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「全ての放物線は相似である」ということの証明方法が知りたいのです。
どうぞよろしくお願いします。

A 回答 (7件)

No.7の回答を書いた者です。



下から2行目、以下の記述は削除して下さい。

「(テーラー展開項が一つだけ)」

非整数や負数べき乗は、テーラー展開に馴染みませんね。
(本題からはずれた話なので、そっとしておくべきかとも思いましたが、やはり気になって、、、)
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数学苦手のhagiwara_mです。

皆さんのお答えを拝見していて気づいたことがありますので、付け足しを少々、、

2次関数に限らず、曲線 y=ax^n は、スケールを a^(-1/(n-1))倍にしてやれば、すなわち、X=a^(1/(n-1))x, Y=a^(1/(n-1))y の変数変換をすれば、全て一つの曲線 Y=X^n に重なってしまいます。

このような単項冪関数(テーラー展開項が一つだけ)を、同次関数といい、相転移のスケーリング則の話などによく出てきます。また、物理量の次元の定義との関連においても重要な意味を持っています。
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ちょっと訂正。



>これをa倍に拡大すると(at,(at)^2)となる。
>これはy=x^2を満たす。
>よってy=ax^2はa倍に拡大することでy=x^2と一致する。

ここはちょっと抜けてるところがあってy=x^2上の全ての点が
(at,(at)^2)の形で書けることも言わないと一致するとは言えないんだけども、
まあ、明きらかってことで許してください(^^;
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拡大、縮小という操作をきっちり定義してからやってみました。



ある図形上の全ての点(x,y)を(tx,ty)に写像した図形を,
元の図形をt倍に拡大した図形と定義する。

で、あとはだいたいtiezo-さんと同じですが

放物線y=ax^2とy=x^2が相似であることを示す。
y=ax^2上の点はパラメータをつかって(t,at^2)と表せられる。
これをa倍に拡大すると(at,(at)^2)となる。
これはy=x^2を満たす。
よってy=ax^2はa倍に拡大することでy=x^2と一致する。
すなわちy=ax^2とy=x^2は相似である。

てな感じです。
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すべての放物線は、y=x^2と相似であること を示します



任意の放物線を y=ax^2+bx+c とします
この放物線を平行移動すると 原点が頂点の放物線 y=ax^2 になります
ここで この放物線を1/a倍すると すなわち yをy/a xをx/aとすると
y/a=a(x/a)^2 より y=x^2 となります
したがって すべての放物線は、平行移動と1/a倍で y=x^2に一致するので
   すべての放物線は、相似である

これで どうでしょうか? 
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回転と平行移動は相似かどうかに関係ありませんから,


y = ax^2 (a>0)という放物線に話を限って大丈夫です.
a が小さいほど放物線の開き具合が大きい(平たく見える)のですが,
それは軸のスケールを変えてみてやると,実は相似になっています.
y= ax^2 と y= bx^2 で(a,b>0),後者の方の座標を
x = cX,y = cY,
として,スケールを変えてみます.
共通の c でスケールを変えているところに注意してください.
これを y = bx^2 に代入整理すると Y = (bc)X^2 になります.
すなわち,a = bc となるような c でスケールを変えてやれば,
2つの放物線は全く同じに見えるということです.
つまり,y= ax^2 と y= bx^2 の2つの放物線は相似です.
a,b はどんな値でも上の議論は成立しますから,
すべての放物線は相似であると言えます.
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放物線の頂点と軸がそれぞれ原点とy軸に一致に移動して、


y=ax^2, y=bx^2とy=cxを引いて、交点を求めてください。
そうすれば、任意のcに対して、頂点からの距離が一定であることがわかるはずです。
所謂、頂点を「相似の中心」として「相似の位置にある」という考えに基づくわけです。
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