どうしても分からない問題がありますのでよろしくお願いします。
もちろんどちらか片方でも構いませんので、よろしくお願いします。

行列Aがあって、Aの成分は第一行が[3/4,√6/4,1/4]第二行が[-√6/4,1/2,√6/4]第三行が[1/4,-√6/4,3/4]である。


1、Aの固有値1に対する固有空間Wの大きさ1のベクトルからなる基底を求めよ。

2、三次元ベクトル空間におけるWの直交補空間Vの正規直交基底{v1,v2}を求めよ。

A 回答 (1件)

1.


固有値1に属する固有ベクトルをt(x,y,z)とすると
(tは転置を表す)
 At(x,y,z)=t(x,y,z)
両辺の成分を比較して
 3/4x+√6/4y+1/4z=x
 -√6/4x+1/2y+√6/4z=y                             1/4x-√6/4y+3/4z=z
これを解いて(最後の式は余分)
y=0,z=xより
t(x,y,z)=t(x,0,x)
大きさ1より
t(√2/2,0,√2/2)
2.
Wの直交補空間Vに属するベクトルをt(u,v,w)とすると
t(√2/2,0,√2/2)と直交するから,内積=0より
 w=-u
よってt(u,v,w)=t(u,v,-u)
         =ut(1,0,-1)+vt(0,1,0)
基底はt(1,0,-1)とt(0,1,0) 大きさを1にして
v1=t(√2/2,0,-√2/2)
v2=t(0,1,0)
v1,v2は直交するので答えです 
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Q直交表の割付について

直交表の割付について教えてください。

当方、コンジョイント分析で活用する予定です。
通常直交表は2水準型、3水準型、混合型とありますが、例えば、L8直交表においては項目が8つあり、実験数も8あります。

通常であれば、8つの項目を用意して、2水準を当てはめて質問表を作りますが、5項目しか使用しない場合、書籍などでは5項目だけでもOKと書いてありますが、どの項目を使うのかは記されていませんでした。

そこで、

(1)そもそも直交表においては項目数に満たない場合でも問題ないのか?(L12であれば、11項目あるが、10以下でもよいのか)

(2)(1)の要件を満たす場合、どの項目に当てはめてもよいのか?(当てはめる決まりはあるのか?例えば、左からその項目数だけ埋めていくなど)

以上(1)(2)について教えていただけると助かります。
よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

まず、
>L8直交表においては項目が8つあり、実験数も8あります。
項目は7つですよね?

(1)問題ありません。というか全て埋めてはいけません。最低でも一項目残っていないと誤差が計算できません。L8は割り付けられていないところでのデータのゆれを誤差として計算して、その大きさと要因によるデータ変化の大きさを比較して有意を判定します。

(2)割り付け水準の所に成分あるいは要素と書いたアルファベットが付記されていないでしょうか?
通常、a,b,ab,c,ac,bc,abcなどと書いてあります。
これの見方は記号の足し算(あるいは引き算)です。
例えばa,bに項目を割り付けると交互作用がabに現れますのでここを避けて例えばcに割り付けます。
aとacに割り付けたらcはその相互作用がでますので避けます。
a+b→ab(記号の足し算)
a+ac→c(同じ記号があれば引き算)
交互作用が明らかに無いと分かっているときは避けなくてもいいですが、わざわざそこに割り付ける必要も無いでしょうからそこだけは避けて後は自由に割り付けてください。

まず、
>L8直交表においては項目が8つあり、実験数も8あります。
項目は7つですよね?

(1)問題ありません。というか全て埋めてはいけません。最低でも一項目残っていないと誤差が計算できません。L8は割り付けられていないところでのデータのゆれを誤差として計算して、その大きさと要因によるデータ変化の大きさを比較して有意を判定します。

(2)割り付け水準の所に成分あるいは要素と書いたアルファベットが付記されていないでしょうか?
通常、a,b,ab,c,ac,bc,abcなどと書いてあります。
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Qan=Σ[k=1->n](1/√k),bn=Σ[k=1->n](1/√

an=Σ[k=1->n](1/√k),bn=Σ[k=1->n](1/√(2k+1))のとき、
lim[n->∞](bn/an)を求めよ。


次のように考えましたが、行き詰まりました。
  1/√2Σ[k=1->n](1/n)*[1/√{(k+1)/n}]÷ Σ[k=1->n](1/n)*{1/√(k/n)} <(bn/an)<1/√2
左辺の式で、区分求積法から、lim[n->∞]としたとき、分母は2となったのですか。
分子に区分求積法が使える形でないと判断し、行き詰まりました。
1つはこの流れの解法でいいのか。もし、よかったら、このあとの処理はどうなるのか。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

定積分を利用する方法があります。

anを、定積分∫[1,n+1]dx/√x, ∫[0,n]dx/√x で、
bnを、定積分∫[1,n+1]dx/(2x+1), ∫[0,n]dx/(2x+1) で押さえ、

A≦an≦B
C≦bn≦D

とし、A/D≦an/bn≦B/C
これで、n→∞ とすればいい。

Qフローリング貼りの割付についてです

素人です、リフォームで洋間のフロアを施工しようとしています。この前玄関床のときは問題なかったのですが、今回はリビングの施工です。部屋の寸法は364センチ×367センチです、材料は長さ182センチ、幅9センチの無垢材です。当初短手の方向に張る予定で、ちょうど良いと思っていましたが、よく調べると根太が短手の方向にはいっておりフロアを短手に張ると根太と平行になってしまいます。根太と直交させる貼り方ですと3センチ材がたりません。なお施工方法は既存の合板床の上に重ね貼りです。この場合どのような割付がベストなのでしょうか?

Aベストアンサー

見習い大工のマサルです
フローリング(フロア)施工ということですが、
基本的な事ですが、長辺方向でも短辺方向でも基本的には同じ量の
フロアを使います。長辺方向で施工の際足りないなら短辺で施工しても
足りません。
フロアは幅3寸(900mm)で実(さね:オスとメス)付きですよね?
長さが6尺(1820mm)。
貼り方としては、長辺が3670mm(12尺1寸1分)ですので
フロアの長さが1寸1分(33mm)足りませんのでそういう場合は
プロだと左右は均等にするので半端な貼り始めにして小さな
フロアを貼らない様にするのですが、今回の場合はどうやっても
半端が入ってしまうので、16mm以上の巾木を使うのが無難です。
巾木には胴縁(どうぶち)の無節(節のないものを探して購入
節無しで注文すると高くなる為)ホームセンターで探すと
幾らか難しいですがあると思います。(ホームセンターは安いが
質が悪いというか節の多いものが中心の様ですし)
市販のいわゆる巾木でも5分(15mm)は記憶にありますが6分(18mm)が
あったかどうかが分かりません・・・。(普通そんなに厚い巾木は
使わないので、普通は2分5厘(7.5mm)か3分(9mm)ですので)
貼り方ですが、張り出しが小さいのでそれを貼るか、巾木で隠す
考えで、貼らないかに寄りますが、貼らない方法で説明します。
まずフロアとは、互い違いに貼ります。
まず長手1列目はマモノ張り出しです。その際フロアの短辺側を
16mm壁から離して貼っていきます。そうすると1列目の2枚目(最後)も
同じ位の隙間があいて左右対称になると思います。
次に2列目ですが、次は1列目のフロアの真ん中(3尺)
までを1枚張ります。(フロアを長手真ん中から切って
3尺(910mm)を貼る)こういう感じでジョイントをずらして
貼って行きます。
右からでも左からでも良いですので、様は
1列目は、6尺を貼り始めにして、
2列目は、3尺を貼り始めにします。
これを繰り返していって貼っていきます。
貼っていく距離の方(短辺)が12尺(3640mm)ですので、
マモノ貼りだしでちょうどの予定です。
こんな感じでご理解頂ければ幸いです

見習い大工のマサルです
フローリング(フロア)施工ということですが、
基本的な事ですが、長辺方向でも短辺方向でも基本的には同じ量の
フロアを使います。長辺方向で施工の際足りないなら短辺で施工しても
足りません。
フロアは幅3寸(900mm)で実(さね:オスとメス)付きですよね?
長さが6尺(1820mm)。
貼り方としては、長辺が3670mm(12尺1寸1分)ですので
フロアの長さが1寸1分(33mm)足りませんのでそういう場合は
プロだと左右は均等にするので半端な貼り始めにして小さな
フロアを貼らない様...続きを読む

Q何故,[g]=[Ψ]1[f][Φ]^-1ではなく[g]=[Ψ]^-1[f][Φ]なの?

[v_1,v_2,…,v_n],[v'_1,v'_2,…,v'_n]を線形空間Vの基底とする。
[w_1,w_2,…,w_m],[w'_1,w'_2,…,w'_m]を線形空間Wの基底とする。

それで図のように

fを基底[v_1,v_2,…,v_n]から基底[w_1,w_2,…,w_m]での線形写像。
gを基底[v'_1,v'_2,…,v'_n]から基底[w'_1,w'_2,…,w'_m]での線形写像。
そしてΦを[v_1,v_2,…,v_n]から[v'_1,v'_2,…,v'_n]への基底変換の写像。
Ψを[w_1,w_2,…,w_m]から[w'_1,w'_2,…,w'_m]への基底変換の写像とすると
gの表現行列を[g]と表す事にすれば
[v'_1,v'_2,…,v'_n]→[v_1,v_2,…,v_n]→[w_1,w_2,…,w_m]→[w'_1,w'_2,…,w'_m]と写されるので
[v'_1,v'_2,…,v'_n]→[v_1,v_2,…,v_n]はΦ^-1,
[v_1,v_2,…,v_n]→[w_1,w_2,…,w_m]はf,
[w_1,w_2,…,w_m]→[w'_1,w'_2,…,w'_m]はΨで
結局[g]=[Ψ][f][Φ]^-1となると思ったのですがなぜか本には
[g]=[Ψ]^-1[f][Φ]となっています。何処を勘違いしたのでしょうか?

[v_1,v_2,…,v_n],[v'_1,v'_2,…,v'_n]を線形空間Vの基底とする。
[w_1,w_2,…,w_m],[w'_1,w'_2,…,w'_m]を線形空間Wの基底とする。

それで図のように

fを基底[v_1,v_2,…,v_n]から基底[w_1,w_2,…,w_m]での線形写像。
gを基底[v'_1,v'_2,…,v'_n]から基底[w'_1,w'_2,…,w'_m]での線形写像。
そしてΦを[v_1,v_2,…,v_n]から[v'_1,v'_2,…,v'_n]への基底変換の写像。
Ψを[w_1,w_2,…,w_m]から[w'_1,w'_2,…,w'_m]への基底変換の写像とすると
gの表現行列を[g]と表す事にすれば
[v'_1,v'_2,…,v'_n]→[v_1,v_2,…,v_n]→...続きを読む

Aベストアンサー

記号を整理しておく。

線形写像T: V→Wを、Vの基底[v1,...,vn]とWの基底[w1,...,wn]で表現した行列を[f]、
同じ線形写像Tを、Vの基底[v'1,...,v'n]とWの基底[w'1,...,w'n]で表現した行列を[g]で表す。
[v1,...,vn]から[v'1,...,v'n]への基底変換の行列を[Φ]とする。
(v'1,...,v'n)=(v1,...,vn)[Φ]

[w1,...,wn]から[w'1,...,w'n]への基底変換の行列を[Ψ]とする。
(w'1,...,w'n)=(w1,...,wn)[Ψ]

Vの元を基底[v1,...,vn]で表現したものを[x]、
同じ元を基底[v1,...,vn]で表現したものを[x']で表すと、(回答#2より)
[x]=[Φ][x']

同様に、Wの元を基底[w1,...,wn]で表現したものを[y]、
同じ元を基底[w1,...,wn]で表現したものを[y']で表すと、
[y]=[Ψ][y']

線形写像Tを基底[v1,...,vn]と基底[w1,...,wn]で表すと、
[y]=[f][x]
同じ線形写像Tを基底[v'1,...,v'n]と基底[w'1,...,w'n]で表すと、
[y']=[g][x']

これらの関係から、
[y']=[Ψ^-1]*[y]=[Ψ^-1]*[f][x]=[Ψ^-1][f][Φ][x']
となり、これを[y']=[g][x']と見比べると、
[g]=[Ψ^-1][f][Φ]
となっていることがわかる。

最初の質問にあった、
>[v'_1,v'_2,…,v'_n]→[v_1,v_2,…,v_n]→[w_1,w_2,…,w_m]→[w'_1,w'_2,…,w'_m]と写されるので
の対応はベクトル間の対応であって、だからこそ、その係数(=成分)の対応はこれとちょうど逆の変換を受けるのである。このことは、
[v][x]=[v'][Φ^-1]*[Φ][x']
[w][y]=[w'][Ψ^-1]*[Ψ][y']
と表してみてもわかる。ベクトルの成分[x']は行列[Φ]によって[x]にうつり、同じく成分[y']は行列[Ψ]によって[y]にうつっている。だから、同一の線形写像が
f:[x]→[y]
g:[x']→[y']
と表現されているなら、[Ψ][g][x']=[f][Φ][x']となっていて、いいかえると、
[x']→[y']の対応は、[x']→[x]→[y]→[y']という対応をたどったときも、一致していなくてはならない。だから、成分で考えたとき、[g]は、[Φ]→[f]→[Ψ^-1]と同一になるのである。つまり[g]=[Ψ^-1][f][Φ]。

あなたのいう[Φ^-1]→[f]→[Ψ]は、基底ベクトルの対応関係であって、成分表示と混同してはいけない。

記号を整理しておく。

線形写像T: V→Wを、Vの基底[v1,...,vn]とWの基底[w1,...,wn]で表現した行列を[f]、
同じ線形写像Tを、Vの基底[v'1,...,v'n]とWの基底[w'1,...,w'n]で表現した行列を[g]で表す。
[v1,...,vn]から[v'1,...,v'n]への基底変換の行列を[Φ]とする。
(v'1,...,v'n)=(v1,...,vn)[Φ]

[w1,...,wn]から[w'1,...,w'n]への基底変換の行列を[Ψ]とする。
(w'1,...,w'n)=(w1,...,wn)[Ψ]

Vの元を基底[v1,...,vn]で表現したものを[x]、
同じ元を基底[v1,...,vn]で表現したものを[x']で表すと、(...続きを読む

Qリトルエンディアンの1byteデータのビット割付

リトルエンディアン方式と聞くと2byteデータだったら上位下位が逆転して
メモリに割りついているって認識なんですけども、ビット割付も逆転している認識
で問題ないでしょうか?

例えば、1byteの0x1Fというデータがリトルエンディアン方式のビット割付だった場合
1111 0001という割付になるのでしょうか?

Aベストアンサー

バイト内のビット割付ってそもそもプログラム上で意味ないですよ。
バイトオーダーに意味があるのは同じデータに対してバイト配列と整数ワードという2種類のアクセス方法があるからこそであって、バイトより細かい単位でのアクセス手段がなければビット割付に意味はない。
バイトオーダーはネットワークでバイト列をどう解釈するかから出てきた問題ですしね。

意味を付けるとするとビットフィールドがどの順に並ぶかですかね。

Q数列a[n+1]=a[n]/(1+a[n])^2,a[1]=1/2

数列a[n+1]=a[n]/(1+a[n])^2,a[1]=1/2
のとき、
lim[n->∞](a[1]+・・・・+a[n])/n の値を求めよ。
(小問で、1/a[n]>2nは解決済み。)

はさみうちをするのだとは思うのであるが、その前のひと工夫がわからない。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>はさみうちをするのだとは思うのであるが、その前のひと工夫がわからない。

ひと工夫ってこんなこと?小問の利用?

0<(1/n)Σ[k=1,n]a[n]/n<(1/n)Σ(1/2k)=(1/2n)(∫[1,n]dx/x+1)
これで、n→∞ とすればよい。

Q直交行列 回転行列 

直交行列はなぜ直交行列と呼ばれるのでしょうか?
直交行列の直交の意味を教えて下さい。

回転行列は直交行列の一つですが、なぜ直交行列
という名前がついているのか気になったので質問させて頂きました。

以上、ご回答よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

直交行列の定義は

A X 'A = E ( 'は転置 E は単位行列)
又は
'A = inv(A) ( inv(A) は A の逆行列)

です。

直交行列では A が含む列ベクトルが互いに
直交し、大きさが全て 1 になります。
直交行列では A が含む行ベクトルが互いに
直交し、大きさが全て 1 になります。

直交しているだけではなく、ベクトルが正規化されている
ことに注意してください。

直交行列は、ベクトルの大きさとベクトル間の角度を
保存する変換を行う行列です。回転行列もそのひとつです。

Qexp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

フィボナッチ数列F[n]は、
F[1]=1,F[2]=1,F[n+2]=F[n+1]+F[n]
で定義され、リュカ数列L[n]は、
L[1]=1,L[2]=3,L[n+2]=L[n+1]+L[n]
で定義されます。このとき、

exp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

が成り立つそうなのですが、どうしてなのですか?

右辺は、フィボナッチ数列の母関数と似ていてなんとか求められるのですが、左辺をどうして求めていいかわかりません。

なお、式は
http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html
の(68)を参照しました。

Aベストアンサー

↓ここに証明がありますね。
http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf
(2.7 A surprising sum を見てください。)

参考URL:http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf

Q正規直交基底

(問題)
3つのベクトルa=(1,1,1,1) b=(1,-1,1,-1) c=(1,1,-1,-1)がある。(表記が違いますが、列ベクトルです)
1.a,b,cが互いに直交していることを示せ。
2.a,b,cの正規直交基底を求めよ。
3.a,bc,の全てに直交するベクトルを1つ求めよ。

というものなのですが。疑問点があるので答えて頂ければ幸いです。
1.の直交を示すことはそれぞれ内積a・b a・c b・cが0であることから示せます。(これは正しいと思います)
2.の正規直交基底なのですが、これは互いに直交しているため、それぞれの大きさを1になるように正規化すれば良く、複雑な計算は必要ないですよね?
また、問題は四次元のベクトルですが、3つだけで正規直交基底と言えるのですか?
R^4の正規直交基底と問題2が示す正規直交基底は別物ですか?
また、3で全てに直交するベクトルを1つ求めよとありますが、このベクトルを正規化すれば、
それらを全て合わせてR^4の正規直交基底ということでよろしいのですか?
ちなみに全てに直交するベクトルdは(1,-1,-1,1)となりました。

質問を煩雑に羅列してしまい申し訳ないですが解答よろしくおねがいします。

(問題)
3つのベクトルa=(1,1,1,1) b=(1,-1,1,-1) c=(1,1,-1,-1)がある。(表記が違いますが、列ベクトルです)
1.a,b,cが互いに直交していることを示せ。
2.a,b,cの正規直交基底を求めよ。
3.a,bc,の全てに直交するベクトルを1つ求めよ。

というものなのですが。疑問点があるので答えて頂ければ幸いです。
1.の直交を示すことはそれぞれ内積a・b a・c b・cが0であることから示せます。(これは正しいと思います)
2.の正規直交基底なのですが、これは互いに直交しているため、それぞれの大きさを1になるように...続きを読む

Aベストアンサー

>> 1.の直交を示すことはそれぞれ内積a・b a・c b・cが0であることから示せます。(これは正しいと思います)

それで正しいと思います。


>> 2.の正規直交基底なのですが、これは互いに直交しているため、それぞれの大きさを1になるように正規化すれば良く、複雑な計算は必要ないですよね?

これも正しいと思います。
そもそも問題文2「a,b,cの正規直交基底を求めよ。」というのはよくない表現と思います。「a,b,cで生成される部分空間の完全正規直交基底を1つ求めよ。」のような表現がよいと思います。それともシュミットの直交化をせよという意味だったのでしょうか?


>> また、問題は四次元のベクトルですが、3つだけで正規直交基底と言えるのですか?

この3つだけで、正規直交基底と言えると思います。
正規直交基底と言うのは数は関係しません。たとえば{(1/2, 1/2, 1/2, 1/2)}のように1つだけでも正規直交基底になりますし、{(1/2, 1/2, 1/2, 1/2), (1/2, -1/2, 1/2, -1/2)}のように2つでも正規直交基底になります。

>> R^4の正規直交基底と問題2が示す正規直交基底は別物ですか?

質問の意図がよく把握できないのですが、少し勘違いされているように思います。

(1)正規直交基底と言うのは、互いに直交していて、長さが1になるベクトルの組み合わせになっているものです。従って、そのようなベクトルの組み合わせはたくさんあります。「R^4の正規直交基底」も1つではありませんので、それが問題2のベクトルと同じかどうかという質問自体意味がないことになります。

(2)「R^4の正規直交基底」を
 {(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)}
と考えられておられると思います。おそらくこの直交系は「基本直交基底」というような名前で呼ばれていると思います。それでしたら、問題2の基底とは異なります。

>> また、3で全てに直交するベクトルを1つ求めよとありますが、このベクトルを正規化すれば、
それらを全て合わせてR^4の正規直交基底ということでよろしいのですか?

それでよいと思います。
ただ「R^4の正規直交基底」は「R^4の完全正規直交基底」のことを言っておられるのではないでしょうか。完全正規直交系というのは、正規直交系がそのベクトル空間を生成できるものを言います。R^4の完全正規直交系は4つのベクトルが必要です。教科書等でご確認ください。

>> ちなみに全てに直交するベクトルdは(1,-1,-1,1)となりました。

実際にa, b, c それぞれと内積を計算すればa, b, c と直交していることが分かりますので、それでよいとも思います。

以上、拙い説明ではありますが不明点等がありましたらまたご連絡ください。

>> 1.の直交を示すことはそれぞれ内積a・b a・c b・cが0であることから示せます。(これは正しいと思います)

それで正しいと思います。


>> 2.の正規直交基底なのですが、これは互いに直交しているため、それぞれの大きさを1になるように正規化すれば良く、複雑な計算は必要ないですよね?

これも正しいと思います。
そもそも問題文2「a,b,cの正規直交基底を求めよ。」というのはよくない表現と思います。「a,b,cで生成される部分空間の完全正規直交基底を1つ求めよ。」のような表現がよいと思います。それと...続きを読む

Q積分値Integrate[Abs[Sin[x]/x], {x, Pi, 2 Pi}]について

mathematicaで

Integrate[Abs[Sin[x]/x], {x, 0, Pi}]
をしたら、
SinIntegral[\[Pi]]
がでました。これはどういうものをあらわしますか?
よめないです。。。教えてください!

できれば、Abs[Sin[x]/x]の0-Pi、Pi-2Pi、・・・積分値の漸化式かI_nを教えていただけたらありがたいです。

Aベストアンサー

>SinIntegral[\[Pi]]
正弦積分関数Si(x)という特殊関数のx=πにおける値になります。
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate%28sin%28x%29%2Fx%2Cx%2C0%2CPi%29

積分値が Si(π)=1.85193705...
ということです。
なお、x=0~πの積分区間では、sin(x)/x≧0なので絶対値はそのまま
はずれ、単なるsin(x)/xの積分になります。

∫[0,π] abs(sin(x)/x)dx=∫[0,Pi] sin(x)/xdx=Si(π)

x=π~2πの積分区間では、sin(x)/x≦0なので絶対値は、
「- sin(x)/x」の積分になります。
∫[π,2π] abs(sin(x)/x)dx=∫[π,2π] {-sin(x)/x}dx
=Si(π)-Si(2π)=0.433785476...


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