有理数体Q上のGalois拡大体Lで、拡大次数[L:Q]=3である例を一つ示せ。

という問題なんですけど、そもそも拡大体ってなんでしょうか?
また、拡大次数とは何なんでしょうか?
これの回答は何になるんでしょう??
さっぱりわからないのです。

A 回答 (7件)

ここに、ごちゃごちゃと書いてもしょうがないので


文献を紹介します。

藤崎源二郎:「体とGalois理論」(岩波書店)

ここにかなり詳しく(拡大体やgalois拡大についても)
書かれています。(専門書なのできついかも...)

ちなみに答えは、多項式 x^3-3x+1 の根を有理数体に
添加した体がLの例になります。

もっというと、m を有理数として
 x^3-(m+3)x^2-mx-1
という多項式の根を添加すると有理数体上3次の
galois拡大が(mを色々変えることで)全てつくれます。
(Shanks の simplest cubic field と呼ばれています。)
これらの多項式の判別式が平方であることがポイントです。

取り急ぎの回答でした。
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有理数体の3次の拡大体なんて私も知りませんので興味ありますね


早く回答がほしいものですね
私も待っています
もしも回答がなかったら表紙を変えて再度質問してみたらどうですか?
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 回答は分りませんが・・・(^^;)



拡大体

http://www.ccad.sccs.chukyo-u.ac.jp/~mito/syllab …

拡大次数(11行目)

http://www.mis.hiroshima-u.ac.jp/~sumida/major/a …

 に書いてますよ。
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有理数体と有限体を取り違えていました


下の回答はすべて嘘です
どうもおさがわせしました
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「Lが体であってLの部分集合QがLにおける演算において体のときLをQの拡大体という」


「Lが体Qの拡大体とするとLは体Q上のベクトル空間と考えることができこのベクトル空間の次数をQに関するLの拡大の次数と呼び[L:Q]と表わす。」
例えば
集合:{0,1}
和:0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=0
積:0・0=0,0・1=0,1・0=0,1・1=1
の体をQとしたときその拡大次数3の拡大体Lは
集合:xを変数とし体Qを係数とする多項式をx^3+x+1で割った余りの多項式の集合
和:f+g mod(x^3+x+1)
積:f・g mod(x^3+x+1)
の体

よく書き間違いをするので信用しないようにしたください
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「Lが体であってLの部分集合QがLにおける演算において体のときLをQの拡大体という」


「Lが体Qの拡大体とするとLは体Q上のベクトル空間と考えることができこのベクトル空間の次数をQに関するLの拡大の次数と呼び[L:Q]と表わす。」
例えば
集合:{0,1}
和:0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=0
積:0・0=0,0・1=0,1・0=0,1・1=1
の体をQとしたときその拡大次数3の体Lは
集合:xを変数とし体Qを係数とする多項式をx^3+x+1で割った余りの多項式の集合
和:多項式の和から自然に定義する(x^3+x+1のmod)
積:多項式の積から自然に定義する(x^3+x+1のmod)

よく書き間違いをするので信用しないようにしたください
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「Lが体であってLの部分集合QがLにおける演算において体のときLをQの拡大体という」


「Lが体Qの拡大体とするとLは体Q上のベクトル空間と考えることができ
このベクトル空間の次数をQに関するLの拡大の次数と呼び[L:Q]と表わす。」
例えば
集合:{0,1}
和:0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=0
積:0・0=0,0・1=0,1・0=0,1・1=1
の体をQとしたときその拡大次数3の体Lは
集合:xを変数とし体Qを係数とする多項式をx^3+x+1で割った余りの多項式の集合
和:多項式の和から自然に定義する(x^3+x+1のmod)
積:多項式の和から自然に定義する(x^3+x+1のmod)
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Q有理数体の拡大次数について

Q(√a + √b) / Q = 4 (ただし、a,bは互いに素)の証明が、

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Aベストアンサー

「正確にわかるか」と言われたら, それは無理. ただし, ある程度なら想像できる.

例えば, もともとの Q(√a + √b) を考えると, 拡大するために使った √a + √b は代数的数です (√a, √b はどちらも代数的数). したがって √a + √b を解の 1つとする代数方程式が存在し, その次数が拡大次数になります (のはず: http://hooktail.sub.jp/algebra/ExtensionField/ にはそんな感じで書いてある).

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「正確にわかるか」と言われたら, それは無理. ただし, ある程度なら想像できる.

例えば, もともとの Q(√a + √b) を考えると, 拡大するために使った √a + √b は代数的数です (√a, √b はどちらも代数的数). したがって √a + √b を解の 1つとする代数方程式が存在し, その次数が拡大次数になります (のはず: http://hooktail.sub.jp/algebra/ExtensionField/ にはそんな感じで書いてある).

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Aベストアンサー

たとえば以下のような記述でしょうか。
「有理数体 Q に、無理数 √2 を加えた集合 {Q, √2} を考えて見ましょう。この集合は、a, b ∈ Q として、
a + b √2
と表すことができ、……」
http://ufcpp.net/study/group/extensionfield.html#example

この記述の理解として、
「2√2という無理数まで入ってきてる」というのは妥当だと思います。
普通、こう書かれれば、上記のa、b(質問文ではp、q)はQの任意の元を取りうると考えていいはずです。

「集合」として考えると成り立ちませんが、
「体」として考えると、言っていることはわかります。

問題の文の冒頭では、
「有理数の集合Qに√2を加えた……」
ではなく、
「有理数体Qに√2を加えた……」
と書いてますね。たぶんここがミソです。
「体の話をしているんだから、『加える』と言ったら、
『体の拡大』(もしくは『群の拡大』)として考えなさいよ」
という前提で書いているのです。

ただ、書き方としてはちょっと問題がありますね。
厳密に書けば
「有理数体 Q に、無理数 √2 を加えた集合」ではなく
「有理数体 Q に、無理数 √2 を加えた集合を含む最小の群」
となるはずです。

まあ、数学も高等数学になると、細かいところで文字数を取るわけにもいかないので、
この手の省略はけっこうあります。
面倒でしょうが、慣れてください。

たとえば以下のような記述でしょうか。
「有理数体 Q に、無理数 √2 を加えた集合 {Q, √2} を考えて見ましょう。この集合は、a, b ∈ Q として、
a + b √2
と表すことができ、……」
http://ufcpp.net/study/group/extensionfield.html#example

この記述の理解として、
「2√2という無理数まで入ってきてる」というのは妥当だと思います。
普通、こう書かれれば、上記のa、b(質問文ではp、q)はQの任意の元を取りうると考えていいはずです。

「集合」として考えると成り立ちませんが、
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Aベストアンサー

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>有理数体と実数体の間にそれらとは異なる群(体)は無いと思うんですが

いいえ、とても、数え切れないほど、たくさんありますよ。Q(√2)もそうですし、まだまだ、たくさんあります。
kabaokabaさんのように、有理数体に1点を付加して拡大することを考えただけでも、中間体が連続体濃度以上は存在することがわかりますよね。ただし、連続体濃度を超えるかどうかは、不明です。しかし、中間体を作るのに、加算個の点を付加する方法のみを考えている限りでは、連続体濃度を超えることは考えられません。有理数体と実数体の間にある中間体はどのぐらい存在するのでしょうか?

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>有理数体と実数体の間にそれらとは異なる群(体)は無いと思うんですが

いいえ、とても、数え切れないほど、たくさんありますよ。Q(√2)もそうですし、まだまだ、たくさんあります。
kabaokabaさんのように、有理数体に1点を付加して拡大することを考えただけでも、中間体が連続体濃度以上は存在することがわかりますよね。ただし、連続体濃度を超えるかどうかは、不明です。しかし、中間体を作るのに、加算個の点を付加する方法のみを考えている限りでは、連続体濃度を超えることは考えられません。有理数体...続きを読む


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