定性的理論についてなんですが人口増加のことで
社会的摩擦の項というやつで
dx/dt=ax-b(x^2) ←(x^2はxの二乗の意です。)
があるのですが これの解き方が分かりません。
両辺をtで積分して、いくつかの部分にわける・・・
というところまではやってみたのですがそこからが
わからないんです。
どのようにしたらいいのでしょうか?

また、これを定性的理論について載っている文献や、HPはないでしょうか?

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dt 意味」に関するQ&A: d^2r/dt^2の意味

A 回答 (2件)

一階の微分方程式dx/dt=f(x)ですので必ず解けます。


まず、逆数を取って、
dt/dx=1/(ax-bx^2)
として、左辺を分解します。つまり、
= (1/ax) + (b/a)/(a-bx)
とするのです。そうすれば、
xで積分できて、t_0を定数として、
t=t_0 + log(x)/a -log(a/b-x)/a
となりますので、微分方程式としては解けました。

あとは、これをxについて解いて(これは単純)、
x(t)=と求めればOKです。
tで積分ではなくて、xで積分するところがミソですが、、。

P.S.
なお、定性的というのはこの話・方程式に限ったもの
ではなく、もっと一般的な用語だと思います。この話が
定性的理論である、というのは正しいですが、定性的理論
はこれである、というのはちょっとおかしいです。蛇足ながら。
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微分方程式の解き方は良いとして、この式の意味です。


dx/dt=ax
となれば、ねずみ算的な人口増加を表しています。1個体あたり、単位時間あたりの増加率がaですね。寿命による死亡も近似的にここに含めていると考えて構いません。
 さて、b(x^2)というのは、人口が増えると個体同士のインタラクションが大体人口の2乗に比例して増える、という近似です。個体数nの場合、2つの個体の組み合わせはn(n-1)/2≒(n^2)/2通りある、というのがその根拠でしょう。
 この場合のインタラクションてのはたとえば殺し合い。ともかく個体同士の相互作用で人口を減らす効果を表しています。まさに社会的摩擦の簡単なモデルですね。

 こういうのを「定性的理論」と呼ぶとは知りませんでした。非線形微分方程式の複雑な振る舞いを調べるような話にはなっていませんから、あんまり定性的という感じはしない。どっちかというと「簡単な模型」といった所でしょうか。
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Qx^x^x^x^x^x^・・・・・^x  の一般的な表し方

タイトル通りになってしまいますが、

x^x^x^x^x^x^・・・・・・^x (xはn個ある)

を一般的に表すことができる式というのはあるものなのでしょうか?

grapesで
y=x
y=x^x
y=x^x^x
y=x^x^x^x
 ・
 ・
 ・

のグラフを描いてみましたところ、どうやらnが偶数か奇数かによって2種類のグラフに近づいているように見えたのです。どなたか一般的な記述の仕方をご存知の方、宜しくお願いしますm(_ _)m

Aベストアンサー

x^x^xはx^(x^x)と表すべきです。同様にx^x^x^xではなく、x^(x^(x^x))です。
これは(x^x)^xとx^(x^x)が等しくないから区別する必要があるわけです。
たとえば(3^3)^3=729なのに対し、3^(3^3)=19683です。
一般に後者の方が圧倒的に大きくなります。

さて、話をx^(x^(x^(…)))に戻しましょう。
これは定義域を[0,1]に限れば、確かにおっしゃるとおり偶数と奇数で
関数の形状が分かれます。これはx^x→1(x→0)が関係しています。
x^(x^x)は不定形の極限ではなく、単に0^1=0に収束します。
偶数個のときは不定形の極限が現れるわけです。
数学的帰納法とたとえばlogを取って極限計算をされてみたらよいでしょう。

さて問題になっている、x^(x^x)などの表記ですが、
これにはクヌースのタワー表記(1976)というものが知られています。
たとえば
x^(x^x)=x↑↑3
x^(x^(x^(x^(x^x))))=x↑↑6
などと表示します。参考URL(wiki)などをごらんください。
wikiによるとx^^3や、x^^6などとも表示するようです。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%8C%E3%83%BC%E3%82%B9%E3%81%AE%E7%9F%A2%E5%8D%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98

x^x^xはx^(x^x)と表すべきです。同様にx^x^x^xではなく、x^(x^(x^x))です。
これは(x^x)^xとx^(x^x)が等しくないから区別する必要があるわけです。
たとえば(3^3)^3=729なのに対し、3^(3^3)=19683です。
一般に後者の方が圧倒的に大きくなります。

さて、話をx^(x^(x^(…)))に戻しましょう。
これは定義域を[0,1]に限れば、確かにおっしゃるとおり偶数と奇数で
関数の形状が分かれます。これはx^x→1(x→0)が関係しています。
x^(x^x)は不定形の極限ではなく、単に0^1=0に収束します。
偶数個のときは不定...続きを読む

Q数学 計算(x二乗+xy+y二乗)(x二乗−xy+y二乗)(x4乗−x二乗y二乗+y4乗)↑

数学 計算
(x二乗+xy+y二乗)(x二乗−xy+y二乗)
(x4乗−x二乗y二乗+y4乗)

↑見づらくてすみませんT_T
途中の計算式、説明含めて教えて下さい。
来週、期末テストで助けで下さい…

Aベストアンサー

(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)(x^2+y^2=A)
前の二項で、x^2+y^2=Aと考えると (A+xy)(A-xy) となり、 A^2-x^2y^2 
Aに (x^2+y^2)を代入して計算すると  x^4+x^2y^2+y^4  なります
x^4+y^4=B と考えると 与式は   (B+x^2y^2)(B-x^2y^2)

B^2-x^4y^4   Bに x^4+y^4 を代入すると (x^4+y^4)^2-x^4y^4

計算して、 x^8+2x^4y^4+y^8-x^4y^4=x^8+x^4y^4+y^8 

参考までに。

QX^2+Y^2=r^2 の両辺をXで微分すると、X+YY’=0 

X^2+Y^2=r^2 の両辺をXで微分すると、X+YY’=0 
なぜこうなりますか?
2X+2Y=0
ではないでしょうか?
これを解いた過程を教えてください。

Aベストアンサー

dy
―=
dx

dy dt
―・―
dt dx
の公式使います

dy^2
―  =
dx

dy^2 dy
―  ―  =
dy  dx

 dy
2y―
 dx

dy/dxっていうのはy'と書くこともできますから

2x+2yy'=0⇔x+yy'=0になります

Qy=x^(x^(x^(x^(x^(x^…の定義域は

y=x^(x^(x^(x^(x^(x^…の定義域は
[e^-e,e^(1/e)]と書かれていた本を昔読んだことがあります。
(うろ覚えですが)

最大値がe^(1/e)であることは容易に示すことができたのですが、
最小値がe^-eであることはどうやって示せばよいのでしょうか。

ご存じの方がおられましたらご教授いただきたく、よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

y=x^(x^(x^(x^(x^(x^…^(x^x)…)))))≡x^^x (0<x) (xは無限に並ぶ)…(A)
この関数で注意しなければならないことは
---------------------------------------------------------------
y=x^(x^(x^(x^(x^(x^…^(x^x)…)))))) (0<x) (xはn個並ぶ)…(B)
x→0の時 y→0or1となること

0^0^…^(0^0)=1 (0が偶数個並ぶとき)
0^0^…^(0^0)=0 (0が奇数個並ぶとき)
からx<<1のとき
(B)は多価関数となると推察される。
しかも xの数の偶数、奇数で関数が分かれる。
---------------------------------------------------------------
したがって(A)を考えるとき、偶数個のxを固まりにして考えないと上の性質を表現できない。
なので
(A)式の右辺をyで置換する場合
y=x^(x^(y)) (0<x≦e^(1/e))…(C)
とすることで(B)式のxの数の偶数、奇数の場合の性質を含ませることが出来る。
この(C)の関数は0≦x≦e^(-e)で多価関数になるので,この変域を除けば
定義域は次のようになる。
e^(-e)≦x≦e^(1/e)
この定義域でyの値域は
1/e≦y≦e
となります。

(C)のグラフを添付しておきます。

定義域の最小値はグラフからもわかりますが、(C)の関数式が多価関数にならない下限値
(y=1/eの時のx)として求めることが出来ます。

y=x^(x^(x^(x^(x^(x^…^(x^x)…)))))≡x^^x (0<x) (xは無限に並ぶ)…(A)
この関数で注意しなければならないことは
---------------------------------------------------------------
y=x^(x^(x^(x^(x^(x^…^(x^x)…)))))) (0<x) (xはn個並ぶ)…(B)
x→0の時 y→0or1となること

0^0^…^(0^0)=1 (0が偶数個並ぶとき)
0^0^…^(0^0)=0 (0が奇数個並ぶとき)
からx<<1のとき
(B)は多価関数となると推察される。
しかも xの数の偶数、奇数で関数が分かれる。
---------------------------------------------------------------...続きを読む

Qx^3-3x^2-x+3とx^2+ax+bの最大公約数が…

x^3-3x^2-x+3とx^2+ax+bの最大公約数がx-1、最小公倍数がx^4-10x^2+9
のとき、a,bの値を求めよ。

x^3-3x^2-x+3=(x+1)(x-1)(x-3)
x^4-10x^2+9=(x+1)(x-1)(x+3)(x-3)
このように因数分解はできるのですが、この後どうやって解くのでしょうか?
教えてください、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

42とある整数との最大公約数が7、最小公倍数が210のとき、ある整数を求めよ。といわれたらどう考えますか?

 42=2×3   ×7
210=2×3×5×7

このように素因数分解はできるのですが、この後どうやって解くのでしょうか?
というのと同じレベルの質問ですね。最大公約数、最小公倍数というキーワードで反射的に(素)因数分解しているだけでは駄目です。

何のために、何が言いたくて因数分解したのか、補足欄へどうぞ。
(そういう解き方だと記憶してるからっていうのは無しね。)


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