自分で解いてみると2個になったんですが3個のようです
{(1,1),(1,2),(2,2)}と
{(1,1),(2,1),(2,2))は出たのですけど
もうひとつありますか?
{(1,1),(2,2)}だと対称的が入ってしまうので…
誰か教えてください お願いします

A 回答 (2件)

>反射、反対称、推移、対称 が満たされていても半順序関係といえるのですね?


>先の3つだけ満たされている場合が半順序関係ではないのですね?

対称とはおそらく
(1,1)と(2,2)のことを言っておられるのだと思いますが、これは順序関係の公理でいうと反射律が成り立つということを言っているに過ぎません。

とにかく、順序関係は反射・反対称・推移の3つの公理を満たすもの、と定義されているのですから順序の3公理を満たしさえすれば対称的であろうがなかろうがそれは半順序集合です。
おそらく「反対称」という言葉にひきづられて対称的な組があると反対称律と矛盾するような気がするのでしょうが、そんなことはありません。
すべての(「すべての」ということが重要です)要素間に(自分自身も含めて)対称的かつ反対称律を満たすような関係がある場合は、反対称律よりその集合のすべての要素は等しい、いいかえれば1点集合{1}と言うことになります。
もちろん{1}には{(1,1)}という(ただひとつの)半順序関係が成り立ちます。これは「すべての」関係が対称的であるような唯一の半順序集合です。
{(1,1),(2,2)}の場合は1と2の間に関係は定義されませんから、「すべての」要素間に対称的な関係があるわけではないですよね。

というわけでこの問題については対称的等は気にする必要はありません。
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この回答へのお礼

そうなんですか,なんかややこしいので困ってました。どうもありがとうございました。

お礼日時:2002/01/15 23:34

3つめのパターンは{(1,1),(2,2)}でOKですよ



>対称的が入ってしまうので…
なにか勘違いしていませんか?
半順序関係というのは要するにその関係が順序の3公理(反射、反対称、推移)を満たせば良いのですから
{(1,1),(2,2)}が3公理を満たしていることをチェックしてみましょう。

反射律は明らかですね。

多分mahiro19さんは反対称性について思い違いをしていると思うので、これについて解説します。
順序関係と言うのは必ずしも対称な関係ではありません。AとBに順序関係があるということをイメージしやすい言葉で置き換えて「AはBより《前》の要素である」(逆にBはAより《後》の要素であるといっても同様です)と言い替えてみましょう。
「AはBより《前》の要素である」という命題が成り立っていたとしても、AとBを入れ換えると命題は必ずしも成り立つとは限りません。ですが

「AはBより《前》の要素であり、かつBはAより《前》の要素である」と言う条件が成りたつならばA=B …(H)

という命題は成り立ってくれないと不便でしょう。反対称律というのはこの命題を公理にしたものです。
そして重要なことは、そもそもAとBの間に順序関係が定義されていない場合にはこの命題Hは無条件で成り立つ、ということです。つまりその場合はA=BだろうがA≠Bだろうが関係ないのです。
それは前提条件である「AはBより《前》の要素であり、かつBはAより《前》の要素である」が偽だからです。「PならばQ」という形の命題は前提(命題P)が偽なら結論(命題Q)の真偽に関わらず命題自体は真です。これは命題論理の基本的な規則です。

というわけで反対称律を満たしていることをいうためには前提が成り立つような組合せについてのみチェックすれば良いのです。
このパターンについて書き下してみると
(1,1)かつ(1,1)ならば1=1
(2,2)かつ(2,2)ならば2=2
の2つをチェックすればよろしい。どちらも明らかに正しいですね。だから反対称律もOK

推移律についても同様に、前提部分の「(A,B)かつ(B,C)」が成り立つ組合せのみチェックすればOKです。これも大丈夫ですね。


***********************************************

質問の回答はここまでですが、ちょっとついでの話を
「どの2つの要素にも(同じ要素同士にも)関係が定義されない」という「関係」を空関係といいます。空関係はもちろん順序関係ではありませんが、反射律・反対称律・推移律のどれも満たさないわけではありません。直感に反するようですが空関係は反対称律・推移律を満たします。その理由は……もうおわかりですね。

も一つついでの話を
n個の集合の上の半順序集合の数はnが大きくなると急速に増えます。n=3で19個,n=4で219個,n=5で4231個,n=6で130023個と急速に増えます。もっともこれは個々の要素を区別する場合です。つまり{(1,1),(1,2),(2,2)}と{(1,1),(2,1),(2,2)}を異なる半順序集合と見なす場合です。個々の要素を区別しない、つまりこの2つを同じ半順序とみなすような場合はもう少し少なくなります。(それでもn=6で318個になります)お時間があればn=3の場合も考えてみて下さい。

この回答への補足

反射、反対称、推移、対称 が満たされていても半順序関係といえるのですね?
先の3つだけ満たされている場合が半順序関係ではないのですね?

補足日時:2002/01/13 02:33
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Q例 の省略 ex と e.g.

これまで、「例」の省略として、e.g.(exempli gratia,for example)を使ってきたのですが、Ex.もよく見かけます(主に日本語の文中で)。
私の読む英文は学術系に偏っているので、e.g.しか使われないのかもしれないと思いました。普通の英文でもexは、使われることが多いのでしょうか。
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Aベストアンサー

e.g.は文中の括弧内で例を列記するときに使いますよね(e.g. こ、ん、な、ふ、う、に)。

一方Ex.は、例文とかの文頭に使うのがほとんどじゃないでしょうか。Ex. こんなふうに。

Ex.は単にExampleの略、e.g.はfor exampleの略といった感じでしょうか。

参考URL:http://philosophy.byu.edu/classes/dj/phil200hwin05/Basic%20Grammar%20Packet%2010jan05.pdf

Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.

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例)○○△△

などと書くと思うのですが、英語の場合は一般的にどう表現するのでしょうか?

ex) か e.g.)

などは知っているのですが、ex)はともかく、e.g.)は何の略なのでしょうか?また、どちらを使った方がよりフォーマルなのでしょう?
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Aベストアンサー

e.g. = exempli gratia
ラテン語
意味:for example

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Aベストアンサー

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***
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***

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「また、この線形方程式についての結果は何を物語っているか?」
とも問われているのですが
その答えは「∩[i=1,..,m]Ker(yi)の補集合の直交補空間の元を表している」と答えれば正解でしょうか?

●「この線型方程式」とあるが、どこに線型方程式があるのか僕には分かりません。

●意味・意義の解釈は種々にできます。これこそ自分の頭で考えるべきことでしょう。

●あなた自身が指摘してくれた通り、Vはもともと内積は定義されてないのですから、直交補空間をもちだすのは不適切です。内積を用いない解釈を、まずは求められていると思います。
もしも「直交補空間」という概念を用いるなら、どういう内積を入れるのか、書かねばなりません。(僕が「修正」でそうしたように)

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●「この線型方程式」とあるが、どこに線型方程式があるのか僕には分かりません。

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