逆行列を ^(-1) で、転置を ^T で表すことにします。
k:自然数
Δ:既知のスカラー値
A:既知の、kに依存しない10×10行列
y:既知のkに依存するスカラー値
b:未知のkに依存しない10×1ベクトル
c:未知のkに依存しない10×1ベクトル
E:10×10単位行列
とします。これらが次の式を満たす時のb,cを求めたいのです。

 y(kΔ) = c^T A^(-1) (exp(kAΔ)-E)b (k=1,2,3,.....)

この制約式を厳密に満たす必要はありません。
2乗誤差が最小になるようなくらいでいいです。

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A 回答 (2件)

前処理としては(べつにやらなくてもまったく問題ないとは思いますが)


u^T=c^TA^(-1)(exp(AΔ)-E)と置とおいて
y((k+1)Δ) -y(kΔ) = u^T exp(kAΔ) b
とするのでしょうかね。あとは
bを固有値αn (n = 1,2,...,10)なる
Aの固有ベクトルの列{bn; n=1,2,...10}(とくに規格化してません)であらわして
y((k+1)Δ) -y(kΔ) = Σ{nについての和}} exp(kαn Δ) (u^T.bn)
から(u^T.bn)を求めればよいのではないでしょうか?
c,bはそれぞれ大きさを決めて(u^T.bn)からもとめればよいかと思います。

この回答への補足

回答ありがとうございます。
>bを固有値αn (n = 1,2,...,10)なる
>Aの固有ベクトルの列{bn; n=1,2,...10}(とくに規格化してません)であらわして
>y((k+1)Δ) -y(kΔ) = Σ{nについての和}} exp(kαn Δ) (u^T.bn)

bをAの固有ベクトルbnで表す時、bは未知ベクトルですから、
b = Σβnbn (βnは未知のスカラー値)
と表せると思います。この未知数βn(n=1,...10)も式にきちんと入れると、
y((k+1)Δ)-y(kΔ) = Σ{nの和}βn exp(kαn Δ)(u^T.bn)
となるはずで、βnが既知なら(u^T.bn)は求まりますが、実際には未知なので求まりません。βn(u^T.bn)をひとかたまりの変数と見て制約式から求めることはできますが、
βn(u^T.bn) = (nに依存する既知の値)
からβn,u^Tをどうやって求めればいいのでしょうか?

補足日時:2002/01/15 03:44
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>βn(u^T.bn)をひとかたまりの変数と見て制約式から求めることはできますが、


必然的にそうなるのでは?
βn(u^T.bn)を見ればわかるように恣意性があります
(方程式の形がy=cMbとなっているため、cをk倍、bを1/k倍しても変わらないためです)。
「c,bはそれぞれ大きさを決めて」といっているのはそういうことです。
そして、それぞれ大きさを決めるのだからbnのノルムは関係ないので
規格化しないと書きました。ちなみに、b=Σβnbnとしてをβnを適当に決めれば
求められた値=βn(u^T.bn)=c^T(A^(-1)(exp(AΔ)-E).bn)
=(αn)^(-1)(exp(αnΔ)-1)(c^T.bn)
でcが求められます。
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QR^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

よろしくお願い致します。

A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
から先に進めません。
λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=Σ[n=1..∞]λ(∪[k=n..∞]A_k)なんて変形もできませんよね。
どのすれば=0にたどり着けますでしょうか?

(イ)について
答えは多分Yesだと思います。
Lebesgue可測集合はL:={E∈R^n;E⊂Uでinf{λ^*(U\E);Uは開集合}=0}の元の事ですよね。
なのでLebesgue測度は制限写像λ^*|L:=μと書けますよね。
それで∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lを示せば(ア)からLebesgue測度0が言えると思います。
今,(ア)より
inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}=0
と分かったので
0=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(但しBd(I_i)は境界点)
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(∵||の定義)
からinf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
となればI_i\Bd(I_i)は開集合になので
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}=0が言え,
∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lも言え,
μ(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=0(∵(ア))
となりおしまいなのですが

inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
から
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
となる事がどうしても言えません。どうすれば言えますでしょうか?

よろしくお願い致します。

A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=...続きを読む

Aベストアンサー

数列の部分和の定義と∩∪の定義からすぐだと思いますよ。
面倒なので外測度を単にλで表します。
仮定はΣλ(A_k)<∞です。これは級数の収束の定義から部分和
S_N=Σ[k=1,..,N] λ(A_k)
がコーシー列、よって
任意のε>0に対してNが存在し、n≧Nならば
Σ[k=n,...,∞] λ(A_k)<ε
ということを言っているわけです。
問題は、∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_kの外測度を求めることですが上の事実を利用できることが分かると思います。上で示したNをとってきます。このとき
λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)≦Σ[k=N,..,∞] λ(A_k)<ε
となるのはほとんど明らかですね。任意のεに対してもっと大きい番号N'をとっても問題の集合はN'から先の和集合に含まれるわけですからこれは結局λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)=0でなければならないことを示しています。

Q数列 0,r,2r^2,……,kr^k,…… の初項から第n項までの和

数列 0,r,2r^2,……,kr^k,…… の初項から第n項までの和 Sn を求めよ。

という問題で、一般項 an=(n-1)r^n-1 になると考え

初項 (n-1) 公比 r なので

Sn = (n-1)(1-r^n)/(1-r)

になると考えたのですが答えは全く違っていました。

根本的に考え方が間違っていると思うのですが、どこが悪いのか分かりません。
どなたか詳しく教えていただけますでしょうか。

問題と答えは↓にあります(一番最後の問題です)
http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakua/suuretu/touhisum/touhisum.htm

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>最初の(n-1)が初項の等比数列だと思っていましたが、
>これは、定数ではないので等比数列ではないと言う考えで良いのでしょうか?

 等比数列というのは、隣り合う項の比が一定(nによらない)だと言うことです。

 ここで具体的にその比を計算してみます。

a_n/a_(n-1) ={(n-1)r^(n-1)}/[(n-2)r^(n-2) =(n-1)/(n-2) r

 すると、隣り合う項の比にnが含まれ、一定ではありません。
 従って、数列{an}は等比数列ではありません。

 解法については、質問に貼られた問題サイトに良い解説が掲載されていますね。

QΣ[k=1..∞](-1)^(k+1)/k^2=π^2/12において,|π^2/12-s(n)|<10^-4となる為のnの大きさは?

皆様、宜しくお願い致します。下記の問題でたいそう難儀しております。

[問]与えられたΣ[k=1..∞](-1)^(k+1)/k^2=π^2/12において,|π^2/12-s(n)|<10^-4
となる為にはどのくらい大きい自然数nが選ばれねばならないか決定せよ。
但し,s(n)はこの級数のn項迄の部分和を表す。

という問題なのですがこれはどのようにして解けばいいのでしょうか?

Aベストアンサー

全部答えるとルール違反なので方針だけ。

Σ[k=n+1..∞](-1)^(k+1)/k^2

の絶対値が 10^(-4) よりも小さくなる条件を求めればよい。


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