∫[0→2π]1/sinθdθ+i/2∫[0→2π]dθ+1/2∫[0→2π]cosθ/sinθdθ
=1/2[log|tanθ/2|][0→2π]+i/2[θ][0→2π]+1/2[log|sinθ|][0→2π]
=πi

以上のような考え方でよろしいのでしょうか?宜しくお願い致します。

次のように考えてみました。
z=1は不正則点であるので、z=cosθ+isinθ (0<θ<2π)とおき、
∫1/(z-1)dz
=∫[0→2π]1/(cosθ+isinθ-1)dz/dθdθ
=∫[0→2π](-sinθ+icosθ)/(cosθ+isinθ-1)dθ
=∫[0→2π]i(cosθ+isinθ)/(cosθ+isinθ-1)dθ
=∫[0→2π]i(cosθ+isinθ){cosθ-(isinθ-1)}/(cosθ+isinθ-1){cosθ-(isinθ-1)}dθ
=∫[0→2π]i{(cosθ)^2-isinθcosθ+cosθ+isinθcosθ+(sinθ)^2+isinθ}/{(cosθ)^2-(isinθ-1)^2}dθ
=∫[0→2π](1+isinθ+cosθ)/2sinθdθ
=1/2∫[0→2π]1/sinθdθ+i/2∫[0→2π]dθ+1/2∫[0→2π]cosθ/sinθdθ
=1/2[log|tanθ/2|][0→2π]+i/2[θ]...続きを読む

Aベストアンサー

まづ、A No.5 のミスプリを陳謝。
lim[z→1+0i] log(z-1) = (-∞) + (1/2)πi,
lim[z→1-0i] log(z-1) = (-∞) + (3/2)πi
でした。

No.5 補足の計算については、既に
> その2個の lim は、広義積分の両端を表すので、
> それぞれ別個に収束する必要があり、
> 適当に組み合わせて条件収束させたのでは
> いけないのです。
と述べたとおりです。

3行目から5行目への変形は、
{ lim[z→1-0i] log|z-1| } - { lim[z→1+0i] log|z-1| }
= lim[h→0] { log h - log h }
という計算を含んでいますが、

高校数学でも習ったとおり、
(lim an) - (lim bn) = lim(an - bn) という計算が成り立つのは、
lim an と lim bn が両方とも収束する場合だけです。
一方でも発散したら、この式は成立しません。

例えば、lim[x→1] 1/(1-x) - lim[x→1] x/(1-x) の値は、
= 1 で ok ですか? そうではないでしょう?

log0i は -∞ に発散するので、
log0i - log0i は ∞-∞ 型の不定形であり、
= 0 とすることはできないのです。ここが間違っています。

まづ、A No.5 のミスプリを陳謝。
lim[z→1+0i] log(z-1) = (-∞) + (1/2)πi,
lim[z→1-0i] log(z-1) = (-∞) + (3/2)πi
でした。

No.5 補足の計算については、既に
> その2個の lim は、広義積分の両端を表すので、
> それぞれ別個に収束する必要があり、
> 適当に組み合わせて条件収束させたのでは
> いけないのです。
と述べたとおりです。

3行目から5行目への変形は、
{ lim[z→1-0i] log|z-1| } - { lim[z→1+0i] log|z-1| }
= lim[h→0] { log h - log h }
という計算を含んでいますが、

高校数学でも習...続きを読む

Q電束密度Dと体積電荷密度σ間の関係を微分形、積分形であらわすとどのよう

電束密度Dと体積電荷密度σ間の関係を微分形、積分形であらわすとどのようになりますか?

Aベストアンサー

>ただ、電束密度Dと表面電荷密度ρ(C/m^2)の関係をもとめたいのです。
>マクスウェル方程式のdivD=ρを用いるのですか?

divD=ρこそが質問者さまが欲している関係式なのでは?
divが微分演算子なので、これが微分形。
この式を体積積分して、Gaussの定理を用いて積分形を得ます。

Qx*y=log(e^x+e^y)と定義すると、(x*y)+z=(x+z)*(y+z)

x、y∈Rに対して
x*y=log(e^x+e^y)
と定義すると、
(x*y)+z=(x+z)*(y+z)
が成り立ちます。
分配法則の*と+を逆にしたような感じですが、この*から何かしらの代数的な事実が従うのでしょうか?
この*の意味は何なのでしょうか?

x*x=aのとき、x=√aと定めと、
√(a*b)≧(a+b)/2
といった相加相乗平均の関係の類似は成り立つようですが。

Aベストアンサー

e^x=X, e^y=Y, e^z=Z と置いて考えましょう。
e^(x*y)=e^x+e^y → Z=X+Y
e^(x+y)=e^x*e^y → Z=X*Y
つまり、正の数の加算と乗算になります。

>分配法則の*と+を逆にしたような感じですが

まさにその通りです。入れ替えて見てください。

>√(a*b)≧(a+b)/2

通常の相加相乗平均とは逆ですね。

Q重積分の体積

重積分の体積の問題で分からないものがあります。
どなたか解説頼みます(__

(1)Z=2-x^2-(y/2)^2とxy平面で囲まれる立体の体積を求めよ。
(2)2曲面Z=x^2+y^2-1とZ=-2x^2-2y^2で囲まれる立体の体積
(3)球x^2+y^2+z^≦a^2と円柱x^2+y^2≦axの共通部分。ただしa>0。

(1)まず与えられた式を立体に図示できないのですが、それぞれどんな形の式になるのでしょうか?
(2)図示できなので範囲もわからないです^^;

それさえできればあとは積分するだけですよね?

(1),(2)の疑問を解説して下さい(__

Aベストアンサー

#1,#2です。

(1)
(1)も立体の図を作りましたので添付します。

A#1で書いた積分はできましたか?

当方の計算では「V=4π」と出ています。

(2)
当方の計算では「V=π/6」と出ています。

Q複素共役をZ*とすると Z=0^0⇒Z・Z*=1

  合っているかどうかわかりませんが

  Z=0^0 ⇒ Z^n=1 ⇒ Z・Z*=1

  と、なりました。間違っているのかどうか誰かお教えください。

  Z=0^0=0^(-0)=1÷0^0 なので

  Z^2=1 ⇒ Z^n=1 ⇒ z=x+yi 、x^2+y^2=1

  となりました。これは何か数学的に意味があるのでしょうか?

Aベストアンサー

> 0 にならないことがわかれば
> 私としてはそれでいいです。

そうですか。
質問文中の結論と違うようですが、
貴方がそれでいいのなら、それでいいでしょう。
0 にならないことは、示せていると思います。

ただし、「0 にならない」というのは、
「0 以外の何かになる」ということではなく、
「0 とするとうまくいかないが、
他の値でうまくいくかどうかは、また別の話」
という意味です。
所望の要件を満たす「0 の 0 乗」が存在しない
可能性は残っています。

それ以前に、「何を前提として」
0 にならないことを示したのかが、
(想像はできますが、)明確に書かれていません。
そこを明らかにしないと、何を証明したのかが
いまいちはっきりしません。

Q2重積分を使った球の体積の求め方

漠然とした質問なんですが、球の体積を2重積分を用いて求めるのはどうしたらいいですか?
どなたか詳しい方教えてください。

Aベストアンサー

原点を中心とする半径 R の球を考えることにします
xy 平面上の点 (x,y) のところでは球面までの高さが
(1)  z = √(R^2 - x^2 - y^2)
ですから,
微小体積 z dx dy を 領域 0≦ x^2 + y^2 ≦ R^2
について積分すればいいでしょう.

Q[問]∫_C exp(-2πz)dzの値を求めよ

曲線Cを図の通りとする。

積分路変形の原理
「複素関数f(z)が単連結領域Dで正則ならば,D内の任意の2点α,βを結ぶ曲線Cに沿った
∫_C f(z)dzは積分路Cの採り方によらず,常に一定の値を採る」

[問]∫_C exp(-2πz)dz, where C is the contour.
という積分を求める問題です。

Cよりも簡単な直線C_1:z_1(t):=πt-it+i (但し,0≦t≦1)とするとdz_1(t)/dt=π-iなので

∫_C exp(-2πz)dz=∫_C exp(-2πz_1)dz_1
(∵複素平面は単連結で複素平面上の任意の点zに於いて関数exp(-2πz)は正則。
よって,積分路変形の原理が使える)

=∫_0^1 exp(-2πz_1(t))dz_1(t)/dt・dt
=∫_0^1 exp(-2πz_1(t))(π-i)dt
=∫_0^1 πexp((-2π^2+2πi)t-2πi)-iexp((-2π^2+2πi)t-2πi))dt
=π/(-2π^2+2πi)[exp(-2π^2+2πi)t-2πi)]_0^1-i/(-2π^2+2πi)[exp(-2π^2+2πi)t-2πi)]_0^1
=(π-i)/(-2π^2+2πi) ・exp(-2π^2)-exp(-2πi)

となったのですがこれで正しいでしょうか?

曲線Cを図の通りとする。

積分路変形の原理
「複素関数f(z)が単連結領域Dで正則ならば,D内の任意の2点α,βを結ぶ曲線Cに沿った
∫_C f(z)dzは積分路Cの採り方によらず,常に一定の値を採る」

[問]∫_C exp(-2πz)dz, where C is the contour.
という積分を求める問題です。

Cよりも簡単な直線C_1:z_1(t):=πt-it+i (但し,0≦t≦1)とするとdz_1(t)/dt=π-iなので

∫_C exp(-2πz)dz=∫_C exp(-2πz_1)dz_1
(∵複素平面は単連結で複素平面上の任意の点zに於いて関数exp(-2πz)は正則。
よって,積分路変形の原理が...続きを読む

Aベストアンサー

No.1 さんに対して蛇足ですいません。

[1]
質問者さんと同様、初心者の頃は
exp(-2πi)=1
となることにときとして「自信」がなくなるときがある。

[2]
最初の因子
=(π-i)/(-2π^2+2πi)

の分母は元々、因子として
(-2π^2+2πi)=-2π(π-i)

ですから、分子と同じ因子があり、「約分」できるので、最初の因子は全体として次のようになります。
-1/2π

よって、答としては、
(-1/2π)・{exp(-2π^2)-1}

あるいは「-」記号を打ち消すように、
{1-exp(-2π^2)}/2π
とでもすれば、きれいです。


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