有理数体Q上のGalois拡大体Lで、拡大次数[L:Q]=3である例を一つ示せ。

という問題なんですけど、そもそも拡大体ってなんでしょうか?
また、拡大次数とは何なんでしょうか?
これの回答は何になるんでしょう??
さっぱりわからないのです。

A 回答 (7件)

ここに、ごちゃごちゃと書いてもしょうがないので


文献を紹介します。

藤崎源二郎:「体とGalois理論」(岩波書店)

ここにかなり詳しく(拡大体やgalois拡大についても)
書かれています。(専門書なのできついかも...)

ちなみに答えは、多項式 x^3-3x+1 の根を有理数体に
添加した体がLの例になります。

もっというと、m を有理数として
 x^3-(m+3)x^2-mx-1
という多項式の根を添加すると有理数体上3次の
galois拡大が(mを色々変えることで)全てつくれます。
(Shanks の simplest cubic field と呼ばれています。)
これらの多項式の判別式が平方であることがポイントです。

取り急ぎの回答でした。
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有理数体の3次の拡大体なんて私も知りませんので興味ありますね


早く回答がほしいものですね
私も待っています
もしも回答がなかったら表紙を変えて再度質問してみたらどうですか?
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 回答は分りませんが・・・(^^;)



拡大体

http://www.ccad.sccs.chukyo-u.ac.jp/~mito/syllab …

拡大次数(11行目)

http://www.mis.hiroshima-u.ac.jp/~sumida/major/a …

 に書いてますよ。
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有理数体と有限体を取り違えていました


下の回答はすべて嘘です
どうもおさがわせしました
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「Lが体であってLの部分集合QがLにおける演算において体のときLをQの拡大体という」


「Lが体Qの拡大体とするとLは体Q上のベクトル空間と考えることができこのベクトル空間の次数をQに関するLの拡大の次数と呼び[L:Q]と表わす。」
例えば
集合:{0,1}
和:0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=0
積:0・0=0,0・1=0,1・0=0,1・1=1
の体をQとしたときその拡大次数3の拡大体Lは
集合:xを変数とし体Qを係数とする多項式をx^3+x+1で割った余りの多項式の集合
和:f+g mod(x^3+x+1)
積:f・g mod(x^3+x+1)
の体

よく書き間違いをするので信用しないようにしたください
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「Lが体であってLの部分集合QがLにおける演算において体のときLをQの拡大体という」


「Lが体Qの拡大体とするとLは体Q上のベクトル空間と考えることができこのベクトル空間の次数をQに関するLの拡大の次数と呼び[L:Q]と表わす。」
例えば
集合:{0,1}
和:0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=0
積:0・0=0,0・1=0,1・0=0,1・1=1
の体をQとしたときその拡大次数3の体Lは
集合:xを変数とし体Qを係数とする多項式をx^3+x+1で割った余りの多項式の集合
和:多項式の和から自然に定義する(x^3+x+1のmod)
積:多項式の積から自然に定義する(x^3+x+1のmod)

よく書き間違いをするので信用しないようにしたください
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「Lが体であってLの部分集合QがLにおける演算において体のときLをQの拡大体という」


「Lが体Qの拡大体とするとLは体Q上のベクトル空間と考えることができ
このベクトル空間の次数をQに関するLの拡大の次数と呼び[L:Q]と表わす。」
例えば
集合:{0,1}
和:0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=0
積:0・0=0,0・1=0,1・0=0,1・1=1
の体をQとしたときその拡大次数3の体Lは
集合:xを変数とし体Qを係数とする多項式をx^3+x+1で割った余りの多項式の集合
和:多項式の和から自然に定義する(x^3+x+1のmod)
積:多項式の和から自然に定義する(x^3+x+1のmod)
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