次の問題が全くわかりません。できるだけ詳しく教えてください。よろしくお願いします。
 次式をそれぞれフーリエ変換し、正確にフーリエスペクトルを描け。

 x(t)=Ae^(-at) (t>=0) , x(t)=0 (t<0)・・・・・・・・・(1)

 x(t)=Ae^(-at)cosbt (t>=0) , x(t)=0 (t<0)・・・・・・(2)

 x(t)=A (c>=t>=0) , x(t)=0 (c<t<0)・・・・・・・・・・(3)

A 回答 (6件)

また間違っていた



X(f)=∫dt・x(t)・e^(-i・2・π・f)とすると

(1):
0<aならば両辺をフーリエ変換すれば
X(f)=A/(a+i・2・π・f)
a=0ならば両辺をフーリエ変換すれば
X(f)=A・(1/(i・2・π・f)+δ(f)/2)
a<0ならばフーリエ変換不能
(2):
0<aならば両辺をフーリエ変換すれば
X(f)=A/2・(1/(a+i・b+i・2・π・f)+1/(a-i・b+i・2・π・f))
a=0ならば両辺をフーリエ変換すれば
X(f)=A/(2・i)・(1/(2・π・f+b)+1/(2・π・f-b))
+A/4・(δ(f-b/(2・π))+δ(f+b/(2・π)))
a<0ならばフーリエ変換不能

(3)x(t)=A (0≦t≦c),x(t)=0 (tが他)の場合:
両辺をフーリエ変換すれば
X(f)=A/(i・2・π・f)・(1-e^(-i・2・π・f・c))

まだ計算違いしているかも
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この回答へのお礼

何度も投稿していただきありがとうございました。nuubouさんの解答を参考に自分なりの答えを導き出す事ができました。これからも御縁があれば、投稿よろしくお願いします。

お礼日時:2002/01/15 22:44

呼ばれたような気がしたstomachmanです。


(3)の式は書き間違いとして、いずれもt<0でx(t)=0となるようですね。だったら、ラプラス変換を使った方が簡単です。
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この回答へのお礼

え~っ、ラプラス変換を使うとは・・・。
実は投稿した問題はレポートの問題だったのですが、もう提出してしまいました。締め切りが近かったもので・・・。
でも、これからの勉強に何らかの役に立つかもしれないのでラプラス変換を用いてもう一度やってみようと思います。
また何か御縁があったら、投稿よろしくお願いします。今回は投稿していただきホントにありがとうございました。

お礼日時:2002/01/15 23:03

a=0のときδ関数の項がいる理由は私の質問に答えられた回答者:stomachman先生の回答が参考になると思います


以下にその質問のリンクを載せます
特に最初の回答が参考になると思います

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=189994
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この回答へのお礼

わざわざ参考になる質問のリンクを教えていただきありがとうございました。ホントかなり参考になりましたよ~。

お礼日時:2002/01/15 22:48

やっぱり間違っていた



X(f)=∫dt・x(t)・e^(-i・2・π・f)とすると

(1):
0<aならば両辺をフーリエ変換すれば
X(f)=A/(a+i・2・π・f)
a=0ならば両辺をフーリエ変換すれば
X(f)=A・(1/(i・2・π・f)+δ(f)/2)
a<0ならばフーリエ変換不能
(2):
0<aならば両辺をフーリエ変換すれば
X(f)=A/2・(1/(a+i・b+i・2・π・f)+1/(a-i・b+i・2・π・f))
a=0ならば両辺をフーリエ変換すれば
X(f)=A/(2・i)・(1/(2・π・f+b)+1/(2・π・f-b))
+A/4・(δ(f-b/(2・π))+δ(f+b/(2・π)))
a<0ならばフーリエ変換不能

(3)x(t)=A (0≦t≦c),x(t)=0 (tが他)の場合:
両辺をフーリエ変換すれば
X(f)=A/(i・2・π・f)・(1-e^(i・2・π・f・c))

まだ計算違いしているかも
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フーリエ変換


\int(from -∞ to ∞) dt x(t)*exp(iωt)
でしょう。

(1)
\int(from 0 to ∞) dt x(t)*exp(iωt)=
\int(from 0 to ∞) dt Aexp(-at+iωt)=
A(a+iω)/(a^2+ω^2)

(2)
\int(from 0 to ∞) dt x(t)*exp(iωt)=
\int(from 0 to ∞) dt A*exp(-at)*((exp(ibt)+exp(-ibt))/2)*exp(iωt)
=1/2*A(a+i(ω+b))/(a^2+(ω+b)^2)+1/2*A(a+i(ω-b))/(a^2+(ω-b)^2)

(3)
\int(from 0 to c) dt x(t)*exp(iωt)=
\int(from 0 to c) dt A*exp(iωt)=
A/ω*(1-exp(iωc))i=
A(sin(ωc)-i(cos(ωc)-1))/ω

計算に自信なし。
スペクトルは、横軸にωをとってかく。
実部と虚部と分けてかく。
スペクトル強度なら、絶対値の2乗をとって実数にする。
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この回答へのお礼

投稿ありがとうございました。ホントに助かりました。スペクトルに関しても絶対値をとって、ωについての関数|X(ω)|に関して増減表を書き、図示する事ができました。

お礼日時:2002/01/15 22:40

X(f)=∫dt・x(t)・e^(-i・2・π・f)とすると



(1):
0<aならば両辺をフーリエ変換すれば
X(f)=A/(a+i・2・π・f)
a=0ならば両辺をフーリエ変換すれば
X(f)=A・δ(f)
a<0ならばフーリエ変換不能
(2):
0<aならば両辺をフーリエ変換すれば
X(f)=A/2・(1/(a+i・b+i・2・π・f)+1/(a-i・b+i・2・π・f))
a=0ならば両辺をフーリエ変換すれば
X(f)=A/2・(δ(f-b/(2・π))+δ(f+b/(2・π)))
a<0ならばフーリエ変換不能

(3)はx(t)=A (0≦t≦c),x(t)=0 (c<t<0)
ということはc<0で0≦cですか?
そういうcは存在しないのでは?

よく間違えるので計算違いしているかも
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Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.

Qx>0,y>0,z>0 で、x^2+y^2+z^2=a^2のとき、

x>0,y>0,z>0 で、x^2+y^2+z^2=a^2のとき、
xy+yz+zxの最大値を求めよ。

コーシーシュワルツの不等式を使うとでるとおもうが、
別解での解答はどうなるのか。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

どういう風にシュワルツを使うのか。。。。。w
そんな仰々しいものを持ち出さなくても、教科書に載ってる不等式(絶対不等式)で用が足りる。



x、y、zは実数から、x^2+y^2+z^2≧xy+yz+zx で終わり。
等号は、x>0,y>0,z>0から、x=y=z=a/√3の時。

Qx+y+z=0,2x^2+2y^2-z^2=0のとき,x=yであることを証明せよ。

クリックありがとうございます(∩´∀`)∩

 ★x+y+z=0,2x^2+2y^2-z^2=0のとき,x=yであることを証明せよ。

この問題について説明をお願いします。

Aベストアンサー

おおざっぱな説明になりますが、左の式を
z=-x-y
として、それを右の式のzに代入します。
それを展開してまとめると
x^2-2xy+y^2=0
という式になります。
あとはこれを因数分解すれば
(x-y)^2=0
となるので、x=yという答えがでます。
与えられた条件がほかになければこれでいいはずです。

Qx,y,z>0 実数で、x^3+xy^2+yz^2>=kxyz が成り

x,y,z>0 実数で、x^3+xy^2+yz^2>=kxyz が成り立つとき
kの値の取り得る範囲を求めよ。

つぎのように考えましたが、添削をお願いします。
両辺をxyzで割ると
(x/y)*(x/z)+y/z+z/x>=k ...(1)
y/x=s,z/y=t,x/z=rとおくと
str=1, (1)は、1/(s^2*t)+1/t+st>=k
左辺=aと置いて、分母をはらい、tについての方程式とみると
s^3*t^2-a*s^2*t+1+s^2=0
これが、実数解をもつから、軸>0より
判別式>=0を計算すると
a^2>=4(1+s^2)/s これより、
a^2>=6,よって、√6<=a
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

軸>0 という条件が、t>0 であるという解の分離に効いている
ことを示すためには、とても舌足らずで問題もあるけれど、
質問文の書き方がまだしも better かと思います。
No.3 のように書いてしまうと、解がある⇔判別式と短絡した
ように受け取られてしまう可能性があるし、
軸>0 の使い道が、k^2≧8 から k≧2√2 を計算するため
だったと誤解される可能性も大きい。
それでは、二次方程式が t>0 の範囲に解を持つという条件を
正しく処理したことになりません。
解ってはいるんだろうけれど、論理の進め方が見えるように
書かないと。

(1),(2) から k≧2√2 と進めた…という指摘については、
質問文の解法では、(1)∧(2) ⇒ k≧2√2 としているのではなく、
(∀s,(1))∧(2) ⇔ k≧2√2 としているのだという
論理の流れが見えていれば、いやな気分にならずに済みます。
その為には、(2) の等号を成立させる s が存在すること
が重要なので、No.2 の末行にある通りですね。

相加相乗平均の使用については、使うと労力が省けますが、
それが本質的な部分ではありません。
a^2 ≧ 4(1+s^2)/s を満たす s が在るように a の範囲を決める
という本筋が見えていれば、4(1+s^2)/s の値域を求めればよい
ことが解るはずです。
そのためには、d(a^2)/ds を計算して増減表を書くのも一法です。

軸>0 という条件が、t>0 であるという解の分離に効いている
ことを示すためには、とても舌足らずで問題もあるけれど、
質問文の書き方がまだしも better かと思います。
No.3 のように書いてしまうと、解がある⇔判別式と短絡した
ように受け取られてしまう可能性があるし、
軸>0 の使い道が、k^2≧8 から k≧2√2 を計算するため
だったと誤解される可能性も大きい。
それでは、二次方程式が t>0 の範囲に解を持つという条件を
正しく処理したことになりません。
解ってはいるんだろうけれど、論理の進め方が見えるよ...続きを読む

Q(x^2)'=2x, (x^1)'=1, (1)'=0, (x^-1)'=-x^-2 そして ∫x^-1 dx = ln|x| + C

(x^2)' = 2x^1 ⇔ ∫2x dx = x^2 + C
(x^1)' = 1 ⇔ ∫1 dx = x + C
※ ln(x)' = x^-1 ⇔ ∫x^-1 dx = ln|x| + C
(x^-1)' = -x^-2 ⇔ ∫-x^-2 dx = x^-1 + C
(x^-2)' = -2x^-3 ⇔ ∫-2x^-3 dx = x^-2 + C
ですが、

なぜ、※のところだけイレギュラーにになるのでしょう?

はるか昔、高校のときに導出方法は習いましたが、
イメージとしては、どう捉えればよいでしょう?

証明等は無くても構いませんので、
直感に訴える説明、あるいは、逆に高度な数学での説明などができる方いらっしゃいましたら、お願いします。

(もしかしたら、高度な数学では、イレギュラーに見えなくなったりしますか?)

Aベストアンサー

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = ln|x| + C …(2)
のかわりに、
∫0dx = ∫0x^{-1}dx = 0 + C' = x^0 + C
があると思えば、イレギュラーではなくなります。
(2)は、
∫nx^{n-1}dx=x^n+C …(3)
のリストに元々登場していないと解釈するわけです。

また、(3)の両辺をnで割って、
∫x^{n-1}dx = (1/n)x^n + C …(4)
のリストとして考えると、右辺のほうに1/nがあるので、そのリストからは最初からn=0は除外して考えなければなりません。

たまたま、∫x^{-1}dx = ln|x| + C となるので、はまりそうに見えますが、もともと除外していたところに、後から違う種類のものを持ってきてはめ込んだだけと解釈すれば、そこがイレギュラーになるのは不思議ともいえなくなってきます。

また、(4)のリストの立場で考えると、(分母にnがあるので)n=0を除外しなければならないけど、一方、積分∫x^{-1}dxというものは厳然として存在しているので、その隙間に、べき関数とは全く違う関数 ln|x|+C が入ってきているという言い方もできます。これは、べき関数だけでは一覧表が完成しないところに、logでもって完成させているということにもなります。つまりlogという関数は、べき関数のリストの「隙間」に入ってきて、「完成させる」というイメージです。

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = l...続きを読む


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