ナビエ・ストークスの方程式って解けるものなんですか?

差分法とか使わずに、単振動の線形微分方程式を解くかのごとく、手計算で厳密解を出したいのですが・・・(もちろん非線形微分方程式ですから線形と対比する事自体まちがっているかもしれませんが)

既存の研究ではレイノルズ数の小さいときには、定常解、非定常解ともに解の存在と一意性が証明されているらしいですが、その解を数式で記述することは可能なのでしょうか? 今は解けなくても、数十年後(未来)には解かれているのでしょうか?

もしくは既存の関数だけでの記述は不可能で、何か今までに無い新しい関数を作らないと記述できないのでしょうか?(よく知らないけど、たしかディラックのデルタ関数なんかは出た当時は革命的なものだったでしょう)

また、これらに関する最近の研究結果、論文等を知っている方、教えてください。

WEBのページ(日本語、英文以外はちょっと・・・)の紹介でもいいのですが、そのページに何が書かれていて、何が参考になるかなど書いてもらえると助かります。漠然とページを紹介されても、私は無知なんでそのページが何なのか理解できない事があります。

 あと、質問内容自体、専門の方から見れば用語の取り違いとかあるかもしれませんが、質問の意味は伝わってますよね。私は一般人なのでそのへんは勘弁ください。

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A 回答 (3件)

物理屋の siegmund です.


流体力学は専門じゃないし,zuri1000 さんは
> 実は、これくらいのページなら結構読んだ上でgooに書き込んだんですよ。
とのことですから,お役に立つかどうかはわかりません.
私の知識も多分古くなっているところもあるでしょうし.

一般的に解くのは不可能と思います.
> もしくは既存の関数だけでの記述は不可能で、
> 何か今までに無い新しい関数を作らないと記述できないのでしょうか?
関数の数は無数にあるわけですから,今まで扱われたことがない関数という意味なら
そうかもしれません.
ある境界条件や流れ場に対してこれこれの関数が厳密な解になっていることがわかり,
この関数は今まで調べられたことがない関数であるというなら,
それは既存の関数ではなくて,zuri1000 関数などと名付けられるべき新しい関数ですね.
ただ,ディラックのデルタ関数とはちょっと意味が違うように思います.
デルタ関数は,通常の意味での関数(function)ではなく,超関数(distribution)です.
既存の関数でない,というよりは,関数の概念を拡張したものでしょう.

chukanshi さんご紹介の
http://irws.eng.niigata-u.ac.jp/~chem/itou/fl/fl …
を見ますと,
> これまで簡単な流れ場と境界条件に対し70程度の厳密解が示されているのみである。
と書いてあります.
70もあるなんて,全然知りませんでした.

ある流れ場と境界条件で厳密解があったとしても,
それが実現される解かどうかは別だというのも面倒なところです.
例えば,ポアズイユ流は厳密解ですから,すべてのレイノルズ数 R に対して
成り立ちます.
ところが,R が 1000 位になるとポアズイユ流が現れず,解は乱流になってしまいます.
多分,高レイノルズ数では非定常解の方が安定で,
しかも非定常解が多数あるのでしょう.
これらの集合が乱流になっているのだと思います.

書いているうちに,だんだん自信がなくなってきた.
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この回答へのお礼

評価が遅れてしまい、すいません。海外に出張していたもので・・・siegmundさん、いつも御回答くださりありがとうございます。
そうですか、やはり一般に解くのは不可能ですか。うすうす感づいてはいましたが、やはり誰かにそういってもらえるとチョット安心します。でもやはり誰も解いていないものには興味がそそられてしまいます。フェルマーの定理のように数百年後には解かれているのかなぁ~?不思議です。

お礼日時:2002/01/26 00:33

参考になりそうなページを並べておきます。


ナビエ・ストークスの方程式の基本解説。
http://homepage1.nifty.com/t-akiyama/kenkyu/k12. …
ナビエ・ストークスの方程式の解について。
http://irws.eng.niigata-u.ac.jp/~chem/itou/fl/fl …

最近数値計算(コンピュータ)で解くのが流行っていますが、
ちょっとそちらはあまりいいのが見つからずすみません。
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この回答へのお礼

さっそくのご回答ありがとうございます♪
ん~、標準的な内容のページですね~。実は、これくらいのページなら結構読んだ上でgooに書き込んだんですよ。流体力学ハンドブックですか。流体屋さんのバイブルですね。できればお金をためて購入したい本です(どーせ読まないだろうけど、部屋のインテリアに・・・)。
もう少しいろんな人達からの意見が聞きたいですね~。も少し待ってみます。

お礼日時:2002/01/11 23:07

Navier-Stokes 方程式の一般解は求められていませんが、ある種の特解は厳密解としてもとめられています。


下記の本は図書館で見つけてお読みになってみればいかがでしょうか?
http://www.maruzen.co.jp/home/pub/ryutai/pub-ryu …

参考URL:http://www.maruzen.co.jp/home/pub/ryutai/pub-ryu …
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4次のルンゲクッタ法を用いた数値計算を勉強しています.
1階連立常微分方程式と高階常微分方程式は理解でき,プログラムも作成することができました.

次に高階の連立常微分方程式を解こうと思ったら,頭が混乱してしまいました.

4次のルンゲクッタ法を用いて高解連立常微分方程式を解く考え方を教えて頂ければ嬉しいです.
また何か良い参考書があれば教えて頂きたいと思います.

よろしくお願いします.

Aベストアンサー

すべての変数の再高階でない微係数を、あらたな変数にしてしまえば、どんな高階の連立常微分方程式も1階連立常微分方程式になります。

たとえば、
x''+2y''+3x'y'=0
x''+4x''+5x'+6y'+7x+8y=0
とかだったら(超適当です)、
z=x' , w=y'
とすれば、
z'+2w'+3zw=0
z'+4w'+5z+6w+7x+8y=0
z-x'=0
w-y'=0
と4変数の1階連立常微分方程式になります。

Q外力を考慮したナビエ・ストークスの式

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例えば,溶融金属をガスによって吹き飛ばす場合どうなるんでしょうか?

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No.1の訂正。
境界条件を与えますが、初期条件を与えて時間発展を追う問題のようですから、混合問題ということになるのかな。

それから少し補足。
ナビエ・ストークス方程式の中に、外からガスを当てる場合のような外力の変数がないので、計算のしようがないではないか、ということが言いたいのですね。
しかし、この場合、外から加えた力は重力のように直接流体の内部に力を及ぼしませんね。(重力を除けば)流体の内部では、そのまわりの流体から力を受けて運動するだけです。ですからナビエ・ストークス方程式はそのまま使えます。また、外からの力で、もちろん流体の内部の運動は影響を受けますが、それは、境界条件によって影響を受けたと考えればいいですね。

Q数学II 式の計算と方程式

数学II 式の計算と方程式

二次方程式 x~2-3x+1=0 の解をa,bとするとき、a~2,b~2を解とする二次方程式を2つ求めよ。

という問題なのですが、解と係数の関係からa+bとabをもとめてみたもののどうにもなりません。

アドバイスをお願いします。

Aベストアンサー

No.2です。
No.2の要領でひとつ目の二次方程式をもとめたなら、
その式のグラフのx軸に関して対象なグラフの式がもうひとつです。
具体的にはひとつ目の式のx~2の係数が符号反対で
頂点のy座標の符号反対のもの。
あとはご自分で。

これで正解だと思います...
もう遅いかもしれませんがせっかく解いたので。

Qディラック方程式の平面波解の具体形

日置善郎「相対論的量子場」を読んでいます。
ディラック方程式の p=一定値に対応するψ(x)は、
w(p)をxに依存しないスピノルとして、
ψ(x)=w(p)exp(-ipx/h')  
ですが、w(p)を具体的に求めようと思い、
z軸をpの向きに選び、p=(0,0,P) として、
αxyz=0   σxyz
    σxyz  0

β=1  0
  0  -1
から、
E w1=pc w4+mc2 w1
E w2=pc w3+mc2 w2
E w3=pc w2 -mc2 w3 
E w4=pc w1 -mc2 w4 
となり、結果は、
ψ1=1
ψ2=1
ψ3=pc/(E+mc2)
ψ4=(E-mc2)/pc=pc/(E+mc2)
というわけのわからないものになってしまいました。
どこで間違えたか、ご教授お願いします。

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だけですよね。

σz=
1 0
0-1

ですから、具体的に計算しましたら

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E w2=-pc w4+mc2 w2
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>k2=Δt*(tan(x))^2*(x+Δt/2)*(y+k1/2)
>でいいのでしょうか?

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(ア)f(t,x) = (tan(t))^2 の場合は、

k1=Δt*(tan(t))^2
k2=Δt*(tan(t + Δt/2))^2

(イ)f(t,x) = (tan(x))^2 の場合は、

k1=Δt*(tan(x))^2
k2=Δt*(tan(x + k1/2))^2

ところで、問題から見て、(ア)が正しいはずなのですが、もう一度確認していただけませんか?
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シュレディンガー方程式にもEは含まれていません。時間非依存の定常状態を仮定して初めて、時間微分の項から出てきます。

> また、確か質量ゼロの極限をとることで、シュレーティンガー方程式に近似出来ると聞いたのですが、実際にはそれとをしてもシュレーティンガー方程式になりませんよね?
なります。時間依存シュレディンガー方程式になります。

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1/x + sinxe^cosx = 0

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Aベストアンサー

解析的には解けませんね。
数値計算で解くのであれば解けます。
高校の数学で習う?ニュートン法(ニュートン・ラプソン法とも呼ばれている)を使えば、かなり正確な数値解が得られると思います。
x=pが方程式の解なら、x=-pも解になる。解は正負組の解が無限に存在します。

ニュートン法を使えば、
f(x)=1/x+sin(x)*e^(cos(x))
のグラフの概形を描いて、大雑把な近似解を求め、それを使って計算すればよい。
計算してみると数値解は同じ絶対値の正負の実数解の組が無限に存在するが
絶対値の小さい方から6組計算すると以下のように求められます。
x1,x2=±3.7759...,
x3,x4=±6.2239...
x5,x6=±9.6982...
x7,x8=±12.5370...
x9,x10=±15.8775...
x11,x12=±18.8300...
....
などとなります。

参考URL:http://www.akita-nct.ac.jp/yamamoto/lecture/2005/5E/nonlinear_equation/text/html/node4.html

解析的には解けませんね。
数値計算で解くのであれば解けます。
高校の数学で習う?ニュートン法(ニュートン・ラプソン法とも呼ばれている)を使えば、かなり正確な数値解が得られると思います。
x=pが方程式の解なら、x=-pも解になる。解は正負組の解が無限に存在します。

ニュートン法を使えば、
f(x)=1/x+sin(x)*e^(cos(x))
のグラフの概形を描いて、大雑把な近似解を求め、それを使って計算すればよい。
計算してみると数値解は同じ絶対値の正負の実数解の組が無限に存在するが
絶対値の小さい方から6組計算...続きを読む

Qαとβ行列を使用したディラック方程式について

コンプトン散乱(電子・光子散乱)の計算をする際、ディラック方程式の部分において、通常はγ行列を使用しますが、αとβ行列を使用して計算した場合、どこをどのように書き変えたらよいのでしょうか?
γ行列を使用したディラック方程式は、
(γ0*p0-γ1*p1-γ2*p2-γ3*p3 -m)φ=0  
 ですが、αとβ行列を使用すると、
(p0-p1*α1-p2*α2-p3*α3-m*β)φ=0 
になると思います。Mathematicaでプログラムを作ると、
γ行列を使用した場合、正確に計算できますが、


gu[0]={{1,0,0,0},{0,1,0,0},{0,0,-1,0},{0,0,0,-1}};
gu[1]={{0,0,0,1},{0,0,1,0},{0,-1,0,0},{-1,0,0,0}};
gu[2]={{0,0,0,-I},{0,0,I,0},{0,I,0,0},{-I,0,0,0}};
gu[3]={{0,0,1,0},{0,0,0,-1},{-1,0,0,0},{0,1,0,0}};

sl[q]=(gu[0]*q0+gu[1]*(-q1)+gu[2]*(-q2)+gu[3]*(-q3)+ms);
sl[p]=(gu[0]*p0+gu[1]*(-p1)+gu[2]*(-p2)+gu[3]*(-p3)+ms);

sl[k]=(gu[0]*k0+gu[1]*(-k1)+gu[2]*(-k2)+gu[3]*(-k3)+mk);
sl[j]=(gu[0]*j0+gu[1]*(-j1)+gu[2]*(-j2)+gu[3]*(-j3)+mk);


αとβ行列を使用すると、きちんと計算できません。どこに問題があるのでしょうか?

m1=.;
m2=.;

au[0]={{1,0,0,0},{0,1,0,0},{0,0,-1,0},{0,0,0,-1}};
(*au[0]=b*)
au[1]={{0,0,0,1},{0,0,1,0},{0,1,0,0},{1,0,0,0}};
au[2]={{0,0,0,-I},{0,0,I,0},{0,-I,0,0},{I,0,0,0}};
au[3]={{0,0,1,0},{0,0,0,-1},{1,0,0,0},{0,-1,0,0}};


sl[q]=(e4*q0+au[1]*(-q1)+au[2]*(-q2)+au[3]*(-q3)+au[0]*ms);
sl[p]=(e4*p0+au[1]*(-p1)+au[2]*(-p2)+au[3]*(-p3)+au[0]*ms);
sl[k]=(e4*k0+au[1]*(-k1)+au[2]*(-k2)+au[3]*(-k3)+au[0]*mk);
sl[j]=(e4*j0+au[1]*(-j1)+au[2]*(-j2)+au[3]*(-j3)+au[0]*mk);

コンプトン散乱(電子・光子散乱)の計算をする際、ディラック方程式の部分において、通常はγ行列を使用しますが、αとβ行列を使用して計算した場合、どこをどのように書き変えたらよいのでしょうか?
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(γ0*p0-γ1*p1-γ2*p2-γ3*p3 -m)φ=0  
 ですが、αとβ行列を使用すると、
(p0-p1*α1-p2*α2-p3*α3-m*β)φ=0 
になると思います。Mathematicaでプログラムを作ると、
γ行列を使用した場合、正確に計算できますが、


gu[0]={{1,0,0,0},{0,1,0,0},{0,0,-1,0}...続きを読む

Aベストアンサー

Tr{(sl[p']+m)γν(sl[p]+sl[k]+m)γμ(sl[p]+m)γμ(sl[p]+sl[k]+m)γν}

とかでγ0^2=1, γiγ0= - γ0γi (i=1,2,3)を使うと

 (sl[p]+m)γμ
= (sl[p]+m)γ0^2γμ
=(p0 - pi γiγ0 + βm)(γ0γμ)
=(p0 + pi γ0γi + βm)(γ0γμ)
=(p0 + pi αi + βm)(γ0γμ)

後は他の回答者にお任せします

Q指数関数の混ざった方程式についての計算なのですが、

指数関数の混ざった方程式についての計算なのですが、

y=(Mc*e^rt0)/(1+c*e^rt0)を計算してc=の形にすると
(ただし、t=t0の時、y=y0となります。)
c=(y0*e^-rt0)/(m-y0)となるらしいのですが
なぜこうなるのか分かりません。
計算過程を教えてください。

また、このcをy=(Mc*e^rt)/(1+c*e^rt)に代入すると
y=(My0*e^r(t-t0)/(M-y0+y0*e^r(t-t0))となるらしいです。
この計算方法もわからないです。
教えてください。

ちなみにこの計算は人口予測を求めるロジスティック方程式の理論解を導出する過程
ででてくるものです。

Aベストアンサー

>y=(Mc*e^rt0)/(1+c*e^rt0)を計算してc=の形にすると
>ただし、t=t0の時、y=y0となります。)

 この式は、次の式のことですね。
  y0=M*c*exp(r*t0)/{1+c*exp(r*t0)}

 ここで計算過程を簡略化させるため exp(r*t0)=T とおきます。
 ∴y0=McT/(1+cT)

 以下、式変形を進めていきます。
 y0=McT/(1+cT)
⇔y0=M{1-1/(1+cT)}
⇔y0/M=1-1/(1+cT)  (M≠0なら)
⇔1/(1+cT)=1-y0/M
⇔1/(1+cT)=(M-y0)/M
⇔1+cT=M/(M-y0)   (分数の分母・分子をひっくり返しても両辺は等しいので。)
⇔cT=M/(M-y0)-1
⇔cT=y0/(M-y0)
⇔c=y0*T^(-1)/(M-y0)
∴c=y0*exp(-r*t0)/(M-y0)

 また、この c を c*exp(rt) に代入すると次のようになります。
 c*exp(rt)
=y0*exp(-r*t0)/(M-y0)*exp(rt)
=y0*exp{r(t-t0)}/(M-y0)

 したがって、y はつぎのようになります。
y=M*c*exp(r*t)/{1+c*exp(r*t)}
=M*y0*exp{r(t-t0)}/(M-y0)/[1+y0*exp{r(t-t0)}/(M-y0)]
=M*y0*exp{r(t-t0)}/[(m-y0)+y0*exp{r(t-t0)}]

>y=(Mc*e^rt0)/(1+c*e^rt0)を計算してc=の形にすると
>ただし、t=t0の時、y=y0となります。)

 この式は、次の式のことですね。
  y0=M*c*exp(r*t0)/{1+c*exp(r*t0)}

 ここで計算過程を簡略化させるため exp(r*t0)=T とおきます。
 ∴y0=McT/(1+cT)

 以下、式変形を進めていきます。
 y0=McT/(1+cT)
⇔y0=M{1-1/(1+cT)}
⇔y0/M=1-1/(1+cT)  (M≠0なら)
⇔1/(1+cT)=1-y0/M
⇔1/(1+cT)=(M-y0)/M
⇔1+cT=M/(M-y0)   (分数の分母・分子をひっくり返しても両辺は等しいので。)
⇔cT=M/(M-y0)-1
⇔cT=y0/(M...続きを読む

Q雪って土とかには解けずによく残ってますが、アスファルトの上だとすぐ解け

雪って土とかには解けずによく残ってますが、アスファルトの上だとすぐ解けるようです。なぜですか。

土のほうが雪と接している面積が少ないからでしょうか。土とアスファルトの構成物質の違いからでしょうか。
詳しく説明してください。

Aベストアンサー

水は空気と比較して熱を伝えやすく、熱の移動も手助けします。
積雪の表面は、空気に接してなかなか溶けませんが、雨などは降るとかなり速い速度で溶けてくれます。

一方、積雪下の地面に触れた部分からも溶解しています。
アスファルトなど、水分が染み込みにくい材質は、積雪表面から溶けた水分も下の方にたまり、地中からの地熱を伝えやすくなります。
それによって溶けた雪も、さらに水となって雪の中にたまり、熱の伝導を助けます。
さらに溶けて溜まりきれなくなった水分は、積雪下部を伝って低いところに流れ、熱の移動を手助けしています。

地上の積雪は、溶けた水分が直ちに地中に染み込んで行きます。
その結果、積雪の粒の中に空気の隙間が多く出来、地表からの水分は早く素通りさせ、地表との間にも隙間が出来て、地熱の伝わり方もわるくなります。

人通りの多い所が早く溶けてしまうのも、常に雪の中の空間を押し固め、地表の隙間も無くなって地熱も伝わりやすくなります。
また、水分をかき回すことによって熱の移動も良くしています。
勿論日差しが有れば、黒いアスファルトが熱を吸収して暖まりやすく、まばらに積もった場合は溶けやすいことも有りますね。

庭の芝生の上の雪が溶けにくいのを見たことがありませんか。
これも、芝生により地熱が伝わりにくく、溶けた水分もすぐに芝生の下に染み込んでしまうからです。

水は空気と比較して熱を伝えやすく、熱の移動も手助けします。
積雪の表面は、空気に接してなかなか溶けませんが、雨などは降るとかなり速い速度で溶けてくれます。

一方、積雪下の地面に触れた部分からも溶解しています。
アスファルトなど、水分が染み込みにくい材質は、積雪表面から溶けた水分も下の方にたまり、地中からの地熱を伝えやすくなります。
それによって溶けた雪も、さらに水となって雪の中にたまり、熱の伝導を助けます。
さらに溶けて溜まりきれなくなった水分は、積雪下部を伝って低いと...続きを読む


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