早速、質問させていただきます。
2+√(5+2i)をXY座標で表すと、どうなりますか?
先ほど友人に複素数平面の問題を聞かれたのですが、
此処が分からなくなってしまい、困っています。
よろしくお願いします。

A 回答 (1件)

ルート1は実数の範囲で考えると1であるが


複素数の範囲で考えると±1なんですよ
だからルート某は複素数の範囲では1つか2つあるのです
通常は2つですけどね
だから答えは推して量るべしです
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2002/01/14 07:36

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4

n → ∞のとき、
{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4

また、n → ∞のとき、
{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 → π√2/8

らしいのですが、証明がかいてありませんでした。
どうか証明を教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

#3、#5です。

>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)[Σ[k=1,n]{k/n} - 1/n + (n+1)/n]
>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]{k/n}

1/nが消えるのはわかるのですが、n/n(=1)が消えるのはなぜでしょう?


>でもそのはさみこむ方法は、後半ではうまくいきにくいし、…

後半もうまくいきましたので、以下に説明します。
n=7の場合のグラフを添付します。
区分求積法により、{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 は幅(1/n),高さ{√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/nの階段状の図形の面積になります。k=0~n-1です。
下限関数 f(x)=√{(1-x^2)/2}
上限関数 g(x,Δ)=√[{(1+Δ)^2-x^2}/2] (但しΔ=1/n)
階段関数 {√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/n=√[{n(n+1)-k(k+1)}/(2n^2)]

(1)x=k/nのところで、階段の高い方より上限関数 g(x,Δ)が大きい事を示します。但しk=1~nです。
x=k/nの階段の高い方は√[{n(n+1)-(k-1)k}/(2n^2)]です。
x=k/nの上限関数 g(x,Δ)=g(k/n,1/n)=√[{(1+(1/n))^2-(k/n)^2}/2]=√[{(n+1)^2-k^2}/(2n^2)]
(上限関数) ≧ (階段関数の高い方) を示すには、ルートと分母の(2n^2)が共通なので、
(n+1)^2-k^2 ≧ n(n+1)-(k-1)k を示せば十分です。
{(n+1)^2-k^2}-{n(n+1)-(k-1)k}=n-k+1≧0 より明らかです。

(2)x=k/nのところで、階段の低い方より下限関数 f(x)が小さい事を示します。但しk=0~nです。
x=k/nの階段の低い方は√[{n(n+1)-k(k+1)}/(2n^2)]です。
x=k/nの下限関数 f(x)=f(k/n)=√[{(1-(k/n)^2}/2]=√[(n^2-k^2)/(2n^2)]
(階段関数の低い方) ≧ (下限関数) を示すには、ルートと分母の(2n^2)が共通なので、
n(n+1)-k(k+1) ≧ n^2-k^2 を示せば十分です。
{n(n+1)-k(k+1)}-(n^2-k^2)=n-k≧0 より明らかです。

以上の事から階段関数は下限関数 f(x)と上限関数 g(x,Δ)の間に入る事がわかりました。
下限関数の面積をF,上限関数の面積をG(n),階段関数の面積をA(n)とすると、
F ≦ A(n) ≦ G(n) となります。
F=∫[0→1]f(x)dx=(1/√2)(単位円の面積÷4)=π(√2)/8
G(n)=∫[0→(1+Δ)]g(x,Δ)dx=(1/√2)(半径(1+Δ)の円の面積÷4)={π(√2)(1+Δ)^2}/8 (但し Δ=1/n)
つまり階段関数の面積はπ(√2)/8以上{π(√2)(1+1/n)^2}/8以下になります。
n→∞で階段関数の面積はπ(√2)/8に収束します。

#3、#5です。

>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)[Σ[k=1,n]{k/n} - 1/n + (n+1)/n]
>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]{k/n}

1/nが消えるのはわかるのですが、n/n(=1)が消えるのはなぜでしょう?


>でもそのはさみこむ方法は、後半ではうまくいきにくいし、…

後半もうまくいきましたので、以下に説明します。
n=7の場合のグラフを添付します。
区分求積法により、{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 は幅(1/n),高さ{√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/nの階段状の図形の面積になります。k=0~n-1です。
下限関...続きを読む

Q複素数平面と座標平面の対応について

本などを見ると、P=a+biとP(a,b)は一対一対応をしていると書かれてあるのですが、これについてどのように整理をつければよいのか迷っています。まず、複素数平面上を書くときは軸に「実軸、虚軸」とはっきり書かないといけないのでしょうか。それと、複素数平面上の点Pの横に(a,b)と書いてはだめですよね。絶対にP=a+biの形で添えないとだめですよね。つまりどこまで対応しているのか分からないんです。あくまで複素数平面と座標平面は別個のものだから、答案を書くときにはそれを別々に書かないとだめですよね。

それと、ベクトルとつなげるときには、複素数平面ではなくて座標平面で考えるんだと思うのですが、そうすると、回転のとき以外はすべて座標平面で考えた方がよいのでしょうか。複素数平面の使い方が余りよくわかりません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

 
  普通の座標平面だと、(a,b) と書くと、普通、aがx軸、bがy軸です。複素平面でも (a,b) と書くと、bの方が複素数だと思いますが、Y軸に「虚数軸」,X軸に「実数軸」と(または、Yが虚数軸、Xが実数軸などと)でも書いておけば、複素数はこの平面で (a,b) で表現できます。わざわざ、(a,bi)とか、(a+bi) と書く必要はありません(書いても構いません。ただ、複素数平面だと断り、どちらが虚数軸か実数軸かを明示すれば、(a,b) は無論、複素数を表現していることは明らかだからです。……ただ、混同が起こるようなら、P(a,bi) と書いた方がいいですし、分かり易くということなら、書いた方がよいでしょう。結局、見る人にとって、どこまで自明か、分かるかのは話だと思います。学校などでは、P(a+bi) と必ず書くのかも知れません。……他の人の回答で、虚数軸とか書かないでも、(a,bi) と書けばよいとありましたが、それもそうで、これは、見る人が分かればそれでよいということの例です。また、上にも書いていますが、分かり易いです)。
 
  複素数平面なのですから、そこでの (a,b) のaは実数、bは虚数というのは前提としてあるからです。(正確に言えば、実数の平面でも、(a,b) というのは、例えば、iヴェクトルとjヴェクトルなどの基底単位ヴェクトルの略表現なのです。しかしそんなことは考えないでしょう。ヴェクトル積などになってくると、三次元の基底単位ヴェクトルi,j,kを使わないとうまく表現できないので使いますが、それでも、三次元座標の点は、(x,y,z) などで表現します。
 
  「ベクトルとつなげるとき」というのが、何かよく分からないのですが、複素平面での原点から延びるヴェクトルというのは、一つの複素数を示しているのです。そのヴェクトルの長さは、実は、その複素数の絶対値になります。複素平面での二つの複素数ヴェクトルの合成というのは、実数部分と虚数部分をそれぞれ独立に合計して、新しい複素数を造っていることになります。
 
  複素数平面というのは、複素数を分かり易く表現しているので、座標平面と同じように扱っていいのです。ただ、ヴェクトルの合成とか回転というのは、「意味」が違って来るということです。複素数平面のヴェクトルは、実際は一つの複素数スカラーで、座標平面のヴェクトルは、スカラーではなく、実際にヴェクトルだということです。意味の違いが分かっていれば、同じように使えます。
 

 
  普通の座標平面だと、(a,b) と書くと、普通、aがx軸、bがy軸です。複素平面でも (a,b) と書くと、bの方が複素数だと思いますが、Y軸に「虚数軸」,X軸に「実数軸」と(または、Yが虚数軸、Xが実数軸などと)でも書いておけば、複素数はこの平面で (a,b) で表現できます。わざわざ、(a,bi)とか、(a+bi) と書く必要はありません(書いても構いません。ただ、複素数平面だと断り、どちらが虚数軸か実数軸かを明示すれば、(a,b) は無論、複素数を表現していることは明らかだからです。……ただ、混同が...続きを読む

Q√1+√2+√3+…+√nの漸近展開

http://en.wikipedia.org/wiki/Euler-Mascheroni_constant
によると
1+1/2+1/3+…+1/n
=γ+log(n)+(1/2n)-Σ[k=2,∞](k-1)!C(k)/n(n+1)…(n+k-1)
という漸近展開があるそうです。漸近展開とは、簡単に言うと、nが十分に大きい場合の近似式です。

http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation
によると
n!
=√(2πn)*(n/e)^n*e^λ(n)
という漸近展開があるそうです。

ところで、
√1+√2+√3+…+√n
などの漸近展開をご存知の方がいらっしゃれば教えてください。

y=√xのグラフとy=√(x+1)のグラフではさまれた面積と考えることで、
√1+√2+√3+…+√n
=(2/3)n√n+…
となることはわかるのですが、
√1+√2+√3+…+√n
=(2/3)n√n+α√n+…
とさらに精密にしたいとき、αがどういった定数になるのかわかりません。

http://en.wikipedia.org/wiki/Euler-Mascheroni_constant
によると
1+1/2+1/3+…+1/n
=γ+log(n)+(1/2n)-Σ[k=2,∞](k-1)!C(k)/n(n+1)…(n+k-1)
という漸近展開があるそうです。漸近展開とは、簡単に言うと、nが十分に大きい場合の近似式です。

http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation
によると
n!
=√(2πn)*(n/e)^n*e^λ(n)
という漸近展開があるそうです。

ところで、
√1+√2+√3+…+√n
などの漸近展開をご存知の方がいらっしゃれば教えてください。

y=√xのグラフとy=√(x+1)のグラ...続きを読む

Aベストアンサー

ちなみに今の場合は定積分からも「α=1/2」が想像できます.
まず
∫[0→1] √x dx = 2/3
の左辺を矩形公式で和に変換すると
(1/n)Σ(k=1→n) √(k/n) = 2/3
となり, 両辺に n^(3/2) を掛けると
√1+√2+√3+…+√n = (2/3)n^(3/2)
になります. ただし矩形公式では区間の幅に比例する誤差があるので, 実際には
(1/n)Σ(k=1→n) √(k/n) = 2/3 + O(1/n)
です (O(1/n) は「1/n に比例する項」というくらいの意味).
ここで, 左辺の積分を今度は台形公式で和に変換すると精度が上がって
(1/n)Σ(k=1→n) (1/2)(√[(k-1)/n]+√(k/n)) = (2/3) + O(1/n^2)
になります. ここで同じように両辺に n^(3/2) を掛けて左辺を整理すると
√1 + √2 + … + √(n-1) + (1/2)√n = (2/3)n^(3/2) + O(n^(-1/2))
となり, 両辺に (1/2)√n を加えることで
√1+√2+√3+…+√n = (2/3)n^(3/2) + (1/2)n^(1/2)
まで持っていけます.
ああ, たぶん a が正なら自然数かどうかに関係なく
Σk^a = [1/(a+1)]n^(a+1) + (1/2)n^a + …
となると思いますよ.

ちなみに今の場合は定積分からも「α=1/2」が想像できます.
まず
∫[0→1] √x dx = 2/3
の左辺を矩形公式で和に変換すると
(1/n)Σ(k=1→n) √(k/n) = 2/3
となり, 両辺に n^(3/2) を掛けると
√1+√2+√3+…+√n = (2/3)n^(3/2)
になります. ただし矩形公式では区間の幅に比例する誤差があるので, 実際には
(1/n)Σ(k=1→n) √(k/n) = 2/3 + O(1/n)
です (O(1/n) は「1/n に比例する項」というくらいの意味).
ここで, 左辺の積分を今度は台形公式で和に変換すると精度が上がって
(1/n)Σ(k=1→n) (1/2)(√[(k-1)/n]+√(k...続きを読む

Q1/(a+√b+√c+√d+√e)の有理化

分母の有理化について考えています。文字はすべて自然数とします。Zは一般の整数とします。

1/(a+√b)
は分母分子にa-√bをかけることで有理化できます。

1/(a+√b+√c)
は分母分子にa+√b-√cをかけると、分母は「Z+Z√b」型となり、以前に帰着します。

1/(a+√b+√c+√d)
は分母分子にa+√b-√c-√dをかけると、分母は「Z+Z√b+Z√cd」型となり、以前に帰着します。

1/(a+√b+√c+√d+√e)
はどのようにすれば有理化できるのでしょうか?
可能でありましたら、より一般の場合も教えていただけるとありがたいです。

Aベストアンサー

解説しているサイトがありました。

http://blog.livedoor.jp/seven_triton/

上記サイト内の √素数の問題 というとこです。

Q√(1+√(1+√(1+√(1+...

数列{a_n}をa_(n+1)=√(1+(a_n)) として、初項1とするとき、lim{n→∞}a_nは収束するかという問題なんですが、a_n<a_(n+1)(単調増加)というのはわかるのですが、有界であることの説明がまったく思いつかず、、、
a_n<b_nといったような数列b_nを考えてきょくげんをとろうかなと思ったんですけど思いつかず、、、
ヒントでもいいのでよろしくお願いします

Aベストアンサー

ちゃんとした証明ではなく概略ですが。

a_(n+1)=√(1+(a_n))
a_(n+1)^2 = 1+(a_n)
a_(n+1)^2 - (a_n) = 1
a_(n+1)^2 - a_(n+1) + a_(n+1) - a_n = 1
今、a_n>1 は明らかだから a_(n+1)^2 - a_(n+1) > 0
単調増加より a_(n+1) - a_n > 0
よって、
a_n^2 - a_n < 1
は明らかだから、上限がある。
単調増加で上限があるため、収束する。


人気Q&Aランキング

おすすめ情報