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二つの整式8abcと12acdの最大公倍数と最小公倍数はそれぞれ4acと24abcdではないのでしょうか?問題集の解答欄には文字だけで4とか24の数字(係数)が付いてないのですが、どうしてでしょうか?教えてください。

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A 回答 (7件)

tonarino-mooさんの解答と問題集の解答


のどちらも正解です。
整式の倍数・約数を考えるにあたっては,
0でない定数倍を同一視して考えるからです。
どちらでもいいということになると,
係数を1にしておく方が標準的というだけです。

混乱の原因は,前提となる基礎の部分を考慮しなか
った点にあると思います。整式の倍数・約数・整除は
どのように定めたかといえば,「整数と同じように」定
めたはずです。そして,その基礎にあるのは

任意の整式A,B≠0に対して
   A = BQ+R,(Rの次数)<(Bの次数)
を満たす整式Q,Rが(一意に)存在する

という定理でした。この定理が成り立つ前提がないと,
「整数と同じように」は定義できないわけです。

そこで問題となるのは,「係数を(除法について閉じて
いない)整数に限定すると,整除(割り算)ができない
A,Bの組合せが出てきてしまう」という点です。また,
ひと通りに定まらないという点も不都合です。

そこで,整式を「整数と同じように」と言い出した瞬間
から,「係数は有理数または実数(のように加減乗除
について閉じた世界)で考え,0でない定数倍は同一
視する」という前提で考えたのでした。
これは,整数の世界では±1以外に(整数の中では)
逆数は存在しませんが,有理数や実数の世界では
0以外は自身の中に逆数をもつので,倍数・約数の
概念がなくなってしまうことを意味します。
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この回答へのお礼

教えてくださってありがとうございました。

お礼日時:2006/02/24 22:20

No.4,6,7,8 さんのご指摘のとおりでよいかと思います.



例えば,2つの整式 8abc と (12/5)acd を考えると,
これらの整式の最大公約数は,いくつでしょうか?

変数部分の最大公約数は,もちろん ac でしょう.
では,定数(係数)部分の最大公約数? は???

それはもちろん,整数8 と分数(12/5) の公約数なんて考えられませんから,
定数部分の最大公約数はありません.

ですから,こうした場合,2つの整式の最大公約数は ac である,
ということだと思います.

こうしたことが,整式について一般的に言えることです.

しかし,「元々のご質問」にあるように,たまたま係数が整数同士(例えば,8 と 12)
の場合は,
その定数部分まで考えての最大公約数を考えることもできる,(例えば,4ac のように)
といったことなのではないでしょうか?
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この回答へのお礼

回答いただいてありがとうございました。

お礼日時:2006/02/24 22:24

>問題集の解答欄には文字だけで4とか24の数字(係数)が付いてないのですが、どうしてでしょうか?



ということですが、どちらでも正解です。係数をつける必要はありません。
高校では、たぶん詳しくは説明されなかったかと思いますが、整数(有理整数)と整式の類似点と違いをはっきりさせたほうが、今後の勉強のためには良いと思います。
整数の割り算の性質は、任意の整数a,bに対して
a=qb+r (0<=r<=b)
となる整数q,rが一意に存在します。
整式についても、任意の整式F,Gに対して
F=QG+R (0<=deg(R)<=deg(G)) (degは次数)
となる整式Q,Rが一意に存在します。
したがって、整数の世界の素数には、整式の世界での規約多項式が対応します。整数の1(御存知のように、これは素数ではありませんね)には、次数0の整式つまり、定数が対応するのです。ですから、例えば、3x+6を因数分解するのに3(x+2)としたのでは、因数分解したことになりません。3x+6はすでに規約な整式です。このばあい3は整数の世界で言えば1に相当するものだからです。
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この回答へのお礼

答えてくださってありがとうございました。

お礼日時:2006/02/24 22:17

No1です。


 私の持っている問題集(かなり前のですが)にありました。
 「整式の最大公約数・最小公倍数については、一般に数因数は無視して
  考えるが、整数係数の整式では数因数を考慮してもよい」
 ということでした。
 この「一般には・・・」ということなのでしょう。

 「因数は最大限出せ」(とならった)とばかり思い込んでいました。
 問題集の解答が一般的ということなのですかね。
 
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この回答へのお礼

早速にお手元の問題集を出して回答して下さって、ありがとうございました!

お礼日時:2006/02/21 11:58

整数の場合の(素)因数分解や最大公約数,最小公倍数の場合と違って,


整式の場合は,係数(定数)部分は無視して考えるのが正式,と聞いたことがあります.

例えば,
6x-18 = 3(2x-6) と変形したのでは、因数分解になっていない!?
というようなことなのです.

すると,ご質問の問題の解答は,
最大公約数は ac ,最小公倍数は abcd 
となります.

ではなぜ,定数部分は無視するかというと,
例えば方程式で考えると,2つの方程式
2x-6 = 0 と 3(2x-6) = 0
の解は互いに同じなので,
そういう意味で,2つの整式
2x-6 と 3(2x-6)
は「同じ」整式(因数としては同じものしか持たない,定数は因数ではない)
という訳です.

ですから,ご質問のケースで言うと,例えば
答の最大公約数は,ac,2ac,3ac,・・・など,どれもみな同じ,という感じなのです.

そこで,答としては最も簡素な ac を書く,
ということなのではないでしょうか?
違っているかもしれませんが・・・

それでも,分数式の通分などでは,定数部分も考えて通分するのが普通ですから,
(1) 元々の問題は,どういう類の問題なのでしょうか?
  例えば,中学や高校の数学の問題なのか,それとも・・・
(2) 他にも似たような問題が載っていませんか?
  その答えも,同じような解答になっていますか?

以上,不確かな「回答」でかえって混乱させたかもしれませんね!?
すみません!!
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この回答へのお礼

回答くださってありがとうございます。

お礼日時:2006/02/24 22:22

それだけでは解けません。


ほかに条件はありませんでしたか?
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>それぞれ4acと24abcdではないのでしょうか?



 これで正解です。問題集の解答が間違えかな?

問題は「整式8abcと12acdの最大公約数と最小公倍数を求めよ」
でいいんですよね?
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