定性的理論についてなんですが人口増加のことで
社会的摩擦の項というやつで
dx/dt=ax-b(x^2) ←(x^2はxの二乗の意です。)
があるのですが これの解き方が分かりません。
両辺をtで積分して、いくつかの部分にわける・・・
というところまではやってみたのですがそこからが
わからないんです。
どのようにしたらいいのでしょうか?

また、これを定性的理論について載っている文献や、HPはないでしょうか?

A 回答 (2件)

微分方程式の解き方は良いとして、この式の意味です。


dx/dt=ax
となれば、ねずみ算的な人口増加を表しています。1個体あたり、単位時間あたりの増加率がaですね。寿命による死亡も近似的にここに含めていると考えて構いません。
 さて、b(x^2)というのは、人口が増えると個体同士のインタラクションが大体人口の2乗に比例して増える、という近似です。個体数nの場合、2つの個体の組み合わせはn(n-1)/2≒(n^2)/2通りある、というのがその根拠でしょう。
 この場合のインタラクションてのはたとえば殺し合い。ともかく個体同士の相互作用で人口を減らす効果を表しています。まさに社会的摩擦の簡単なモデルですね。

 こういうのを「定性的理論」と呼ぶとは知りませんでした。非線形微分方程式の複雑な振る舞いを調べるような話にはなっていませんから、あんまり定性的という感じはしない。どっちかというと「簡単な模型」といった所でしょうか。
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一階の微分方程式dx/dt=f(x)ですので必ず解けます。


まず、逆数を取って、
dt/dx=1/(ax-bx^2)
として、左辺を分解します。つまり、
= (1/ax) + (b/a)/(a-bx)
とするのです。そうすれば、
xで積分できて、t_0を定数として、
t=t_0 + log(x)/a -log(a/b-x)/a
となりますので、微分方程式としては解けました。

あとは、これをxについて解いて(これは単純)、
x(t)=と求めればOKです。
tで積分ではなくて、xで積分するところがミソですが、、。

P.S.
なお、定性的というのはこの話・方程式に限ったもの
ではなく、もっと一般的な用語だと思います。この話が
定性的理論である、というのは正しいですが、定性的理論
はこれである、というのはちょっとおかしいです。蛇足ながら。
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