3(√2+(√5))+3(√2-(√5))=1を示せ。

わかりにくいですが、3乗根の√のなかに2+√5 が入ってるんです。

A 回答 (1件)

a=(2+√5)^(1/3), b=(2-√5)^(1/3) とおいて、a+bを求めます。


まず、3乗根はいやなので、a^3=2+√5, b^3=2-√5
ここらで、対称式の値の問題と気が付いてほしいところ。
それを念頭において、以下の式変形を行います。
a^3+b^3=4, (ab)^3=-1 となります。abは実数なのでab=-1
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)((a+b)^2-3ab)より
a+b=xとおくと、x(x^2+3)=4という3次方程式を解けばOK。
x^3+3x-4=(x-1)(x^2+x+4)=0、xは実数なので、x=1(終)

本当は、回答ではなく、アドバイスにとどめておきたかったんですが・・・
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この回答へのお礼

詳しい回答をしていただき本当にありがとうございました。
とてもうれしいです。

お礼日時:2002/01/14 19:04

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Q√12 + √3/4 = 2√3 + √3/2 = 5/2√3

√12 + √3/4 = 2√3 + √3/2 = 5/2√3

√と分数の計算を教えてください。

この問題ですが、最後なぜ5/2になるのかわかりません。
√3 + √3 = 2√3 で 2+2√3/2 = 4/2√3
ではないのでしょうか?

Aベストアンサー

√3をtと置いてみてください。

√12+√(3/4)
=√(2^2×3)+√(3/2^2)
=2√3+√3/2
√3をtと置くと、
=2t+t/2
通分すると
=(4t+t)/2
=5/2×t
tと戻すと、
=5/2√3

でしょ?

Q{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4

n → ∞のとき、
{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4

また、n → ∞のとき、
{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 → π√2/8

らしいのですが、証明がかいてありませんでした。
どうか証明を教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

#3、#5です。

>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)[Σ[k=1,n]{k/n} - 1/n + (n+1)/n]
>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]{k/n}

1/nが消えるのはわかるのですが、n/n(=1)が消えるのはなぜでしょう?


>でもそのはさみこむ方法は、後半ではうまくいきにくいし、…

後半もうまくいきましたので、以下に説明します。
n=7の場合のグラフを添付します。
区分求積法により、{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 は幅(1/n),高さ{√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/nの階段状の図形の面積になります。k=0~n-1です。
下限関数 f(x)=√{(1-x^2)/2}
上限関数 g(x,Δ)=√[{(1+Δ)^2-x^2}/2] (但しΔ=1/n)
階段関数 {√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/n=√[{n(n+1)-k(k+1)}/(2n^2)]

(1)x=k/nのところで、階段の高い方より上限関数 g(x,Δ)が大きい事を示します。但しk=1~nです。
x=k/nの階段の高い方は√[{n(n+1)-(k-1)k}/(2n^2)]です。
x=k/nの上限関数 g(x,Δ)=g(k/n,1/n)=√[{(1+(1/n))^2-(k/n)^2}/2]=√[{(n+1)^2-k^2}/(2n^2)]
(上限関数) ≧ (階段関数の高い方) を示すには、ルートと分母の(2n^2)が共通なので、
(n+1)^2-k^2 ≧ n(n+1)-(k-1)k を示せば十分です。
{(n+1)^2-k^2}-{n(n+1)-(k-1)k}=n-k+1≧0 より明らかです。

(2)x=k/nのところで、階段の低い方より下限関数 f(x)が小さい事を示します。但しk=0~nです。
x=k/nの階段の低い方は√[{n(n+1)-k(k+1)}/(2n^2)]です。
x=k/nの下限関数 f(x)=f(k/n)=√[{(1-(k/n)^2}/2]=√[(n^2-k^2)/(2n^2)]
(階段関数の低い方) ≧ (下限関数) を示すには、ルートと分母の(2n^2)が共通なので、
n(n+1)-k(k+1) ≧ n^2-k^2 を示せば十分です。
{n(n+1)-k(k+1)}-(n^2-k^2)=n-k≧0 より明らかです。

以上の事から階段関数は下限関数 f(x)と上限関数 g(x,Δ)の間に入る事がわかりました。
下限関数の面積をF,上限関数の面積をG(n),階段関数の面積をA(n)とすると、
F ≦ A(n) ≦ G(n) となります。
F=∫[0→1]f(x)dx=(1/√2)(単位円の面積÷4)=π(√2)/8
G(n)=∫[0→(1+Δ)]g(x,Δ)dx=(1/√2)(半径(1+Δ)の円の面積÷4)={π(√2)(1+Δ)^2}/8 (但し Δ=1/n)
つまり階段関数の面積はπ(√2)/8以上{π(√2)(1+1/n)^2}/8以下になります。
n→∞で階段関数の面積はπ(√2)/8に収束します。

#3、#5です。

>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)[Σ[k=1,n]{k/n} - 1/n + (n+1)/n]
>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]{k/n}

1/nが消えるのはわかるのですが、n/n(=1)が消えるのはなぜでしょう?


>でもそのはさみこむ方法は、後半ではうまくいきにくいし、…

後半もうまくいきましたので、以下に説明します。
n=7の場合のグラフを添付します。
区分求積法により、{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 は幅(1/n),高さ{√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/nの階段状の図形の面積になります。k=0~n-1です。
下限関...続きを読む

Q5+√3/5-√3 - 5-√3/5+√3

5+√3/5-√3 - 5-√3/5+√3
答えを教えて下さい。
お願いします。

Aベストアンサー

おっと失礼。

=(14+5√3)/11 …… (1)
=(14-5√3)/11 …… (2)

∴与式=(1)-(2)=10√3/11

Qx=√2+√3+√5+√7が満たす整数係数方程式は?

x=√2が満たす整数係数方程式は、

x^2-2=0

です。
x=√2+√3が満たす整数係数方程式は、2乗して、

x^2=5+2√6
移項した後に2乗して、
(x^2-5)^2=24
x^4-10x^2+1=0

です。
x=√2+√3+√5が満たす整数係数方程式は、移項した後に2乗して、
x^2+2-2√2=8+2√15
移項した後に2乗して、
(x^2-6)^2=2√2+2√15
x^4-12x^2+36=68+8√30
再び移項した後に2乗すれば結局8次式になります。

では、x=√2+√3+√5+√7が満たす整数係数方程式はどうなるのでしょうか?
方針だけでも教えてください。
移項した後に2乗しても、ルートの個数が減ってくれそうにありません。

さらに、これをどんどん続けることは可能でしょうか?

Aベストアンサー

整数係数方程式が x=√2 という解を持つなら x=-√2 も解となります.
したがって,x=√2が満たす整数係数方程式は、
 (x-√2)(x+√2) = 0
⇔ x^2 - 2 = 0
となります.

同様に考えると x=√2+√3 の場合は
 (x-√2-√3)(x-√2+√3)(x+√2-√3)(x+√2+√3) = 0
⇔ {(x-√2)^2 - 3}{(x+√2)^2 - 3} = 0
⇔ {(x^2-1) - 2√2x}{(x^2-1) + 2√2x} = 0
⇔ (x^2-1)^2 - 8x^2 = 0
⇔ x^4-10x^2+1=0
となります.

以下同様に,
 x=√2+√3+√5
の場合は
 x=±√2±√3±√5
という8個の解を持つ8次方程式,
 x=√2+√3+√5+√7
の場合は
 x=±√2±√3±√5±√7
という16個の解を持つ16次方程式を考えることで
整数係数の方程式を得ることが出来ます.

Qx=√2+√3+√5+√7の整数部分aは?

x=√2の整数部分aは?

1<2<4より1<√2<2
よって、a=1

x=√2+√3の整数部分aは?

x^2=5+2√6
2<√6<3より
9<x^2=5+2√6<11<16
3<x<4
よって、a=3

x=√2+√3+√5の整数部分aは?

14<10√2<15、17<10√3<18、22<10√5<23より
53<10√2+10√3+10√5<56
5.3<x=√2+√3+√5<5.6
よって、a=5

x=√2+√3+√5+√7の整数部分aは?

原理的には直前と同じようなやり方で解けると思います。
つまり、それぞれの項を小数第一位まで求めるという方法です。

しかし、x=√2+√3+√5+√7+√11の整数部分を求めるなど、これをどんどん続けていくと、それぞれの項を小数第二位まで求める必要が出てくると思います。

どんどん続けていくと、その都度、それぞれの項を精密に考え直さなくていけなくて、しかも、小数第何位まで精密に考えなくてはいけないのかなど、自明ではないので、そんないいやり方ではないと思っています。

もっと、いい求め方がありましたら、概略だけでも教えていただきたく思います。

x=√2の整数部分aは?

1<2<4より1<√2<2
よって、a=1

x=√2+√3の整数部分aは?

x^2=5+2√6
2<√6<3より
9<x^2=5+2√6<11<16
3<x<4
よって、a=3

x=√2+√3+√5の整数部分aは?

14<10√2<15、17<10√3<18、22<10√5<23より
53<10√2+10√3+10√5<56
5.3<x=√2+√3+√5<5.6
よって、a=5

x=√2+√3+√5+√7の整数部分aは?

原理的には直前と同じようなやり方で解けると思います。
つまり、それぞれの項を小数第一位まで求めるという方法です。

しかし、x=√2+√3+√5+√7+√11の整数部分を求めるなど、これをど...続きを読む

Aベストアンサー

No2です。
確かに項の数が大きいときは連分数による近似は計算が大変だと思います。
もし大体の値を知りたければ
次のように考えてはどうでしょうか。
xを無理数として、小数点第一位まで近似計算する。
x=[x]+{x}([x]は整数部分、{x}は小数部分)
0<{x}<0.5のとき x=[x]
0.5<{x}<1のとき x=[x]+1 を代入

√2に1、√3に2、√5に2、√7に3
を代入するといった具合です。

もっと精密にするには小数点第2位まで近似計算して、第2位を四捨五入します、

√2に1.4、√3に1.7、√5に2.2、√7に2.6
を代入するといった具合です。

この方法のもとなるのは
xの小数部分が区間[0,1]に一様に分布するということをつかうのですが、(このことが成り立つかどうか知りませんが)
もし成り立つのならば誤差がならされて大きな項数を加えるときそう大きな誤差にはならないはずです。

1から100までの素数の平方根でやってみると
√2+√3+√5+……+√97=150.288
整数近似のほうは150,小数点第一位近似では150.2
とかなり良い値が得られました。
もちろんこれから整数部分が150という結論は出てこないですが(この場合ちょっとうまくいきすぎでもっとずれる可能性もある)、大体の値を得られるでしょう。確率論を使うとどれくらいの確率でこれこれの範囲内に真の値があると計算できると思います。

外の例でもためしましたが、場合によっては結構誤差が大きくなったりします。
あまり役に立たないかもしれません。

No2です。
確かに項の数が大きいときは連分数による近似は計算が大変だと思います。
もし大体の値を知りたければ
次のように考えてはどうでしょうか。
xを無理数として、小数点第一位まで近似計算する。
x=[x]+{x}([x]は整数部分、{x}は小数部分)
0<{x}<0.5のとき x=[x]
0.5<{x}<1のとき x=[x]+1 を代入

√2に1、√3に2、√5に2、√7に3
を代入するといった具合です。

もっと精密にするには小数点第2位まで近似計算して、第2位を四捨五入します、

√2に1.4、√3に1.7、√5に2.2、√7に2.6
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