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どうしても分からない問題がありますのでよろしくお願いします。
もちろんどちらか片方でも構いませんので、よろしくお願いします。

行列Aがあって、Aの成分は第一行が[3/4,√6/4,1/4]第二行が[-√6/4,1/2,√6/4]第三行が[1/4,-√6/4,3/4]である。


1、Aの固有値1に対する固有空間Wの大きさ1のベクトルからなる基底を求めよ。

2、三次元ベクトル空間におけるWの直交補空間Vの正規直交基底{v1,v2}を求めよ。

A 回答 (1件)

1.


固有値1に属する固有ベクトルをt(x,y,z)とすると
(tは転置を表す)
 At(x,y,z)=t(x,y,z)
両辺の成分を比較して
 3/4x+√6/4y+1/4z=x
 -√6/4x+1/2y+√6/4z=y                             1/4x-√6/4y+3/4z=z
これを解いて(最後の式は余分)
y=0,z=xより
t(x,y,z)=t(x,0,x)
大きさ1より
t(√2/2,0,√2/2)
2.
Wの直交補空間Vに属するベクトルをt(u,v,w)とすると
t(√2/2,0,√2/2)と直交するから,内積=0より
 w=-u
よってt(u,v,w)=t(u,v,-u)
         =ut(1,0,-1)+vt(0,1,0)
基底はt(1,0,-1)とt(0,1,0) 大きさを1にして
v1=t(√2/2,0,-√2/2)
v2=t(0,1,0)
v1,v2は直交するので答えです 
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