「全ての放物線は相似である」ということの証明方法が知りたいのです。
どうぞよろしくお願いします。

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A 回答 (7件)

No.7の回答を書いた者です。



下から2行目、以下の記述は削除して下さい。

「(テーラー展開項が一つだけ)」

非整数や負数べき乗は、テーラー展開に馴染みませんね。
(本題からはずれた話なので、そっとしておくべきかとも思いましたが、やはり気になって、、、)
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数学苦手のhagiwara_mです。

皆さんのお答えを拝見していて気づいたことがありますので、付け足しを少々、、

2次関数に限らず、曲線 y=ax^n は、スケールを a^(-1/(n-1))倍にしてやれば、すなわち、X=a^(1/(n-1))x, Y=a^(1/(n-1))y の変数変換をすれば、全て一つの曲線 Y=X^n に重なってしまいます。

このような単項冪関数(テーラー展開項が一つだけ)を、同次関数といい、相転移のスケーリング則の話などによく出てきます。また、物理量の次元の定義との関連においても重要な意味を持っています。
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ちょっと訂正。



>これをa倍に拡大すると(at,(at)^2)となる。
>これはy=x^2を満たす。
>よってy=ax^2はa倍に拡大することでy=x^2と一致する。

ここはちょっと抜けてるところがあってy=x^2上の全ての点が
(at,(at)^2)の形で書けることも言わないと一致するとは言えないんだけども、
まあ、明きらかってことで許してください(^^;
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拡大、縮小という操作をきっちり定義してからやってみました。



ある図形上の全ての点(x,y)を(tx,ty)に写像した図形を,
元の図形をt倍に拡大した図形と定義する。

で、あとはだいたいtiezo-さんと同じですが

放物線y=ax^2とy=x^2が相似であることを示す。
y=ax^2上の点はパラメータをつかって(t,at^2)と表せられる。
これをa倍に拡大すると(at,(at)^2)となる。
これはy=x^2を満たす。
よってy=ax^2はa倍に拡大することでy=x^2と一致する。
すなわちy=ax^2とy=x^2は相似である。

てな感じです。
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すべての放物線は、y=x^2と相似であること を示します



任意の放物線を y=ax^2+bx+c とします
この放物線を平行移動すると 原点が頂点の放物線 y=ax^2 になります
ここで この放物線を1/a倍すると すなわち yをy/a xをx/aとすると
y/a=a(x/a)^2 より y=x^2 となります
したがって すべての放物線は、平行移動と1/a倍で y=x^2に一致するので
   すべての放物線は、相似である

これで どうでしょうか? 
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回転と平行移動は相似かどうかに関係ありませんから,


y = ax^2 (a>0)という放物線に話を限って大丈夫です.
a が小さいほど放物線の開き具合が大きい(平たく見える)のですが,
それは軸のスケールを変えてみてやると,実は相似になっています.
y= ax^2 と y= bx^2 で(a,b>0),後者の方の座標を
x = cX,y = cY,
として,スケールを変えてみます.
共通の c でスケールを変えているところに注意してください.
これを y = bx^2 に代入整理すると Y = (bc)X^2 になります.
すなわち,a = bc となるような c でスケールを変えてやれば,
2つの放物線は全く同じに見えるということです.
つまり,y= ax^2 と y= bx^2 の2つの放物線は相似です.
a,b はどんな値でも上の議論は成立しますから,
すべての放物線は相似であると言えます.
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放物線の頂点と軸がそれぞれ原点とy軸に一致に移動して、


y=ax^2, y=bx^2とy=cxを引いて、交点を求めてください。
そうすれば、任意のcに対して、頂点からの距離が一定であることがわかるはずです。
所謂、頂点を「相似の中心」として「相似の位置にある」という考えに基づくわけです。
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C1の式に代入して
4p-Y=(2p-X)^2-4(2p-X)-1

Yについて整理
Y=-X^2+4(p-1)X-4p^2+12p+1

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y=-x^2 +4(p-1)x-4p^2+12p+1
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 補助線2・・・・・軸
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正方形の一辺の長さは、x=ax^nより、x=(1/a)^(1/(n-1))
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ただし、以下ではマイナスも含めて表せるので、絶対値は省略します。
次にDを通り軸に平行な補助線を引き、曲線との交点をEとします。
DEの長さ=k^n*(1/a)^{1/(n-1)}
ここで、三角形ODEに目をつけると、
(ODの長さ)/(OEの長さ)=k^(n-1)となり、
aに関係なく、k、nだけで辺の長さの比が決まります。
三角形OEDは、直角三角形ですから、四角形OABCを基準として、k、んを決めると、aの値に関わらず、点Eは確定されます。
つまり、n=2である放物線は、aの値に関らず、四角形OABCが一致する様に、拡大、縮小して重ねると,すべての放物線はピッタリ重なる事が言えます。
   証明終わり
::nは偶数だけでなく、奇数でも成立します。
::四角形OABCを基準にする事は一般性を欠きません。

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良いと言うことです。
y=x^2上の点(x0,y0)は(x0,x0^2)
でそれをk倍した点(kx0,ky0)は(kx0,kx0^2)
ここで、k=1/aとすると
(kx0,kx0^2)は(x0/a,x0^2/a)ですが
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つまり、
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既に、#3で述べた様に全ての放物線は、
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Aベストアンサー

特に問題は有りません。スイッチに例えるとBとDの様なものです。
例えば単相三線引きの場合100VであればRNT(赤白黒)赤白または黒白で100Vの電源を取りますが、200Vの場合赤黒で電源を取りますので2P1Eでは無く両側を切断する為2P2Eを使用します。

B 片切スイッチ D 両切スイッチ 赤白黒(赤、黒ライン、電源側。白ニュートラル、接地極側)

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Aベストアンサー

△ABFと△DHFにおいて、
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∠AFB=∠DFH …… (2)
(1)(2)より、△ABF∽△DHF …… (3)

一方、△DHFと△CGHにおいて、
∠FDH=∠GCH …… (4)
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(4)(5)より、△DHF∽△CGH …… (6)

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(2p+3q-1)(2p-3q-1)の計算方法において、質問です。

この場合解答には
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Aベストアンサー

後ろの括弧の中を考えると、このように変形できますね。したがって後ろの括弧には3q-1が出てこないのです。
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納得いかないのであればこう考えても良いでしょう。
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あくまでも存在しているのは-3q-1であって3q-1ではありません。

結局正しい計算は
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ここで2p-1=Aとおいて
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Qあらゆる円は互いに相似であることは証明が必要なことですか

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Aベストアンサー

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そうです。確かに、どんな放物線も互いに相似ですが、このことはどのように証明しましたか。2つの図形が相似であることの定義は何でしょうか。

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放物線はこのような性質を満たしますね。だから、あらゆる放物線は互いに相似になるのです。

>相似であることは円の定義から自明ということでしょうか

相似であることは直感的に明かですし、経験の浅い幼児でも、「どんな円も形が同じだ」ということは理解できます。しかし、2つの円が相似かどうかは、相似の定義に照らし合わせて、その定義が当てはまるかどうかの確認をする必要があります。それが、「証明」と言うことですね。

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Aベストアンサー

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mp2→音声ファイル(MPEG-1 Audio Layer-2)
です。

参考URL:http://www.sfc.keio.ac.jp/cns-guide/2003/1/7/1.html

Q放物線の相似比?について

xy平面上に二つの曲線C1;y=x{2}、C2;y=2x{2}-4x+3がある。
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(一対一対応の演習、数II、p153)

解答
直線P1P2;y=(2P2{2}-4P2+3-P1{2})(x-p2)/(p2-p1)+2p2{2}-4p2+3
この直線の式のxに2を代入すると、p1=2p2-2とから
…(以下省略)

このx=2を代入の説明は「相似比(2次の係数の逆比)C1;c2は2;1であることと頂点に着目して、相似の中心が(2,2)であることから」
と書いてありますが全くわかりません。
放物線の相似比とはどういうことなのでしょうか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

 次のサイトの記述を参考にされてはいかがでしょうか。
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/parabola/parabola2.htm

 放物線の相似性とは、放物線は、拡大縮小すれば、すべて一致するということです。
 放物線の相似比は、その拡大率を表しています。


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