以前どこかの記事でみたのですが、戦争を数学で考えるというもので
式が載っていました。
dx/dt=-cxy+f(t)
dy/dt=-dx+g(t)
これらを積分して、グラフを書くと、それがわかるというのですが、
うろ覚えなため、これでどうやって、答えをだして、
その答えによって、グラフをかくとどうして戦争が数学で考えられるのか
分かりません。
昔から気になっていたので、どうしても
知りたいのです。

これが載っている文献はないでしょうか?もしくは
紹介しているホームページ等はないでしょうか?
もし、解法が分かる方がいましたら、
お願いします。

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A 回答 (2件)

 


  戦争を数学的に表現し、モデル化して、このモデルの方程式を解いて、予想される戦争の結果を計算で導き出そうという考えは古くからあるもので、ミニマックス理論というのもので、扱うことが考えられました。これは、「ゲームの理論」でも扱われ、ゼロサム・ゲームなどという概念とも関係します。
 
  どういう風に条件を付けるかで、色々な方程式ができますし、色々なモデルが可能です。仰っておられるような微分方程式のモデルは、少し検索して見つからないのですが、簡単なミニマックス理論なら、微分方程式を解くというより、行列の演算になるはずです。連立微分方程式を解くには、ただ積分をすればよいという単柔な話にはなりません。普通、相互影響があるので、数値解析になります。
 
  dx/dt=
 
  というような式は、xは、一方の国「X国」の「軍備の規模」を表す変数がxで、この時間微分ですから、軍備の規模が、時間的にどう変化するかを表します。dx/dt=0 なら、時間が経っても、変化なしです。dx/dt=1 とかなら、時間と共に、比例して軍備が拡大して行きます。反対に dx/dt=-1 なら、時間と共に、比例して軍備が減って行きます。
 
  dx/dt=y となっていると、相手の国「Y国」の軍備の規模で、Xの軍備も、将来変化して来るということで、Yの軍備がまったくのゼロなら、上のように、Xの軍備は変化しません。Yにプラスの軍備があると、X国の軍備も、段々時間と共に増大して行きます。これは、常識で考えてもそうなります。X国とY国のあいだで、普通、一方が軍備を拡大すると他方も拡大し、一方が軍備を減らすと、他方も軍備を減らすというような関係が考えられます。しかし、色々な条件で、この関係はヴァリエーションができます。そして、この軍備拡大競争があるレヴェルになると、「戦争勃発」という風に解釈し、また、戦争勃発の後、どちらかの国の軍備が、ゼロかそれに近い極端に小さな値になり、他方、もう一方の国の軍備は、同じ値か、少し小さくなっただけだというのを、「戦争終結。一方の勝利」と解釈すると、こういう解釈・定義で、戦争勃発、勝敗が、モデル化でき、計算で出てくることになります。
 
  色々な条件で、どういう関係があると考えるか、それによって、連立微分方程式も色々なものを立てることができ、更に、戦争勃発とか、戦争終結とか、勝利、敗北を、どう数字的なケースで判断し、解釈するかで、色々なモデルが出てきます。微分方程式を解くのですから、その一部に積分を行うという数学的操作も入って来ます。
 
  また、方程式を立てたからと云って、実際の戦争は、変数や条件が多すぎて、理想化モデルにしかなりません。ただ、複雑なモデルでも、現在は、コンピュータで数値解析し、数値計算すると、答えが出てきます。解法というのは、或るモデル方程式を解いても、それが、すなわち戦争のモデルとして完全なことはないので、あくまで、近似モデルです。従って、ある連立微分方程式モデルの解法はあるかも知れませんが、そのモデルの妥当性が問題になります。
 
  そういったことで、戦争という社会事象を、完全にモデル化する方法はないこと、近似的なモデルは幾つもあること、解法があっても、それは、モデルの解法で、現実の戦争の解放ではないということなどを理解されればよいと思います。
 
  インターネットのURLでは、次のようなページや参考URLが、そういう理論の「考え方」について説明や背景や微分方程式の例を述べています(解き方は、モデルが精密であればあるほど複雑で難しく、かなりな数学的素養がないと分からないと思います。わたしも分かりません):
 
  国際関係理論-ゲーム分析(Game Analysis)
  http://www.lares.dti.ne.jp/~m-hisa/game/report/g …
 
  ゲームプログラミングと人工生命
  http://darwin.esys.tsukuba.ac.jp/fightsoft/IPD/g …
 
  また、書籍としては、「ゲームの理論」というような内容の本が、大体戦争の数学的モデル理論も扱っているのが普通です(戦争も、数学的にモデルとしては、ゲームの一種と考えられるのです)。
 
  ゲームの理論の本はたくさんありますが、以下のブルーバックスなどは、内容を確認していませんので分かりませんが、戦争のモデルも説明していると思えますし、分かり易いのではないかと思います(書店などで、内容を見てください。品切れになっているかも知れません。他にも「ゲームの理論」の易しい解説本は、新書などで出ているはずです):
 
  >「ゲームの理論入門―チェスから核戦略まで」ブルーバックス 217
  >モートン D.デービス (著), その他 新書 (1973/01/01) 講談社
  >価格: ¥1,040
 

参考URL:http://members.tripod.co.jp/socialsystem/d.htm
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「リチャードソン・モデル 戦争」をキーに検索すると出てきます。



http://members.tripod.co.jp/socialsystem/d.htm

参考URL:http://www.asiawide.or.jp/ecaar/Japanese/95sympo …
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Q(d/dx)∫(a~b)f(x,y)dy=∫(a~b)(d/dx)f(x,y)dyの成立条件

(d/dx)∫(a~b)f(x,y)dy(つまり、f(x,y)をyで積分(定積分)したものをxで微分したもの)を考えます(ただし、(a~b)は積分範囲を表し、aやbは定数であって、xの関数ではありません)。
これは多くの場合、∫(a~b)(d/dx)f(x,y)dy(つまり、f(x,y)を先にxで微分してからyで積分したもの)と等しくなります。しかし、まれに一致しない場合があります。例としては、f(x,y)=(sin xy)/y (x>0)の場合が挙げられます。
そこで、
(d/dx)∫(a~b)f(x,y)dy=∫(a~b)(d/dx)f(x,y)dy
が成立するための必要十分条件を教えていただきたいと思っています。
もし簡単には述べられない条件でしたら、何のどこを参照すればこのことが論じられているのかを具体的にご教示いただけると幸いです。

Aベストアンサー

積分と微分の順序交換については
必要十分条件は一般にはありません.
ただし,十分条件は知られています.

リーマン積分の範囲だと
f(x,y)が連続で,f_y(x,y)も連続くらいの条件があれば
d/dy∫f(x,y)dx = ∫f_y(x,y)dx
くらいがいえるはずです.
#積分区間とかは省きます.

その十分条件で一番便利だろうと思われるものは
ルベーク積分の言葉で記述されます.
興味があれば,「ルベーク積分」の本を
追いかけてください.
・ルベークの有界収束性定理
・L^1空間
というようなものが理解できれば,順序交換の定理は理解できます.

Qdy=dy/dx・dxの求め方

dy/dx=dy/dx から両辺にdxを掛けたようになっておりますが、
dy=dy/dx・dx を求めるために
微分法等の公式を活用してどのようにすれば求められるのでしょうか?
dy/dx はyをxで微分するということを表しており、dy/dx は分数とは異なると理解しておりますが・・・
どうぞ宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

質問者さんは、(いいかげんな)工学系の本を読まれてるので、混乱していると思います。
数学の本を読めば、厳密に書かれています。

"f'(x)・△x を点x における函数y=f(x) の微分と名づけて、それを dy で表わすことにする.すなわちこの定義によれば
             dy=f'(x)・△x.       (4)
今同様の意味において、x それ自身をx の函数とみれば、x'=1だから、
            dx=△x.
故に上記の定義の下において、△x はx の函数なる x の微分である.これを (4) に代入すれば、
            dy=f'(x)dx         (5)
これを
            dy/dx=f'(x)        (6)
と書くならば、記号dy/dx においてdx および dy が各々独立の意味を有するから、
dy/dx は商としての意味を有する。"

Q理経数学プラチカ55番(2)で・(dx/dt,dy/dt)//(sint,cost)・法線の式で

理経数学プラチカ55番(2)で
・(dx/dt,dy/dt)//(sint,cost)
・法線の式でkとはどこからきたのか
・垂線の足の座標が(sint,cost)
の3つがわかりません。どなたか教えていただけないでしょうか?

補足で問題を添付します

Aベストアンサー

・(dx/dt, dy/dt) // (sint, cost) 
 ~~~~~~~~~~~~~~

(1) で、dx/dt=tsint、dy/dt=tcost
を解いたと思いますが・・・、

(→a)=k(→b)
となる実数k(≠0)が存在すれば、
2つのベクトル (→a) と (→b) は平行ですね?

なので、
(dx/dt, dy/dt)=(tsint, tcost)=t(sint, cost)
と変形すると、これから、
(dx/dt, dy/dt) // (sint, cost)
がいえます。


・法線の式でkとはどこからきたのか
 ~~~~~~~~~~~~~~~~

(dx/dt, dy/dt) つまり (sint, cost) に垂直なベクトルは、
(-cost, sint) ・・・・・・ ①
ですね?

C上の点Pは、
(x, y)=(sint-tcost, cost+tsint)=(sint, cost)+t(-cost, sint) ・・・・・・ ②
で、点P(x, y) における法線は、
(一応、法線上の点を、大文字のX、 Yを使って(X, Y) とすると、)
① を用いて、
(X, Y)=(x, y)+s(-cost, sint) (sの文字はt以外であればよいです)
ですね?
② を代入して
(X, Y)=(sint, cost)+t(-cost, sint)+s(-cost, sint)
   =(sint, cost)+(t+s)(-cost, sint)
ここで、t+s=k とおくと、
   ~~~~~

(X, Y)=(sint, cost)+k(-cost, sint)
となり、この大文字を小文字に変えると、解答の
(x, y)=(sint, cost)+k(-cost, sint) ・・・・・・ ③
になります。


・垂線の足の座標が (sint, cost)
 ~~~~~~~~~~~~~~

直線上の点Q(x, y) において、原点からの距離が最短になる
とすると、OQ>0 より
『 OQ^2 が最小になる 』 とき 『 OQも最小になる 』 から、
OQ^2=x^2+y^2 が、最小になる k を求めればよい。
③ より
(x, y)=(sint-kcost, cost+ksint)
だから、
x^2+y^2=(sint-kcost)^2+(cost+ksint)^2
     =sin^2t-2ksintcost+k^2cos^2t+cos^2t+2kcostsint+k^2sint
     =k^2(sin^2t+cos^2t)+(sin^2t+cos^2t)
     =k^2+1
k=0 のとき x^2+y^2 が最小 になる。
③ にk=0 を代入して
(x, y)=(sint, cost)
この点が、原点Oから下した垂線の足になります。

・(dx/dt, dy/dt) // (sint, cost) 
 ~~~~~~~~~~~~~~

(1) で、dx/dt=tsint、dy/dt=tcost
を解いたと思いますが・・・、

(→a)=k(→b)
となる実数k(≠0)が存在すれば、
2つのベクトル (→a) と (→b) は平行ですね?

なので、
(dx/dt, dy/dt)=(tsint, tcost)=t(sint, cost)
と変形すると、これから、
(dx/dt, dy/dt) // (sint, cost)
がいえます。


・法線の式でkとはどこからきたのか
 ~~~~~~~~~~~~~~~~

(dx/dt, dy/dt) つまり (sint, cost) に垂直なベクトルは...続きを読む

Qdy/dx・dxは置換積分を使ってdy?

次の微分方程式を解け 2yy'=1
とありました。解答は
--------------------------------
2y・dy/dx=1の両辺をxで微分して
∫2y (dy/dx) dx=∫dx
置換積分法により ∫2y dy=∫dx
ゆえに y^2=x+C (Cは任意定数)
--------------------------------
となっています。ここで疑問に思ったのが
”置換積分法により”という箇所です。
これはdy/dx・dxを”約分して”dyにしてはならず、
”置換積分法により”dyにしなくてはならない、
ということが言いたいのだと解釈しました。
疑問1.
そこで、ここにおける”置換積分”とは具体的には
どのような作業を指すのでしょうか?
疑問2.
以下は全て同じことを表現したいと意図している
のですが、誤解を招くことはないでしょうか?
2y・dy/dx・dx   
2y (dy/dx)・dx  
2y dy/dx dx
2ydy/dx dx
2y*dy/dx*dx
2yとdyの間に半角スペースを入れた方がよいか
・と*と半角スペースどれが妥当か
dy/dxは()でくくるべきか
などなどです。

次の微分方程式を解け 2yy'=1
とありました。解答は
--------------------------------
2y・dy/dx=1の両辺をxで微分して
∫2y (dy/dx) dx=∫dx
置換積分法により ∫2y dy=∫dx
ゆえに y^2=x+C (Cは任意定数)
--------------------------------
となっています。ここで疑問に思ったのが
”置換積分法により”という箇所です。
これはdy/dx・dxを”約分して”dyにしてはならず、
”置換積分法により”dyにしなくてはならない、
ということが言いたいのだと解釈しました。
疑問1.
そこで、ここにおける”...続きを読む

Aベストアンサー

そもそも置換積分をご存知ですか?
∫(x^2+x+c)^{100} dx とか計算したことがあれば
ご存知だと思いますが?

置換積分の公式は
高校の教科書風に書くとこんな感じ

∫f(y) dy = ∫f(g(x)) g'(x) dx
ただし,y=g(x)
#積分区間とかgの条件は省略

これをちょろっと書き換えます.
g'(x) = dy/dx とかけば

∫f(y) dy = ∫f(g(x)) g'(x) dx
= ∫f(y) dy/dx dx

となるので「形式上」ですが約分の形が成り立つのです.
したがって「置換積分より」となります.

きちんと置換積分に言及してる解説は
経験上そんなに多くはありません.
その解説を書いた人はまめというか,
きっちりした方なんでしょうね.
普通は,No.1さんのように
本当は初歩的な段階では「約分」ではないのにも関わらず
形式的に約分をしてしまう解説がほとんどです.
そもそも,dy/dx は定義してても,dyとかdxというものは
定義してないですよね?定義してないものに対して
計算を行うというのは変なんですよ

ただし,No.1さんのような「約分」というのは
実際は,上述のように「置換積分」によって正当化されるので
積分記号のもとではやってしまってかまわないのです.
そして,いちいち積分記号とか書いていると
まどろっこしいので,あとで積分で使うことを前提として
なんだかわかんないけども,dxやdyというものを使って,
さらに積分記号を省いてしまって,「普通に約分」とかして
計算してしまって,それを使うというのが現実的な解法です.

つまりは「表記の問題」にすぎません.
こういうふうに「省略して書く」というのが一般的で,
なおかつ,あまりにうまく機能するので逆にややこしい,
つまり,dxとかdyが普通の数に見えてしまうということです.

これには裏があって,じつは
もっと数学を勉強していくと,積分とかにまったく無関係に
関数 f に対して,df というものがでてきます.
微分形式というのですが,ここまでいくと
約分とか,そもそも``dx''ってなんだ?という問題は
すべて解決されます.
さらにこの微分形式ってものに対して「積分」という演算が
定義されるのですが,それは「普通の積分」とうまく
噛み合うように定義されます.

そもそも置換積分をご存知ですか?
∫(x^2+x+c)^{100} dx とか計算したことがあれば
ご存知だと思いますが?

置換積分の公式は
高校の教科書風に書くとこんな感じ

∫f(y) dy = ∫f(g(x)) g'(x) dx
ただし,y=g(x)
#積分区間とかgの条件は省略

これをちょろっと書き換えます.
g'(x) = dy/dx とかけば

∫f(y) dy = ∫f(g(x)) g'(x) dx
= ∫f(y) dy/dx dx

となるので「形式上」ですが約分の形が成り立つのです.
したがって「置換積分より」となります.

きちんと置換積分に言及して...続きを読む

Q逆関数の微分 dy/dx=1/(dx/dy)

逆関数の微分はdy/dx=1/(dx/dy)と表せるらしいですが混乱してしまいよくわからなくなってしまいました。混乱の原因となった問題を通して教えてください。

(1)(x^3)'=3x^2 dy/dx=1/(dx/dy)を用いて、y=x^3の逆関数y=f(x)の導関数を求めよ
(2)rが有理数の時、(x^r)'=rx^r-1を証明せよ。

(1)例えばy=h(x)逆関数というのはこれをxについて解き、yとxを入れ替えて求めますよね。(1)の場合y=f(x)はx=y^3⇔y=x^(1/3)ですので、これを微分してy'=とすれば答えは求められるようです。でも、dy/dx=1/(dx/dy)を使う場合がわかりません。
df(x)/dx=1/(dx/dy)=1/3y^2=3^(-2/3)と書いてあります。
(2)はpが自然数のときy=x^(1/p)とするとx=y^pなので、dy/dx=1/(dx/dy)=1/py^(p-1)・・・・=1/px^(1/p-1)と回答が始まっています。

(1)(2)では逆関数の使い方がそれぞれ異なる気がします。簡潔にいうと「dy/dx=1/(dx/dy)の(dx/dy)の部分に来るものがわかりません。」(1)では逆関数(xについて解いてそれをさらにxとyを取り替えたもの)がその部分に来ているのに(2)ではただ単にxについて解いたものがきていますよね(xとyを取り替えるといる作業がない)。

まったくわからないので教えてください。ほんとによろしくお願いします!!

逆関数の微分はdy/dx=1/(dx/dy)と表せるらしいですが混乱してしまいよくわからなくなってしまいました。混乱の原因となった問題を通して教えてください。

(1)(x^3)'=3x^2 dy/dx=1/(dx/dy)を用いて、y=x^3の逆関数y=f(x)の導関数を求めよ
(2)rが有理数の時、(x^r)'=rx^r-1を証明せよ。

(1)例えばy=h(x)逆関数というのはこれをxについて解き、yとxを入れ替えて求めますよね。(1)の場合y=f(x)はx=y^3⇔y=x^(1/3)ですので、これを微分してy'=とすれば答えは求められるようです。でも、dy/dx=1/(dx/dy)を使う場...続きを読む

Aベストアンサー

y=f(x)の逆関数はy=f(x)をxについて解いてからxとyを入れ替えるのですが、逆関数の微分の場合はx,yを入れ替えて考えるとどっちがxだかyだかわからなくなると思います。

  y=x^3
の逆関数を微分してみましょう。

まず肝心のy=x^3の逆関数ですが、最初から
  x=y^3
と書いてしまいましょう。
yについて解く作業は省いてしまいます。

さて公式からdy/dxは
  dy/dx=1/(dx/dy)
ですね。
ですからdx/dyが求まれば目的の微分は計算できることになります。
このとき
  x=y^3
より
  dx/dy=3y^2
ですね。
(普段見慣れないx= の式でも戸惑わないでくださいね)

さてめでたくdx/dyが求まったので。
  dy/dx = 1/(dx/dy) = 1/(3y^2)
とわかります。
この微分のポイントは、dy/dxがyの関数として書かれているところです。
xの関数で書いた方がわかりやすいので、x=y^3の関係からdy/dxをxの関数に書き直せればベストですね。

y=f(x)の逆関数はy=f(x)をxについて解いてからxとyを入れ替えるのですが、逆関数の微分の場合はx,yを入れ替えて考えるとどっちがxだかyだかわからなくなると思います。

  y=x^3
の逆関数を微分してみましょう。

まず肝心のy=x^3の逆関数ですが、最初から
  x=y^3
と書いてしまいましょう。
yについて解く作業は省いてしまいます。

さて公式からdy/dxは
  dy/dx=1/(dx/dy)
ですね。
ですからdx/dyが求まれば目的の微分は計算できることになります。
このとき
  x=y^3
より
  dx/dy=3...続きを読む


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